2021年广东省广州市黄埔区初中毕业班综合测试数学试卷（一模）

2021年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只项是符合题目要求的.）

1.6的相反数是（    ）

A.－6 B.6 C. D.

2.已知一组数据：86，86，82，87，83，这组数据的众数和中位数分别是（    ）

A.86，82 B.86，86 C.87，82 D.87，86

3.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

5.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是（    ）

A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

6.在平面直角坐标系中，函数的图象经变换后得到函数的图象，则这个变换可以是（    ）

A.向左平移2个单位  B.向右平移2个单位

C.向左平移4个单位  D.向右平移4个单位

7.已知点在第四象限，则m的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（    ）

A.60 B.72 C.48 D.36

9.如图，在直角三角形纸片中，，，点E在边上，将沿直线折叠，点B恰好落在斜边上的点F处，若，则的长是（    ）

A.6 B. C. D.

10.如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点.下列结论：①；②；③；④.正确的有（    ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.分解因式：______.

12.如果单项式与是同类项，那么______.

13.若，则______.

14.若，则的值是______.

15.圆锥的底面半径是5，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是______.

16.如图，的直径为6，，都是的半径，，点P在直径上移动，则的最小值为______.

三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）

17.计算：.

18.先化简，再求值：，其中，.

19.某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总裁、测试四类专业的毕业生，现随机调名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，

请根据统计图提供的信息，解答下列问题.

（1）______，______；

（2）请补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是______度；

（4）若该司新招聘600名毕业生，请你估计“总裁”专业的毕业生有______名.

20.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G商品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每天比更新技术前多生产30万件产品，在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求更新技术前每天生产多少件产品？

21.如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，.

（1）求证：.

（2）设，①若，求线段的长；②若的面积是20，求的面积.

22.如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比.

（1）根据上述定义求黄金比；

（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹.①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C.

（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点.

23.如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点D在边上，己知三角形的面积是，反比例通数的图象经过C、D两点.

（1）求点C的坐标；

（2）求点D的横坐标.

24.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的二次函数解析式：

（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）如图2，点H是直线下方抛物线上的动点，连接，.当的面积最大时，求点H的坐标.

25.如图1，正方形的对角线相交于点O，延长到点G，延长到点E，使，，以，为临边做正方形，连接，.

（1）探究与的位置关系与数量关系，并证明；

（2）固定正方形，以点O为旋转中心，将图1中的方形逆时针转n°（）得到正方形，如图2；①在旋转过程中，当时，求n的值；②在旋转过程中，设点到直线的距离为d，着正方形的边长为1，请直接写出d的最大值与最小值，不必说明理由.

2021年黄埔区初中毕业班综合测试数学试题参考答案及评分标准

1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.

2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.共10小题，每小题3分，满分30分.

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.共6小题，每小题3分，满分18分.

评分说明：第15题若没带单位，不扣分

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分4分）

解：原式，

.

评分说明：在第一步中，算对一项给1分，没有第一步只给答案对应的1分.

18.（本小题满分4分）

解：

，

当，时，原式.

评分说明：在第一步中，前二项代公式正确各给1分，第二步与第三步正确各给1分，若第二步正确，第一步省略不扣分.

19.（本小题满分6分）

解：（1），，

故答案为：50，10；

（2）硬件专业的毕业生有：（人），

补全的条形统计图如右图所示；

评分说明：计算正确1分，画条形图1分，没写计算过程，只要条形图正确也给2分

（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是，

故答案为：72；

（4）（名）.

即“总线”专业的毕业生有180名，

故答案为：180.

评分说明：（1）（3）（4）是以填空的形式给出的，在横线上直按填写正确答案即可，不必写出解答过程。

20.（本小题满分6分）

解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，

依题意，得：.

评分说明：方程左边正确得1分，方程右边正确得1分，一边写错也给1分.

解得：.

经检验，是原方程的解.

答：更新技术前每天生产120万件产品.

评分说明：最后没答，不扣分.

21.（本小题满分8分）

（1）方法1：∵，∴，

∵，∴，

∴.

（1）方法2：∵，∴，

∵，∴，

∴.

（2）解：①∵，∴，

∵，

∴，解得：；

②∵，∴，

∵，∴，

∴，

∴

22.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）在图1-1中，设，，.

由，得.∴，

即，

解这个方程，得，（不合题意，舍去）.

所以，黄金比.

第22题图1-1

评分说明：设，算出黄金比，或没写化简结果0.618都不扣分，负根没舍扣1分.

（Ⅱ）（1）如图1-2或图1-3所示.

①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；

②过点B作垂线l；

第22题图1-2

第22题图1-3

评分说明：方法1：如图1-2所示，用直尺或三角板过点B作垂线l与直角标记；

方法2：如图1-3所示，用圆规过点B作垂线l.

③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；

④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；

⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C.

评分说明：①、②各占1分，若看不见“作垂直平分线”和“作垂线”的作图痕迹就扣0.5～1分，扣完为止；③、④、⑤合计0.5分，最后给整数分，如2.5给3分，1.5给2分.

