2022年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在下列四个实数中，最大的实数是

A.  B.  C.  D.

2. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 已知，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 若，则的值等于

A.  B.  C.  D.

6. 将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是

A.
B.
C.
D.
 

7. 如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是

A.
B.
C.
D.

8. 若，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

9. 已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 解方程组：的解为______．
12. 把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后抛物线的表达式是______．
13. 若，则______．
14. 关于的方程的一根为，则另一根为______．
15. 某同学用纸板做成的一个底面直径为，高为的无底圆锥形玩具接缝忽略不计，则做这个玩具所需纸板的面积是______结果保留．
16. 如图，四边形内接于圆，，，，，交于点，点是中点．延长，交于点，点在上，则下列结论成立的是______直接填写序号．
    直线是的切线：
    是等腰三角形；
    图中共有个等腰三角形：
    连接，则．

三、计算题（本大题共1小题，共4分）

17. 解不等式组：．

四、解答题（本大题共8小题，共68分）

18. 计算：．
19. 某中学为了增强学生体质，计划开设：跳绳，：毽球，：篮球，：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查每人只能选择一种体育活动，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
    
    求这次抽样调查的学生有多少人？
    求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
    若该校有名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢的人数．
20. 如图，在中，，点在上．
    
    求作：，使点在上，且∽；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在的条件下，若求证：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，且．
    求该反比例函数和一次函数的解析式；
    求点的坐标．
22. 某工厂急需生产一批健身器械共台，送往销售点出售当生产台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的倍，一共用天刚好完成任务．
    原来每天生产健身器械多少台？
    运输公司大货车数量不足辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输已知每辆大货车一次可以运输健身器械台，每辆车需要费用元；每辆小货车一次可以运输健身器械台，每辆车需要费用元在运输总费用不多于元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
23. 如图，在正方形中，，为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点
    求证：；
    若：：，求证：；
    如图，连接交于点若：：，求的值．

24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
    求的值，并用含的式子表示；
    当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；
    直线上有一点，将点向右平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．
25. 如图，在直角坐标系中，点，点，点，点分别为，的中点，绕原点顺时针旋转角得，射线，相交于点．
    求证：≌；
    如图，在旋转过程中，当点恰好落线段上时，求的长；
    如图，在旋转角从逐渐增大旋转过程中，求点的运动路线长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：正数大于负数，负数小于，正数大于，
，
故选：．
根据实数的大小比较方法进行比较即可．
本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于负数，负数小于，正数大于”是正确判断的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中“和为”的有种，
．
故选：．
用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为的结果数，进而求出相应的概率．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算，再根据平方根的定义即可求出 的值，结合 的范围可得 的最终结果．
【解答】
解： ， ．
，
，
又 ，则 ，
，
，
，
，
．
故选 C ．   

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出 、 的值是解题关键．
根据非负数的和为零，可得 、 的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】
解：由 ，得 ，
， ．
解得 ， ．
．
故选 D ．   

6.【答案】

【解析】解：该长方体表面展开图可能是选项A．
故选：．
由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题．
本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】解：于点．
．
，．
．
．
，．
∽．
，即：．
．
．
．
故选：．
根据垂径定理求出可得的长度，利用∽，求出，即可求解．
本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
，即，
，
．
故选：．
利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
 

9.【答案】

【解析】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，

根据点到直线的距离公式可知：点到直线的距离，
的半径为，
，
故选：．
求出点到直线的距离即可求得的最小值．
本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：作轴于点，轴于，
设，则，，
，
，

在和中，

≌，
，，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：．
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
方程组的解为：，
故答案为：．
根据加减消元法，得，解出的值代入即可求出，从而确定方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 先确定 的顶点坐标为 ，再根据点平移的规律得到点 平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】
解：抛物线 的顶点坐标为 ，点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位所得对应点的坐标为 ，所以平移后抛物线的表达式为 ．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计算，属于基础题．
根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解答】
解： ，
，
，
，
故答案为 ．   

14.【答案】

【解析】解：设方程的另一根为，
关于的方程的一根为，
则，
解得．
故答案为：．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，解答出即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，由题意得，，，
圆锥的底面半径为，
在中，，


，
故答案为：．
根据勾股定理求出圆锥的母线的长，再根据扇形面积的计算方法求出扇形的面积即可．
本题考查认识立体图形，掌握圆锥侧面展开图的特征以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
是的切线，故正确，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，故正确，
图中，，，，，都是等腰三角形，故错误，
连接，过点作于点，
设，则，，
，
，，
，
，故正确．
故答案为：．
正确．连接，证明即可；
正确．证明，可得结论；
错误．，，，，都是等腰三角形；
正确．连接，过点作于点，设，则，，求出，，可得结论．
本题考查切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：原式

