2019-2020学年北京西城区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京西城区八上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列因式分解正确的是
A. m2−5m+6=mm−5+6B. 4m2−1=2m−12
C. m2+4m−4=m+22D. 4m2−1=2m+12m−1

3. 下列运算正确的是
A. 2−3=−8B. 2−3=−6C. 2−3=18D. 2−3=16

4. 下列各式从左到右的变形正确的是
A. a2+1a=a+1B. −25a2b10ab2c2=−52abc2
C. b−a−b−a=a−ba+bD. m2−9m−3=1m+3

5. 如图，在等腰三角形 ABC 中，BA=BC，∠ABC=120∘，D 为 AC 边的中点，若 BC=6，则 BD 的长为
A. 3B. 4C. 6D. 8

6. 【例 7 】以下关于直线 y=2x−4 的说法正确的是
A. 直线 y=2x−4 与 x 轴的交点的坐标为 0,−4
B. 坐标为 3,3 的点不在直线 y=2x−4 上
C. 直线 y=2x−4 不经过第四象限
D. 函数 y=2x−4 的值随 x 的增大而减小

7. 如图，在 △ABC 与 △EMN 中，BC=MN=a，AC=EM=b，∠C=∠M=54∘．若 ∠A=66∘，下列结论正确的是
A. EN=cB. EN=aC. ∠E=60∘D. ∠N=66∘

8. 在平面直角坐标系 xOy 中，A1,3，B5,1，点 M 在 x 轴上，当 MA+MB 取得最小值时，点 M 的坐标为
A. 5,0B. 4,0C. 1,0D. 0,4

9. 程老师制作了如图 1 所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点 Q 在轨道槽 AM 上运动，点 P 既能在以 A 为圆心、以 8 为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽 QN 上运动．图 2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
① ∠PAQ=30∘，PQ=6 时，可得到形状唯一确定的 △PAQ；
② ∠PAQ=30∘，PQ=9 时，可得到形状唯一确定的 △PAQ；
③ ∠PAQ=90∘，PQ=10 时，可得到形状唯一确定的 △PAQ；
④ ∠PAQ=150∘，PQ=12 时，可得到形状唯一确定的 △PAQ．
其中所有正确结论的序号是
A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②③④

10. 如图 1 所示，A，B 两地相距 60 km ，甲、乙分别从 A，B 两地出发，相向而行.图 2 中的 l1，l2 分别表示甲、乙离 B 地的距离 y（km）与甲出发后所用的时间 x（h）的函数关系.以下结论正确的是
A. 甲的速度为 20 km/hB. 甲和乙同时出发
C. 甲出发 1.4 h 时与乙相遇D. 乙出发 3.5 h 时到达 A 地

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若分式 x+3x−1 的值为 0，则 x 的值为 ．

12. 计算：a−5b−3⋅ab−2= （要求结果用正整数指数幂表示）．

13. 在如图所示的“北京 2008 年奥运会开幕小型张”中，邮票的形状是一个多边形．这个多边形的内角和等于 ∘．

14. 据印刷工业杂志社报道，纳米绿色印刷技术突破了传统印刷技术精度和材料种类的局限，可以在硅片上印刷出 10 纳米（即为 0.00000001 米）量级的超高精度导电线路将 0.00000001 用科学记数法表示应为 ．

15. 计算：−2a33b2= ．

16. 直线 y=−2x+6 与 x 轴的交点为 M，将直线 y=−2x+6 向左平移 5 个单位长度，点 M 平移后的对应点 Mʹ 的坐标为 ，平移后的直线表示的一次函数的解析式为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=30∘，∠ACB=45∘，BD∥AC，BD=AB，且 C，D 两点位于 AB 所在直线两侧．射线 AD 上的点 E 满足 ∠ABE=60∘．
（1）∠AEB= ∘．
（2）图中与 AC 相等的线段是 ，证明此结论只需证明 △ ≌△ ．

18. 如图 1 所示，S同学把一张 6×6 的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．
T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图 1 ②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图 2 所示．
对于图 3 中的另一种剪纸方式，请仿照图 2 中“逆向还原”的方式，在图 4 ①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图 2 中最后得到的图案是否相同．
答： ．（相同或不相同）

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 分解因式：
（1）a2b−4b3．
（2）y2a−b+xb−2a．

20. 化简并求值：x+y2−2xyx÷x2−y2x，其中 x=4y，且 x，y 均不为 0．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，E，F 两点分别在 AB，AC 边上且 BE=CF．
求证：DE=DF．

