2018_2019学年杭州市临安市八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年杭州市临安市八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 a=3 cm，b=6 cm，则下列长度的线段中，能与 a，b 组成三角形的是
A. 2 cmB. 6 cmC. 9 cmD. 11 cm

2. 在平面直角坐标系中，点 Pa2+1,−3 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 正比例函数 y=k−2x 中，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
A. k≥2B. k≤2C. k>2D. k<2

4. 不等式 1−x>0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 下列判断正确的是
A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等

6. 已知 a>b，则下列四个不等式中，不正确的是
A. a−3>b−3B. −a+2>−b+2
C. 15a>15bD. 1+4a>1+4b

7. 已知 −1,y1，1.8,y2，−12,y3 是直线 y=−3x+m（m 为常数）上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y3>y1>y2B. y1>y3>y2C. y1>y2>y3D. y3>y2>y1

8. 如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使 △ABC≌△DEF 的共有
A. 4 组B. 3 组C. 2 组D. 1 组

9. 如图，直线 y=3x+6 与 x，y 轴分别交于点 A，点 B，以 OB 为底边在 y 轴右侧作等腰 △OBC，将点 C 向左平移 5 个单位，使其对应点 Cʹ 恰好落在直线 AB 上，则点 C 的坐标为
A. 3,3B. 4,3C. −1,3D. 3,4

10. 如图，∠AOB=30∘，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=12，在 OA 上有一动点 Q，OB 上有一动点 R．若 △PQR 周长最小，则最小周长是
A. 6B. 12C. 16D. 20

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 命题“如果 a2=b2，那么 a=b”的逆命题是 命题（填写“真”或“假”）．

12. 如图，在平面直角坐标系中，点 P−1,2 关于直线 x=1 的对称点的坐标为 ．

13. 如图，∠C=∠D=90∘，添加一个条件： （写出一个条件即可），可使 Rt△ABC 与 Rt△ABD 全等．

14. 已知点 M4−2t,t−5，若点 M 在 x 轴的下方、 y 轴的右侧，则 t 的取值范围是 ．

15. 如图，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离为 1 cm，若等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在 l1 上，另两个顶点 A，B 分别在 l3，l2 上，则 AB 的长是 ．

16. 如图，已知直线 y=−34x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90∘．点 P 是 x 轴上的一个动点，设 Px,0．
（1）当 x= 时，PB+PC 的值最小；
（2）当 x= 时，PB−PC 的值最大．

三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知：如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，∠A=∠D，∠BED=∠AFC，AF 与 DE 交于点 O．求证：OA=OD．

18. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器 160 台，A型号家用净水器进价是 1500 元/台，售价是 2100 元/台，B型号家用净水器进价是 3500 元/台，售价是 4300 元/台．为保证售完这 160 台家用净水器的毛利润不低于 116000 元，求A型号家用净水器最多能购进多少台?（注：毛利润 = 售价 − 进价）

19. 已知一次函数 y=kx+4k≠0．
（1）当 x=−1 时，y=2，求此函数的表达式；
（2）函数图象与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，求出 △AOB 的面积；
（3）利用图象求出当 y≤3 时，x 的取值范围．

20. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0,3，点 B3,0，连接 AB．若对于平面内一点 C，当 △ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，称点 C 是线段 AB 的“等长点”．
（1）在点 C1−2,3+22，点 C20,−2，点 C33+3,−3 中，线段 AB 的“等长点”是点 ；
（2）若点 Dm,n 是线段 AB 的“等长点”，且 ∠DAB=60∘，求 m 和 n 的值．

21. 在直线上顺次取 A，B，C 三点，分别以 AB，BC 为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为 D，E．连接 DE．
（1）如图①，连接 CD，AE，求证：CD=AE；
（2）如图②，若 AB=1，BC=2，求 DE 的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形 BEC 绕 B 点作适当的旋转，连接 AE，若有 DE2+BE2=AE2，试求 ∠DEB 的度数．

