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2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷
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这是一份2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a3+2a2＝3a5 B．3+4＝7
C．（a6）2÷（a4）3＝0 D．（a3）2•a4＝a9
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0
9．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（ ）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 ．
13．（3分）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝ ．
14．（3分）如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
18．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
19．（8分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．（8分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
22．（10分）抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列2个矩形．
故选：C．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：原数据的1、3、3、5的平均数为＝3，中位数为＝3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]＝2；
新数据1、3、3、3、5的平均数为＝3，中位数为3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]＝1.6；
∴添加一个数据3，方差发生变化，
故选：A．
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a3+2a2＝3a5 B．3+4＝7
C．（a6）2÷（a4）3＝0 D．（a3）2•a4＝a9
【分析】结合选项分别进行合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：A、a3和2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、3+4＝7，计算正确，故本选项正确；
C、（a6）2÷（a4）3＝1，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a3）2•a4＝a10，原式计算错误，故本选项错误．
故选：B．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用三角形的外角的性质、多边形的外角和、矩形的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、n边形（n≥3）的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
B．∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；
D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以D选项错误；
故选：C．
9．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（ ）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
③由相似三角形的性质求出S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，通过计算正方形ABCD的面积为48．
④证明△EPF∽△ECD，利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】解：连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴AP＝FP，故①正确，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴，即AE＝AO，故②正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故③错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ 3（x+2）（x﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 （0，﹣） ．
【分析】由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，∠BAC＝∠DCA，易得DC＝DA，设OD＝x，则DC＝6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD，得D的坐标．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠B′AC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
设OD＝x，则DC＝6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2+OD2＝AD2，
即9+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴点D的坐标为：（0，），
故答案为：（0，﹣）．
13．（3分）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝ 3 ．
【分析】首先看清这种运算的规则，将＝18转化为一元一次方程2x﹣（﹣4x）＝18，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：由题意得：将＝18可化为：2x﹣（﹣4x）＝18，
去括号得：2x+4x＝18，
合并得：6x＝18，
系数化为1得：x＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 9 ．
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴＝，
∵DF＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是，
故答案为：9．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）+2×1﹣1
＝4﹣3++2﹣1
＝2+．
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，
当x＝0时，分母不为0，代入：
原式＝．
18．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 80 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；
（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；
（4）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：
（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
19．（8分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）由题意得，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，再由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）作PH⊥AB于H，则△PBH是等腰直角三角形，BH＝PH，设BH＝PH＝x海里，求出AB＝20海里，在Rt△APH中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣135°＝15°；
（2）海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：
作PH⊥AB于H，如图：
则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH，
设BH＝PH＝x海里，
由题意得：AB＝40×＝20（海里），
在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，
即＝，
解得：x＝10+10≈27.32＞25，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
20．（8分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲书柜的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，
∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，
∴＝﹣6，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，
∴1.2x＝360，
答：每个甲种书柜的进价为360元．
（2）设甲书柜的数量为y个，
∴乙书柜的数量为（60﹣y）个，
由题意可知：60﹣y≤2y，
∴20≤y＜60，
设购进书柜所需费用为z元，
∴z＝360y+300（60﹣y）
∴z＝60y+18000，
∴当y＝20时，
z有最小值，最小值为19200元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
22．（10分）抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
【分析】（1）i）利用对称轴求出m的值，再利用点B的坐标求出n的值，即可得出结论；
ii）过点E作EH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，判断出两三角形相似，得出，进而得出＝＝，即可得出结论；
（2）先作出直线AF关于直线BC的对称直线MN，求出直线BC的解析式，进而求出直线MN的解析式，再判断出直线MN与抛物线在BC上方的图象只有一个公共点，即可得出结论．
【解答】解：（1）i）∵抛物线的对称轴为x＝，
∴﹣＝，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2n，
∵点B的横坐标为4，
∴B（4，0），
∴﹣16+4+2n＝0，
∴n＝6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12；
ii）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12，
令x＝0，则y＝12，
∴C（0，12），
令y＝0，则﹣x2+x+12＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴B（4，0），A（﹣3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+12，
设点E（a，﹣3a+12），点D（b，﹣b2+b+12），
如图1，过点E作EH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，
∴EH∥DG，
∴△AEH∽△ADG，
∴，
∵＝7，
∴＝，
∴＝＝，
∵AH＝a+3，AG＝b+3，EH＝﹣3a+12，DG＝﹣b2+b+12，
∴，
∴b＝1或b＝3，
∴D（1，12）或（3，6）；
（2）如图2，
∵m＝n﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（n﹣2）x+2n①，
令y＝0，则﹣x2+（n﹣2）x+2n＝0，
∴x＝﹣2或x＝n，
∴A（﹣2，0），B（n，0），
令x＝0，则y＝2n，
∴C（0，2n），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+2n，
作直线AF关于直线BC的对称直线，交x轴于M，
∵A（﹣2，0），B（n，0），
∴M（2n+2，0），
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+4n+4②，
联立①②化简得，x2﹣nx+2n+4＝0，
∵折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，
∴MN与抛物线在直线BC上方的图象只有一个公共点，
∴△＝n2﹣4（2n+4）＝0，
∴n＝4﹣4（舍）或n＝4+4．
即满足条件的n的值为4+4．
2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a3+2a2＝3a5 B．3+4＝7
C．（a6）2÷（a4）3＝0 D．（a3）2•a4＝a9
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0
9．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（ ）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 ．
13．（3分）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝ ．
14．（3分）如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
18．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
19．（8分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．（8分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
22．（10分）抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
2021年广东省深圳市南山区三校联合中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列2个矩形．
故选：C．
4．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
5．（3分）一组数据：1、3、3、5，若添加一个数据3，则下列各统计量中会发生变化是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：原数据的1、3、3、5的平均数为＝3，中位数为＝3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]＝2；
新数据1、3、3、3、5的平均数为＝3，中位数为3，众数为3，方差为×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]＝1.6；
∴添加一个数据3，方差发生变化，
故选：A．
6．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a3+2a2＝3a5 B．3+4＝7
C．（a6）2÷（a4）3＝0 D．（a3）2•a4＝a9
【分析】结合选项分别进行合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：A、a3和2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、3+4＝7，计算正确，故本选项正确；
C、（a6）2÷（a4）3＝1，原式计算错误，故本选项错误；
D、（a3）2•a4＝a10，原式计算错误，故本选项错误．
故选：B．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用三角形的外角的性质、多边形的外角和、矩形的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、n边形（n≥3）的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；
B．∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；
D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以D选项错误；
故选：C．
9．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．8
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（ ）
①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
②设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
③由相似三角形的性质求出S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，通过计算正方形ABCD的面积为48．
④证明△EPF∽△ECD，利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】解：连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴AP＝FP，故①正确，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，
∴，即AE＝AO，故②正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故③错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝ 3（x+2）（x﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为 （0，﹣） ．
【分析】由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，∠BAC＝∠DCA，易得DC＝DA，设OD＝x，则DC＝6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD，得D的坐标．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形OABC为矩形，