22. 如图，直线 l1：y=12x+32 与 y 轴的交点为 A，直线 l1 与直线 l2：y=kx 的交点 M 的坐标为 M3,a．
（1）求 a 和 k 的值．
（2）直接写出关于 x 的不等式 12x+32（3）若点 B 在 x 轴上，MB=MA，直接写出点 B 的坐标．

23. 小川同学乘坐新开通的 C2701 次城际列车，它从“北京西”站始发直达终点“大兴机场”站，但因列车行驶的全程分别属于两段不同的路网A段和新开通运营的B段，在两段运行的平均速度有所不同．小川搜集了相关信息填入下表．
线路划分A段B段新开通所属全国铁路网京九线京雄城际铁路北京段站间北京西一李营李营一大兴机场里程近似值单位:km1533运行的平均速度单位:km/h所用时间单位:h
已知 C2701 次列车在B段运行的平均速度比在A段运行的平均速度快 35 km/h，在B段运行所用时间是在A段运行所用时间的 1.5 倍．C2701 次列车从“北京西”站到“大兴机场”站全程需要多少小时?
（提示：可借助表格解决问题）

24. 已知：线段 AB=a．
（1）完成尺规作图：
点 P 在线段 AB 所在直线上方，PA=PB，且点 P 到 AB 的距离等于 a2，连接 PA，PB．在线段 AB 上找到一点 Q 使得 QB=PB，连接 PQ，并直接回答 ∠PQB 的度数．
（2）若将（1）中的条件“点 P 到 AB 的距离等于 a2”替换为“PB 取得最大值”，其余所有条件都不变，此时点 P 的位置记为 Pʹ，点 Q 的位置记为 Qʹ，连接 PʹQʹ，并直接回答 ∠PʹQʹB 的度数．

25. 小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数 y=∣x+1∣−x 的图象与性质，并尝试解决相关问题．
请将以下过程补充完整：
（1）判断这个函数的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）补全表格：
x⋯−3−2.5−2−1.5−1011.52⋯y⋯543 11 1⋯
（3）在直角坐标系 xOy 中画出函数 y=∣x+1∣−x 的图象：
（4）填空：当 x≤−1 时，相应的函数解析式为 （用不含绝对值符号的式子表示）
（5）写出直线 y=−x+1 与函数 y=∣x+1∣−x 的图象的交点坐标．

26. 如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，点 D 在 BC 边上，连接 AD，AE⊥AD，AE=AD，连接 CE，DE．
（1）求证：∠B=∠ACE．
（2）点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，连接 CM，EM．
①补全图形并证明 ∠EMC=∠BAD．
②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当 D，E，M 三点恰好共线时点 D 的位置，请直接写出此时 ∠BAD 的度数，并画出相应的图形．

四、填空题（共1小题；共5分）
27. 观察以下等式：
−1×12=−1+12，
−2×23=−2+23，
−3×34=−3+34，
−4×45=−4+45，
⋯⋯
（1）依此规律进行下去，第 5 个等式为 ，猜想第 n 个等式为 （n 为正整数）．
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．

五、解答题（共2小题；共26分）
28. 已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点 P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点 P 与 BC 边平行的线段 FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图① ∼ 图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
（1）第一步得到图②．方法是：过点 P 折叠纸片，使得点 B 落在 BC 边上，落点记为 Bʹ，折痕分别交原 AB，BC 边于点 E，D，此时 ∠EDBʹ 即 ∠EDC= ．
（2）第二步得到图③．参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为： ，并求 ∠EPF 的度数．
（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段 ED，FG 得到图④．
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明 FG∥BC．

