2021年广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学三模数学试卷

这是一份2021年广东省深圳市南山区南山实验教育集团南海中学三模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是
A. B.
C. D.

2. 的倒数是
A. B. C. D.

3. 深圳市卫健委 日称，截至 月 日 时，全市指定接种门诊 家，累计接种 万剂次、 万人．将 万用科学记数法表示为
A. B. C. D.

4. 如图所示，直线 ，，，则 的大小是
A. B. C. D.

5. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 下列计算正确的是
A. B.
C. D.

7. 如图，已知 ，，，，小红按如下步骤作图：
①分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径在 两边作弧，交于两点 ，；
②连接 ，分别交 ， 于点 ，；
③过 作 交 于点 ，连接 ，．
则四边形 的周长为
A. B. C. D.

8. 已知抛物线 在坐标系中的位置如图所示，它与 ， 轴的交点分别为 ，， 是其对称轴 上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是
A. B.
C. 周长的最小值是 D. 是 的一个根

9. 如图，已知在 中，，，，把 沿着 翻折得到 ，过点 作 ，交 于点 ，点 是线段 上一点，且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论是
A. ①④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④

10. 下列命题中是真命题的是
A. 同位角相等
B. 有两边及一角分别相等的两个三角形全等
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 垂直于半径的直线是圆的切线

二、填空题
11. 分解因式： ．

12. 已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥的母线长为 ．

13. 对于有理数 ，，定义新运算“”：（， 为常数），若 ，，则 ．

14. 如图，四边形 是平行四边形，其面积为 ，点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴交 于点 ，过点 的反比例函数图象关系式为 ，则 的值是 ．

15. 如图，在矩形 中，，， 为线段 上的一动点，且和 ， 不重合，连接 ，过点 作 交 于 ，将 沿 翻折到平面内，使点 恰好落在 边上的点 ，则 长为 ．

三、解答题
16. 计算：．

17. 先化简，再求值：，其中 ．

18. 数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生，条形统计图中 ．
（2）若该校初三共有学生 名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校初三（）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．

19. 如图，有甲、乙两建筑物，甲建筑物的高度为 ，，，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从 点测得 点的仰角为 ，从 点测得 点的仰角为 ．求乙建筑物的高 ．

20. 深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利 元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为 元，平均每天可售出 件．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价 元，每天可多售出 件．若商场每天要盈利 元，每件应降价多少元?

21. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，点 是 延长线上一点，， 是 的弦，．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径；
（3）若 于点 ，点 为 上一点，连接 ，，，请找出 ，， 之间的关系，并证明．

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点，其中 ，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ，，求 面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移 个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ，点 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ，，， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C
4. B
5. B
【解析】A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B．既是轴对称图形也是中心对称图形；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形；
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形．
6. D
7. A【解析】 分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径在 两边作弧，交于两点 ，，
是 的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形；
，，，
，
，
是 的中位线，
，
，
菱形 的周长 ．
8. C【解析】A、根据图象知，对称轴是直线 ，则 ，即 ，故A正确；
B、根据图象知，点 的坐标是 ，对称轴是 ，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与 轴的另一个交点的坐标是 ，
所以 时，，
所以 ，
所以 ，
因为抛物线开口向下，则 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
C、点 关于 对称的点是 为 ，即抛物线与 轴的另一个交点．
连接 与直线 的交点即为点 ，
则 周长的最小值是 的长度．
因为 ，，，
所以 ，．
即 周长的最小值是 ，故C错误；
D、根据图象知，点 的坐标是 ，对称轴是 ，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与 轴的另一个交点的坐标是 ，所以 是 的一个根，故D正确．
9. D【解析】如图，
在 中，，，，
，
，，
沿着 翻折得到 ，
，
，，，，．
，，
，

，
，
，
，即①正确；
由上可知，，
，
又
，即②正确；
由②知，，
，
又由折叠可知，，，
，即③正确；
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
设 ，则 ，
又 ，
，
，
，解得 ，
，，，
，故④正确．
综上，正确的结论是①②③④．
10. C
【解析】【分析】根据平行线的性质对进行判断；根据三角形全等的判定方法对进行判断；根据平行线的判定对进行判断；根据切线的判定对进行判断．
【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故错误；
、两边和夹角相等的两个三角形全等，故错误；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确；
、垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
第二部分
11.
12.
13.
【解析】，，
根据题中的新定义化简得：
解得： 即 ，
则 ．
14.
【解析】连接 ，
由题意可知，，，
，
，
，
解得 ，
在第二象限，
．
15. 或
【解析】作 于 ，如图，设 ，则 ．
，
，
，
，
，
．即 ．
．
沿 翻折到 位置，使点 落到 上，
，，，
．
．
，
．
，
，即 ．
，
在 中，
，
，
解得 ，，
的长为 或 ．
第三部分
16. ．
17. ，
当 时，．
18. （1） ；
（2）
（3） 画树形图得：
共有 种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有 种情况，
恰好抽中一男生一女生的概率为 ．
19. 过点 作 于 ．
，，
，
四边形 为矩形．
，．
，
，
，
设 ，则 ，．
在 中，，即 ，解得 ．
．
答：乙建筑物的高 为 ．
20. （1） 设每次下降的百分率为 ，
根据题意，得：
解得：
答：每次下降的百分率为 ；
（2） 设每件应降价 元，
根据题意，得
解得：
尽快减少库存，
，
答：若商场每天要盈利 元，每件应降价 元．
21. （1） 如图 ，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
直线 是 的切线；
（2） 如图 ，连接 ，
由（）知，，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即 的半径为 ；
（3） ，
理由：如图 ，
，
，
连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
， 为 的直径，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
，，
过点 作 于 ，
，
在 中，，
，
，
，
，
，
即 ．
22. （1） 抛物线的表达式为：．
（2） 设直线 的表达式为：，则
解得
故直线 的表达式为：，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则 ，
面积 ，
，故 有最大值，当 时， 的最大值为 ．
（3） 或 或 或
【解析】抛物线的表达式为：，
则平移后的抛物线表达式为：，
联立上述两式并解得：
故点 ．
设点 ，点 ，而点 ， 的坐标分别为 ，，
①当 为菱形的边时，
点 向右平移 个单位向上平移 个单位得到 ，同样 向右平移 个单位向上平移 个单位得到 ，
即 且 或 且
当点 在 的下方时，则 ，即
当点 在 的上方时，则 ，即
联立①③并解得：，（舍去 ），故点 ；
联立②④并解得：，，故点 ．
②当 为菱形的的对角线时，
则由中点公式得： 且
此时，，即
联立⑤⑥并解得：，，
故点 ，
综上，点 的坐标为： 或 或 或 ．