．

【解析】根据乘法的定义、零指数幂、负整数指数幂以及，然后进行乘法运算和去绝对值运算，再合并即可．
本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
 

19.【答案】解：由统计图可知，人，
答：这次抽样调查的学生有人；
，人，
答：所在扇形圆心角的度数为，补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计喜欢的人数为人．

【解析】根据的人数和所占的百分数求解即可；
根据占圆周角的的百分数求解即可；求出的人数即可补全条形统计图；
由该校人数乘以所占的百分数即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图：作出，即可得到∽；

证明：如图，，，
，
．

【解析】本题考查了尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定等，熟练掌握尺规作图的方法和相似三角形的判定定理是解题的关键．
尺规作图作出，即可得到，从而得到∽；
根据题意得到，根据平行线的的判定定理即可证得结论．
 

21.【答案】解：过点作轴，垂足为
由，可得，
，，

，即


将代入反比例函数，得
反比例函数的解析式为
将，代入一次函数，可得

解得
一次函数的解析式为
由可得，
解得，
当时，
点坐标为

【解析】先过点作轴，根据，求得点的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析式；先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点的坐标即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．
 

22.【答案】解：设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产健身器械台．
设使用辆大货车，使用辆小货车，
同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
，

又运输公司大货车数量不足辆，且运输总费用不多于元，
，即，
解得：．
又为整数，
可以为，．
当时，；
当时，，
又为整数，
的最小值为．
共有种运输方案，
方案：使用辆大货车，辆小货车；
方案：使用辆大货车，辆小货车．
方案所需费用为元，
方案所需费用为元．
，
运输方案的费用最低，最低运输费用是元．

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
设原来每天生产健身器械台，则提高工作效率后每天生产健身器械台，利用工作时间工作总量工作效率，结合一共用天刚好完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设使用辆大货车，使用辆小货车，根据同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，可得出，化简后可得出，结合“运输公司大货车数量不足辆，且运输总费用不多于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出的值，由的值结合可得出的最小值，进而可得出各运输方案，利用总运费每辆车的运动派车数量，即可分别求出两个运输方案所需运费，比较后即可得出结论．
 

23.【答案】解：如图，过分别作交于，交于，

则四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，
平行四边形是正方形，
，
，
，
，
，
≌，
；
由得，，
，
，，
≌，
，
，，
；
如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，

≌，，
，，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
≌，
，
：：，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
．

【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
作、，证四边形是正方形得，再证，从而得≌，据此可得证；
由，知，据此得，，由≌知，，，从而得出答案；
把绕点逆时针旋转得到，连接，先证≌得，由：：可设，则，继而知，，由得，知，，证∽得，从而得出答案．
 

24.【答案】解：把点和分别代入中，得
，．
；

当时，依题意抛物线的对称轴需满足，
解得．
当时，依题意抛物线的对称轴需满足，
解得 ．
的取值范围是或；
设直线的表达式为：，则，解得：，
故直线表达式为，把代入得．
，由平移得．
当时，若抛物线与线段只有一个公共点如图，
，当时，，
则抛物线上的点在点的下方，

．
解得．
；
当时，若抛物线的顶点在线段上，
则抛物线与线段只有一个公共点如图，

，即．
解得或．
综上，的取值范围是或或．

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解．
把点和分别代入，即可求解；
当时，依题意抛物线的对称轴需满足；当时，依题意抛物线的对称轴需满足，即可求解；
当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点在点的下方，即可求解；当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
 

25.【答案】证明：绕原点顺时针旋转角得，
，，，
，，
，
点，点分别为，的中点，
，
，
，
，
又，，
≌；
解：由可知，，，，
分两种情况讨论：
如图，旋转角时，

同理可得≌，
，
，
∽，
，即，
在中，，，
，
；
旋转角为，即与重合，落在的延长线上时，

，，，
≌，
，
，
∽，
，
即，
同理可得，
综上所述，的值为；
解：连接，取的中点连接，，，

由可知≌，
，
，
是直角三角形，
是的中点，
，
在上运动，
又也是的内接直角三角形，
，
随着旋转，当时，线段距离点最远，此时的轨迹达到最大值，
，，
，
，
，
，
，
点运动的路线长为

【解析】由旋转的性质得出，，，由可证明≌；
分两种情况讨论：如图，旋转角时，旋转角为，即与重合，落在的延长线上时，证明∽，得出，即，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
连接，取的中点连接，，，证出，可知在上运动，由弧长公式可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．