29. 如图 1 中的三种情况所示，对于平面内的点 M，点 N，点 P，如果将线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 90∘ 能得到线段 PN，就称点 N 是点 M 关于点 P 的“正矩点”．
（1）在如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy 中，已知 S−3,1，P1,3，Q−1,−3，M−2,4．
①点 P，点 Q 中， 是点 S 关于原点 O 的“正矩点”．
②在 S，P，Q，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：
点 是点 关于点 的“正矩点”，写出一种情况即可．
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3k<0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 A 关于点 B 的“正矩点”记为点 C，坐标为 CxC,xC．
①当点 A 在 x 轴的正半轴上且 OA 小于 3 时，求点 C 的横坐标 xC 的值．
②若点 C 的纵坐标 yC 满足 −1答案
第一部分
1. D
2. D【解析】A选项：m2−5m+6=m−2m−3，故A错误；
B选项：4m2−1=2m+12m−1，故B错误；
C选项：m2+4m−4≠m+22=m2+4m+4，故C错误；
D选项：4m2−1=2m+12m−1，故D正确．
3. C【解析】方法一：2−3=123=18，
故C正确，A，B，D不正确．
方法二：
A选项：2−3=123=18≠−8，故A错误．
B选项：2−3=123=18≠−6，故B错误．
C选项：2−3=123=18，故C正确．
D选项：2−3=123=18≠16，故D错误．
4. C【解析】A选项：a2+1a≠a+1，故A错误；
B选项：−25a2b10ab2c2=−5a2bc2=−5a2bc2≠−52abc2，故B错误；
C选项：b−a−b−a=b−a−b+a=a−ba+b，故C正确；
D选项：m2−9m−3=m+3m−3m−3=m+3≠1m+3，故D错误．
5. A
【解析】∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=120∘，
∴∠A=∠C=12180∘−∠ABC=30∘，
又 ∵D 为 AC 中点，
∴AD=CD，
又 ∵BA=BC，
∴BD⊥AC，
在 △BDC 中，∠BDC=90∘，∠C=30∘，
∴BD=12BC，
∵BC=6，
∴BD=3．
6. B【解析】A．当 y=0 时，2x−4=0，解得：x=2，
∴ 直线 y=2x−4 与 x 轴的交点的坐标为 2,0，选项A不符合题意；
B．当 x=3 时，y=2x−4=2，
∴ 坐标为 3,3 的点不在直线 y=2x−4 上，选项B符合题意；
C．∵k=2>0，b=−4<0，
∴ 直线 y=2x−4 经过第一、三、四象限，选项C不符合题意；
D．∵k=2>0，
∴ 函数 y=2x−4 的值随 x 的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
7. A【解析】∵BC=MN=a，AC=EM=b，∠C=∠M=54∘，
∴ 在 △BCA 和 △NME 中，
BC=NM,∠C=∠M,CA=ME,
∴△BCA≌△NMESAS，
∴EN=BA=c，∠E=∠A=66∘，∠N=∠B=180∘−66∘−54∘=60∘，
∴ A正确．
8. B【解析】A1,3，B5,1，
B 点关于 x 轴对称点 Bʹ 为 5,−1，
连接 ABʹ，与 x 轴交点 M，
由图象可知 M4,0．
9. C【解析】当 ∠PAQ=30∘ 时，过 P 作 PN⊥AM 垂足为 N，
∵AP=8，
∴PN=4，
当 PQ=6 时，
∵PA ∴Q 点可能在 N 的左边也可能在 N 的右边，
∴△PAQ 的形状不能唯一确定，故①结论不正确．
当 PQ=9 时，
∵PQ>PA，
∴Q 在 N 的右边有唯一确定的点，
故 △PAQ 的形状唯一确定，故②结论正确．
当 ∠PAQ=90∘，PQ=10 时，
∵PQ>PA，
∴Q 在 AM 上有唯一确定的点，
∴△PAQ 的形状唯一确定，故③结论正确，
当 ∠PAQ=150∘，PQ=12 时，
∵PQ>PA，
∴ 在 AM 上有唯一确定的点，
∴△PAQ 的形状唯一确定，故④结论正确，
故正确的结论序号有②③④．
10. C
【解析】A选项：60÷2=30（km/h），故甲的速度是 20 km/h，该选项错误；
B选项：由图可知，甲比乙早出发 0.5 h，该选项错误；
C选项：设 l1 对应的函数解析式为 y1=k1x+b1，由题意列方程组得