∴OC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠B′AC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
设OD＝x，则DC＝6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2+OD2＝AD2，
即9+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴点D的坐标为：（0，），
故答案为：（0，﹣）．
13．（3分）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，已知＝18，则x＝ 3 ．
【分析】首先看清这种运算的规则，将＝18转化为一元一次方程2x﹣（﹣4x）＝18，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：由题意得：将＝18可化为：2x﹣（﹣4x）＝18，
去括号得：2x+4x＝18，
合并得：6x＝18，
系数化为1得：x＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
平移后的解析式为y＝，可得，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PC＝PA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴＝＝＝，
∴PH＝k，CH＝2，
∴OH＝k﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y＝﹣上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为 9 ．
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴＝，
∵DF＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是，
故答案为：9．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）+2×1﹣1
＝4﹣3++2﹣1
＝2+．
17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，
当x＝0时，分母不为0，代入：
原式＝．
18．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 80 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；
（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；
（4）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：
（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
19．（8分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）由题意得，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，再由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）作PH⊥AB于H，则△PBH是等腰直角三角形，BH＝PH，设BH＝PH＝x海里，求出AB＝20海里，在Rt△APH中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣135°＝15°；
（2）海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：
作PH⊥AB于H，如图：
则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH，
设BH＝PH＝x海里，
由题意得：AB＝40×＝20（海里），
在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，
即＝，
解得：x＝10+10≈27.32＞25，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
20．（8分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设甲书柜的数量为y个，根据题意列出求出y的范围，再设购进书柜所需费用为z元，求出z与y的函数关系即可求出答案．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，
∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，
∴＝﹣6，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，
∴1.2x＝360，
答：每个甲种书柜的进价为360元．
（2）设甲书柜的数量为y个，
∴乙书柜的数量为（60﹣y）个，
由题意可知：60﹣y≤2y，
∴20≤y＜60，
设购进书柜所需费用为z元，
∴z＝360y+300（60﹣y）
∴z＝60y+18000，
∴当y＝20时，
z有最小值，最小值为19200元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．
21．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；
（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
22．（10分）抛物线y＝﹣x2+mx+2n（m，n为常数，且n＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C．
（1）若点B的横坐标为4，抛物线的对称轴为x＝．
ⅰ）求该抛物线的函数表达式；
ⅱ）如图1，在直线BC上方的抛物线上取点D，连接AD，交BC于点E，若＝7，求点D的坐标．
（2）如图2，当m＝n﹣2时，过点A作BC的平行线，与y轴交于点F，将抛物线在直线BC上方的图象沿BC折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，求n的值．
【分析】（1）i）利用对称轴求出m的值，再利用点B的坐标求出n的值，即可得出结论；
ii）过点E作EH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，判断出两三角形相似，得出，进而得出＝＝，即可得出结论；
（2）先作出直线AF关于直线BC的对称直线MN，求出直线BC的解析式，进而求出直线MN的解析式，再判断出直线MN与抛物线在BC上方的图象只有一个公共点，即可得出结论．
【解答】解：（1）i）∵抛物线的对称轴为x＝，
∴﹣＝，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2n，
∵点B的横坐标为4，
∴B（4，0），
∴﹣16+4+2n＝0，
∴n＝6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12；
ii）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+12，
令x＝0，则y＝12，
∴C（0，12），
令y＝0，则﹣x2+x+12＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴B（4，0），A（﹣3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+12，
设点E（a，﹣3a+12），点D（b，﹣b2+b+12），
如图1，过点E作EH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，
∴EH∥DG，
∴△AEH∽△ADG，
∴，
∵＝7，
∴＝，
∴＝＝，
∵AH＝a+3，AG＝b+3，EH＝﹣3a+12，DG＝﹣b2+b+12，
∴，
∴b＝1或b＝3，
∴D（1，12）或（3，6）；
（2）如图2，
∵m＝n﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（n﹣2）x+2n①，
令y＝0，则﹣x2+（n﹣2）x+2n＝0，
∴x＝﹣2或x＝n，
∴A（﹣2，0），B（n，0），
令x＝0，则y＝2n，
∴C（0，2n），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+2n，
作直线AF关于直线BC的对称直线，交x轴于M，
∵A（﹣2，0），B（n，0），
∴M（2n+2，0），
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+4n+4②，
联立①②化简得，x2﹣nx+2n+4＝0，
∵折叠后的图象（图中虚线部分）与直线AF有且只有一个公共点，
∴MN与抛物线在直线BC上方的图象只有一个公共点，
∴△＝n2﹣4（2n+4）＝0，
∴n＝4﹣4（舍）或n＝4+4．
即满足条件的n的值为4+4．
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