22. 如图①，已知直线 y=−2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，C，以 OA，OC 为边在第一象限内作长方形 OABC．
（1）求点 A，C 的坐标；
（2）将 △ABC 对折，使得点 A 的与点 C 重合，折痕交 AB 于点 D，求直线 CD 的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点 P（除点 B 外）， 使得 △APC 与 △ABC 全等?若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. A
5. C
6. B
7. B
8. B
9. B
10. B
【解析】设 ∠POA=θ，则 ∠POB=30∘−θ，作 PM⊥OA 与 OA 相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 ME=PM，
作 PN⊥OB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NF=PN，
连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ，PR，连接 OE，OF，则 △PQR 即为周长最短的三角形，
∵OA 是 PE 的垂直平分线，
∴EQ=QP；
同理，OB 是 PF 的垂直平分线，
∴FR=RP，
∴△PQR 的周长 =EF，
∵OE=OF=OP=12，且 ∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+230∘−θ=60∘，
∴△EOF 是等边三角形，
∴EF=12，即在保持 OP=12 的条件下 △PQR 的最小周长为 12．
第二部分
11. 真
12. 3,2
13. AC=AD（BC=BD 或 ∠CAB=∠DAB 或 ∠ABC=∠ABD，答案不唯一）
14. t<2
15. 10
16. 3，−21
【解析】（1）过 C 点作 CE⊥x 轴，垂足为 D，且使得 CD=ED，
由直线 y=−34x+3，令 y=0，得 OA=x=4，令 x=0，得 OB=y=3，
∵∠BAO+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，
∴∠BAO=∠ACD，
又 ∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90∘，
∴△OAB≌△DCAAAS，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，则 OD=4+3=7，
∴C7,4；
连接 BE，交 x 轴于 P1，则此时 P1B+P1C 最小，
设直线 BE 的解析式为 y=kx+3k≠0，
∵C7,4，
∴E7,−4，
代入 y=kx+3 得，−4=7k+3，解得 k=−1，
∴ 直线 BE 的解析式为 y=−x+3，
令 y=0，则 x=3，
∴P13,0；
故当 x=3 时，PB+PC 的值最小；
（2）延长 CB 交 x 轴于 P2，此时 P2B−P2C 的值最大，
设直线 BC 解析式为 y=k1x+bk1≠0，
将 B，C 两点坐标代入，得 b=3,7k1+b=4,
解得，b=3,k1=17,
∴ 直线 BC 解析式为 y=17x+3，
令 y=0，得 x=−21，
∴P2−21,0，此时 PC−PB 的值最大，
故当 x=−21 时，PB−PC 的值最大．
第三部分
17. ∵BE=CF，∠BED=∠AFC，
∴BE+EF=CF+EF，∠AFB=∠CED，即 BF=CE，
在 △ABF 和 △DCE 中，
∵∠A=∠D,∠AFB=∠CED,BF=CE,
∴△ABF≌△DCEAAS，
∴AF=DE（全等三角形对应边相等），∠AFB=∠CED，
∴OE=OF，
∴AF−OF=DE−OE，即 OA=OD．
18. 设能购进A型号净水器 x 台，
根据题意知，
600x+800160−x≥116000,
解得：
x≤60,
答：A型号家用净水器最多能购进 60 台．
19. （1） ∵ 当 x=−1 时，y=2，
∴2=−k+4，得 k=2，
∴ 此函数的解析式为 y=2x+4．
（2） 当 x=0 时，y=4，
当 y=0 时，x=−2，
∴ 点 A 的坐标为 −2,0，点 B 的坐标为 0,4，
∴△AOB 的面积是：∣−2∣×42=4．
（3） 由图象可知，当 y=3 时，x=−0.5，
该函数图象 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 y≤3 时，x≤−0.5，
即 x 的取值范围是 x≤−0.5．
20. （1） C1，C3
【解析】∵A0,3，B3,0，
∴AB=23，
∵ 点 C1−2,3+22，
∴AC1=4+8=23，
∴AC1=AB，
∴C1 是线段 AB 的“等长点”，
∵ 点 C20,−2，
∴AC2=5，BC2=3+4=7，
∴AC2≠AB，BC2≠AB，
∴C2 不是线段 AB 的“等长点”，
∵ 点 C33+3,−3，
∴BC3=9+3=23，
∴BC3=AB，
∴C3 是线段 AB 的“等长点”．
（2） 如图，
在 Rt△AOB 中，OA=3，OB=3，
∴AB=23，tan∠OAB=OBOA=33，
∴∠OAB=30∘，
当点 D 在 y 轴左侧时，
∵∠DAB=60∘，
∴∠DAO=∠DAB−∠BAO=30∘，
∵ 点 Dm,n 是线段 AB 的“等长点”，
∴AD=AB，
∴D−3,0，
∴m=−3，n=0；
当点 D 在 y 轴右侧时，
∵∠DʹAB=60∘，
∴∠DʹAO=∠BAO+∠DʹAB=90∘，
∴n=3，
∵ 点 Dʹm,n 是线段 AB 的“等长点”，
∴ADʹ=AB=23，
∴m=23．
综上所述：m=−3，n=0，或 m=23，n=3．
21. （1） ∵△ABD 和 △ECB 都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60∘，
∴∠ABE=∠DBC，
在 △ABE 和 △DBC 中，
AB=BD,∠ABE=∠DBC,BE=BC,
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．
（2） 如图，取 BE 的中点 F，连接 DF．
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60∘，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60∘，
∴△DBF 是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60∘，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30∘，
∴∠EDB=180∘−∠DBE−∠DEB=90∘，
∴DE=BE2−BD2=22−12=3．
（3） 如图，连接 DC，
∵△ABD 和 △ECB 都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60∘，
∴∠ABE=∠DBC，
在 △ABE 和 △DBC 中，
AB=BD,∠ABE=∠DBC,BE=BC,
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90∘，
∵∠BEC=60∘，
∴∠DEB=∠DEC−∠BEC=30∘．
22. （1） A2,0；C0,4．
（2） 由折叠知：CD=AD．
设 AD=x，则 CD=x，BD=4−x，
根据题意得：4−x2+22=x2，
解得：x=52．
此时，AD=52，D2,52．
设直线 CD 为 y=kx+4k≠0，
把 D2,52 代入得 52=2k+4，
解得：k=−34．
∴ 直线 CD 解析式为 y=−34x+4．
（3） ①当点 P 与点 O 重合时，△APC≌△CBA，
此时 P0,0．
②当点 P 在第一象限时，如图，
由 △APC≌△CBA，得 ∠ACP=∠CAB，
则点 P 在直线 CD 上．
过 P 作 PQ⊥AD 于点 Q，
在 Rt△ADP 中，
AD=52，PD=BD=4−52=32，AP=BC=2，
由 AD×PQ=DP×AP 得：52PQ=3，
∴ PQ=65，
∴ xP=2+65=165，
把 x=165 代入 y=−34x+4 得 y=85，
此时 P165,85．
（也可通过 Rt△APQ 勾股定理求 AQ 长得到点 P 的纵坐标）
③当点 P 在第二象限时，如图，
同理可求得：CQ=85，
∴ OQ=4−85=125．
此时 P−65,125．
综合得，满足条件的点 P 有三个，
分别为：P10,0；P2165,85；P3−65,125．