b1=60,2k1+b1=0,
解得 k1=−30,b1=60,
即 l1 对应的函数解析式为 y1=−30x+60．
设 l2 对应的函数解析式为 y2=k2x+b2，由题意列方程组得
0.5k2+b2=0,3.5k1+b1=60,
解得 k2=1.4,b2=−10.
即 l2 对应的函数解析式为 y1=20x−10，
解方程组 y=−30x+60,y=20x−10,
得 x=1.4,y=18.
即点 A 的坐标为 14,8，
点 A 的实际意义是在甲出发 1.4 小时时，甲乙两车相遇，此时距离 B 地 18 km，该选项正确；
D选项：由图可得，乙出发 3.5−0.5=3h 后到达 A 地，该选项错误．
第二部分
11. −3
【解析】x+3x−1=0，
∴x+3=0,x−1≠0,
∴x=−3．
12. 1a4⋅b5
【解析】a−5b−3⋅ab−2=a−5+1⋅b−3+−2=a−4⋅b−5=1a4⋅b5.
13. 720
【解析】由图可知，这个多边形为 6 边形，
6 边形内角和为 180∘×6−2=720∘．
14. 1×10−8
15. 4a69b2
16. −2,0，y=−2x−4
【解析】y=−2x+6，
当 y=0 时，−2x+6=0，x=3，
∴M3,0，
向左平移 5 个单位长度 Mʹ3−5,0, 即 Mʹ−2,0，
y=−2x+5+6,=−2x−10+6,=−2x−4.
17. 45，BE，BDE，ABC
【解析】（1）∵AC=BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠BAC=30∘，
∴∠ABD=30∘，
∵AB=BD，
∴∠ABD=∠BDA=180∘−∠ABD2=75∘，
∵∠ABE=60∘，
∴∠AEB=180∘−∠ABE−∠BAE=45∘．
（2）AC=BE，理由是：∠DEB=∠BCA=45∘，
∵∠ABE=60∘，∠ABD=30∘，
∴∠DBE=30∘，
∴∠DBE=∠BAC，
在 △BDE 和 △ABC 中，
∠DEB=∠BCE,∠DBE=∠BAC,BD=AB,
∴△BDE≌△ABC，
∴BE=AC，
∴ 与 AC 相等的线段是 BE，只需证明 △BDE≌△ABC．
18. 不相同
【解析】还原后的图案如图所示，与图 2 中最后得到的图案不相同．
第三部分
19. （1） 原式=ba2−4b2=ba+2ba−2b.
（2） 原式=y2a−b−x2a−b=2a−by−x.
20. 原式=x2x+y2−2xyx÷x+yx−yx=x2+y2−2xyx⋅xx+yx−y=x−y2x⋅xx+yx−y=x−yx+y.
将 x=4y 代入，
原式=4y−y4y+y=3y5y=35.
21. ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又 ∵D 为 BC 中点，
∴BD=CD=12BC，
又 ∵BE=CF，
在 △BED 和 △CFD 中，
BD=CD,∠ABC=∠ACB,BE=CF,
∴∠BDE≌△CFDSAS，
∴DE=DF．
22. （1） ∵ 直线 l1 与直线 l2 的交点为 M3,a，
∴ 将 M3,a 代入 y=12x+32，
∴12×3+32=a，
∴a=3，
∴M3,3，
将 M3,3 代入 y=kx 中，
3k=3，k=1．
（2） 不等式 12x+323．
【解析】由函数图象可知，当 x>3 时，直线 l2 在直线 l1 上方，
∴ 不等式 12x+323．
（3） B 点坐标为 32,0 或 92,0．
【解析】令 x=0，y=32，
∴A0,32，
∴MA=32+3−322=352，
∵MB=MA，
∴MB=352，
设 B 点坐标为 M,0，
∴3−M2+32=3522，
∴m=32 或 m=92，
∴B 点坐标为 32,0 或 92,0．
23. 设在A段运行时间为 x h，则在B段运行时间为 1.5x，
由题引得：
15x+35=331.5x,15+35x=22,35x=7,x=0.2,
经检验，x=0.2 是方程的解．
0.2+1.5×0.2=0.5h．
答：全程需要 0.5 小时．
24. （1） 补全图形，如图所示：
∠PQB=67.5∘．
【解析】∵PA=PB，
∴PO 垂直平分 AB．
∵AO=OB=OP，
∴∠PAB=∠PBA=45∘．
∵BQ=BP，
∴∠PQB=∠QPB=180∘−∠ABP2=67.5∘．
（2） 60∘．
【解析】∵PB=QB，点 Q 在线段 AB 上，
∴ 当点 Q 与点 A 重合时，BQ 的最大值为 AB=a，
∴PB 的最大值为 a，此时 △PʹQʹB 为等边三角形，
∴∠PʹQʹB=60∘．
25. （1） x 为任意实数
（2） 2；1；1
【解析】把 x=−1.5 代入 y=∣x+1∣−x 中，
得 y=∣−1.5+1∣−−1.5=2，