（2）证明：设，由以上作法可知，，

在中，，

∴.

∴，所以点C是线段的黄金分割点.

23.（本小题满分10分）

（1）解法1：如图1，∵四边形是平行四边形，∴，

又顶点B的坐标为，且反比例函数的图象经过点C，

∴点C的坐标可设为，且，

连接.∵四边形是平行四边形，∴，

∴.

∵，

∴，

∴.

∴点C的坐标为.

第23题图1

（1）解法2：如图2，∵四边形是平行四边形，∴，

又顶点B的坐标为，且反比例函数的图象经过点C，

∴点C的坐标可设为，且，

连接.∵四边形是平行四边形，∴，

∴.

∵，∴，，

∵，

∴点C的坐标为.

第23题图2

（2）解法1：∵反比例函数的图象经过点D，

∴可设点D的坐标为，且.

过点D作x轴的垂线，垂足为E，

∵，∴，

∴，即，

∴，

即，，

解得：，（舍去）.

即点D的横坐标为.

（2）解法2：如图2，由，，得：.

在平行四边形中，，∴.

设直线的解析式为，则：，

解得：∴直线的解析式为.

由，得：，，

解得：，

即点D的横坐标为.

第23题图2

（2）解法3：∵反比例函数的图象经过点D，

∴可设点D的坐标为，且.

如图3，过点C作轴，与交于点E.

∵直线的解析式为，点C的坐标为，

∴点E的坐标为，

∴，

∴，

∴，，

解得：，（舍去）.

即点D的横坐标为.

第23题图3

（2）解法4：∵反比例函数的图象经过点D，

∴可设点D的坐标为，且.

如图4，过点D作x轴的垂线，垂足为E，过点C作x轴的垂线，垂足为F，

∵，

，

∴，

∴，，

解得：，（舍去）.

即点D的横坐标为.

第23题图4

24.（本小题满分12分）

解：（1）∵点，在抛物线上，

∴，

∴，∴抛物线的二次函数解析为.

（2）解法1：当时，，∴，

∴，∴

如图1-1，①当为对角线，向左上方平移线段时，交抛物线于点，交x轴于点，

过点作轴于点D.

因为，所以点的纵坐标为5.

由，解得，.

点，均为符合题意的点.

第24题图1-1

②当为对角线，向右平移线段时，交抛物线于点，交x轴于点，

由，解得，（舍去）.

点为符合题意的点.

如图1-2，③当为对角线时，求得点与点重合，即.

综上，点P的坐标为或或.

第24题图1-2

（2）解法2：运用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式求解

①当为对角线时，则求得点，

②当为对角线时，则求得点

③当为对角线时，则求得点与点重合，即

评分说明：三个点每正确求出一个给2分，其他解法只要答案正确就给满分

（3）解法1：（割补法）如图1-3，连接，，.

.

.

当时，的面积最大，此时.

第24题图1-3

（3）解法2：如图2-1，过点C作x轴的平行线，交于点M；过点H作y轴的平行线，交于点E，交于点F，交x轴于点G.

设点H的坐标为，

∵，，

∴直线的解析式为，

∴点F的坐标为.

∵，，

∴直线的解析式为，

∴点M的坐标为.

第24题图2-1

求的面积表达式有以下二种方法：

方法1：水平分割时，

.

当时，的面积最大，此时.

方法2：垂直分割时，

.

以下同方法1相同。

（3）解法3：如图2-2，过点H作的平行线l，

直线的解析式为，

设直线l的解析式为，

当直线l与抛物线相切时，面积最大，

由，

消去y，得：，①

当方程①的时，，，

∴为所求.

第24题图2-2

25.（本小题满分12分）

解：（1）如图1-1，延长交于点H.

在和中，

∵O是正方形对角线的交点，

∴，.

又∵，

∴，

∴，

∴，.

∵，

∴，

∴，即.

第25题图1-1

（2）在旋转过程中，①当时，有以下二种情况：

第一种情况，如图2-1，当，且时，

∵，

∴，

∴.

∵，，∴，

∴.

第25题图2-1

第二种情况，如图2-2，当，且时，

同理可求出，

∴.

综上所述，当为直角时，n的值为30°或150°.

第25题图2-2

②如图2-3，d的最大值为，

第25题图2-3

如图2-4，d的最小值为.

第25题图2-4

理由如下：如图2-3、图2-4所示，连接，设直线交直线于H，作正方形的外接圆.

仿照（1）的证明，可证得，即在旋转过程中，保持不变，所以.

在旋转过程中，的位置有以下二种情况：

第一种情况，当在内时，，如图2-3所示，

第二种情况，当在外时，，如图2-4所示.

∵，

∴.

在中，∵，

∴.

所以，当最大时，d最大；

当最小时，d最小.

设点O到的距离为m，则.

由上式可知，当m取最大值时，取最大值.

在旋转过程中，当与相切，即时，m取最大值，

此时，取最大值，从而取最大值或最小值.

由①可知，当时，.

在（1）中，已证得，且，

∴四边形为正方形，∴，

∴，

∴d的最大值为，

d的最小值为.