把 x=−1 代入 y=∣x+1∣−x 中，
得 y=∣−1+1∣−−1=1，
把 x=1.5 代入 y=∣x+1∣−x 中，
得 y=∣1.5+1∣−1.5=1．
（3） 图象如下所示：
（4） y=−2x−1（x≤−1）
【解析】当 x≤−1 时，
x+1≤0，
∴y=∣x+1∣−x=−x−1−x=−2x−1，
即 y=−2x−1（x≤−1）．
（5） 当 x≤−1 时，y=−2x−1，
联立 y=−2x−1,y=−x+1, 解得 x=−2,y=3,
∴ 交点坐标为 −2,3．
当 x>−1 时，y=1，
联立 y=1,y=−x+1, 解得 x=0,y=1,
综上，直线 y=−x+1 与函数 y=∣x+1∣−x 交点为 −2,3，0,1．
26. （1） ∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．
（2） ①补全图形如图所示，
∵ 点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，
∴CA=CM，EA=EM，
在 △ACE 和 △MCE 中，
AC=MC,AE=ME,CE=CE,
∴△ACE≌△MCE，
∴∠CAE=∠CME，
∵∠CAE=∠BAD，
∴∠EMC=∠BAD．
② ∠BAD=22.5∘，如图所示．
【解析】②延长 CE 交 AM 于 H，
∵ 点 A 关于直线 CE 的对称点为 M，
∴CH⊥AM，EA=EM，
∴∠AEH=∠MEH，
∵AD=AE，∠DAE=90∘，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠AEM=180∘−∠AED=135∘，
∴∠MEH=12∠AEM=67.5∘，
∴∠DEC=∠MEH=67.5∘，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=∠ACE=45∘，
∴∠DCE=90∘，
∴∠EDC=90∘−∠DEC=22.5∘，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE=22.5∘．
第四部分
27. −5×56=−5+56，−n×nn+1=−n+nn+1，−n×nn+1=−n2n+1，
−n+nn+1=−nn+1+nn+1=−n2n+1，
∴−n×nn+1=−n+nn+1．
【解析】（1）由此规律知，
第 5 个等式为：−5×56=−5+56，
第 n 个等式为：−n×nn+1=−n+nn+1．
第五部分
28. （1） 90∘
（2） 过点 P 折叠纸片，使得点 D 落在 PE 上，落点记为 Dʹ，折痕交原 AC 边于点 F
由折叠过程可知 ∠DʹPF=∠EPF=∠DPF，
∵Dʹ，P，D 三点共线，
∴∠DʹPF+∠DPF=180∘，
∴∠DʹPF=90∘，
∴∠EPF=90∘．
（3） 完成操作中的说理：
∵∠EDC=90∘，∠EPF=90∘，
∴∠EDC=∠EPF，
∴FG∥BC．
29. （1） ①点 P
② S；P；M
【解析】①连接 SO，PO 作 SC⊥x 轴于 C，PD⊥x 轴于 D，
∵S−3,1，P1,3，
∴SC=OD=1，
CO=PD=3，
又 ∠SCO=∠PDO=90∘，
易证 △SCO≌△ODP，
易证 SO=OP，∠SOP=90∘，
∴SO 绕 O 顺时针转 90∘ 得到 PO，
∴P 是 S 关于 O 的“正矩点”，
② S 是 P 关于 M 的正矩点，
过 M 作 EF∥x 轴，过 S 作 SE⊥EF 于 E，过 P 作 PF⊥EF 于 F，
同①易证 △SEM≌△MFP，
可证 S 是 P 关于 M 的正矩点．
（2） ①符合题意的图形如图 1 所示，作 CE⊥x 轴于点 E，CF⊥y 轴于点 F，
可得 ∠BFC=∠AOB=90∘，
∵ 直线 y=kx+3k<0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴ 点 B 的坐标为 B0,3，A−3k,0 在 x 轴的正半轴上，
∵ 点 A 关于点 B 的“正矩点”为点 CxC,yC，
∴∠ABC=90∘，BC=BA，
∴∠1+∠2=90∘，
∵AOB=90∘，
∴∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠3，
∴△BFC≌△AOB，
∴FC=OB=3，
可得 OE=3，
∵ 点 A 在 x 轴的正半轴上且 OA<3，
∴xC<0，
∴ 点 C 的横坐标 xC 的值为 −3．
② −3≤k<−34．
【解析】② −3≤k<−34（如图 2），
由①中分析得知，不论 A 在何处，△BFC≌△AOB，则 BF=OA，
当 −1 ∴−1≤−3k<4，
∴−3≤k<−34．