2018-2019学年上海市崇明区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018-2019学年上海市崇明区九上期末数学试卷（一模），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 若 2x=3y，则 xy 的值为
A. 23B. 32C. 53D. 23

2. 在 Rt△ABC 中，如果 ∠C=90∘，那么 ACBC 表示 ∠A 的
A. 正弦B. 正切C. 余弦D. 余切

3. 已知二次函数 y=ax2+bx 图象如图所示，那么 a，b 的符号为
A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<0

4. 如图，如果 ∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定 △ABC∽△ADE 的是
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠AEDC. ABAD=DEBCD. ABAD=ACAE

5. 已知向量 a 和 b 都是单位向量，则下列等式成立的是
A. a=bB. a+b=2
C. a−b=0D. ∣a∣−∣b∣=0

6. 如果两圆的圆心距为 2，其中一个圆的半径为 3，另一个圆的半径 r>1，那么这两个圆的位置关系不可能是
A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：32a−a−32b= ．

8. 已知线段 b 是线段 a，c 的比例中项，且 a=1，c=4，那么 b= ．

9. 在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A4,3，如果 AO 与 y 轴正半轴的夹角为 α，那么 csα= ．

10. 如果一个正六边形的半径为 2，那么这个正六边形的周长为 ．

11. 如果两个相似三角形的周长比为 4:9，那么面积比是 ．

12. 已知线段 AB 的长为 10 厘米，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，那么线段 AC 的长为 厘米．

13. 已知抛物线 y=x−12−4，那么这条抛物线的顶点坐标为 ．

14. 已知二次函数 y=−x2−2，那么它的图象在对称轴的 部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）．

15. 已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，G 为 △ABC 的重心，那么 CG= ．

16. 如图，正方形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上，已知 BC=6，△ABC 的高 AH=3，则正方形的 DEFG 边长为 ．

17. 已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=10，AC=8，如果以点 C 为圆心的圆与斜边 AB 有唯一的公共点，那么 ⊙C 的半径 R 的取值范围为 ．

18. 如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形 ABCD 中，点 M 在边 CD 上，连接 AM,BM,∠AMB=90∘，则点 M 为直角点．若点 E,F 分别为矩形 ABCD 边 AB,CD 上的直角点，且 AB=5,BC=6，则线段 EF 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：cs245∘−tan30∘2cs30∘+ct30∘⋅sin60∘

20. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，且 DE=23BC．
（1）如果 AC=6，求 AE 的长；
（2）设 AB=a，AC=b，求向量 DE（用向量 a，b 表示）．

21. 已知：如图，AO 是 ⊙O 的半径，AC 为 ⊙O 的弦，点 F 为 AC 的中点，OF 交 AC 于点 E，AC=8，EF=2．
（1）求 AO 的长；
（2）过点 C 作 CD⊥AO，交 AO 延长线于点 D，求 sin∠ACD 的值．

22. 安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知集热管 AE 与支架 BF 所在直线相交于水箱横截面 ⊙O 的圆心 O，⊙O 的半径为 0.2 米，AO 与屋面 AB 的夹角为 32∘，与铅垂线 OD 的夹角为 40∘，BF⊥AB，垂足为 B，OD⊥AD，垂足为 D，AB=2 米．
（1）求支架 BF 的长；
（2）求屋面 AB 的坡度．（参考数据：tan18∘≈13,tan32∘≈3150,tan40∘≈2125）

23. 如图，△ABC 中，D 是 BC 上一点，E 是 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于点 F，∠BGD=∠BAD=∠C．
（1）求证：BD⋅BC=BC⋅BE；
（2）如果 ∠BAC=90∘，求证：AG⊥BE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+6（a，b 都是常数，且 a<0）的图象与 x 轴交于点 A−2,0，B6,0，顶点为点 C．
（1）求这个二次函数的解析式及点 C 的坐标；
（2）过点 B 的直线 y=−12x+3 交抛物线的对称轴于点 D，联结 BC，求 ∠CBD 的余切值；
（3）点 P 为抛物线上一个动点，当 ∠PBA=∠CBD 时，求点 P 的坐标.

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为 D，点 P 是边 AB 上的一个动点，过点 P 作 PF∥AC 交线段 BD 于点 F，作 PG⊥AB 交 AD 于点 E，交线段 CD 于点 G，设 BP=x．
（1）用含 x 的代数式表示线段 DG 的长；
（2）设 △DEF 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）△PEF 能否为直角三角形?如果能，求出 BP 的长；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∵2x=3y，
∴x:y=3:2．
故选B．
2. D【解析】在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，
∴ctA=ACBC，
故选D．
3. A【解析】如图所示，抛物线开口向上，则 a>0，
又因为对称轴在 y 轴左侧，故 −b2a<0，
因为 a>0，
所以 b>0．
故选A．
4. C【解析】∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
A，B，D都可判定 △ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似．
故选C.
5. D
6. C【解析】∵r＞1，
∴2＜3＋r，
∴ 这两个圆的位置关系不可能外离．
故选C．
第二部分
7. 12a+32b
【解析】32a−a−32b=32a−a+32b=12a+32b．
8. 2
【解析】∵b 是 a，c 的比例中项，
∴b2=ac，即 b2=4，
∴b=±2（负数舍去）．
故答案是：2．
9. 35
【解析】如图：过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，
∵A4,3，
∴OB=3，AB=4，
∴ 由勾股定理可知：OA=5，
∴csα=OBOA=35，
故答案为 35．
10. 12
【解析】∵ 正六边形的半径等于边长，
∴ 正六边形的边长 a=2，
正六边形的周长 =6a=12，
故答案为 12．
11. 1681
【解析】∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，
∵ 两个相似三角形周长比 =49，
∴ 它们的面积比 =492=1681．
故答案为：1681．
12. 55−5
【解析】∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC，
∴AC=5−12AB=55−5cm，
故答案为 55−5．
13. 1,−4
【解析】∵y=x−12−4
∴ 抛物线的顶点坐标是 1,−4
故答案为 1,−4．
14. 右侧
【解析】∵ 二次函数 y=−x2−2 中，a=−1<0，抛物线开口向下，
∴ 抛物线图象在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小（下降）．
15. 103
【解析】如图：
在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵G 为 △ABC 的重心，
∴CD 是 △ABC 的中线，
∴CD=12AB=5，
∵G 为 △ABC 的重心，
∴CG=23CD=103．
16. 2
【解析】高 AH 交 DG 于 M，如图，
设正方形 DEFG 的边长为 x，则 DE=MH=x，
∴AM=AH−MH=3−x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴DGBC=AMAH，即 x6=3−x3，
∴x=2，
∴ 正方形 DEFG 的边长为 2．
故答案为 2．
17. 6【解析】根据勾股定理求得 BC=102−82=6，
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 245；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则 6故半径 R 的取值范围是 R=4.8 或 618. 6 或 7
【解析】作 FH⊥AB 于点 H，连接 EF．
∵∠AFB=90∘，
∵∠AFD+∠BFC=90∘，
∵∠AFD+∠DAF=90∘，
∵∠DAF=∠BFC，
又 ∵∠D=∠C，
∴△ADF∽△FCB，
∴ADFC=DFBC，
即 6FC=5−FC6，
∴FC=2 或 3，
∵ 点 F,E 分别为矩形 ABCD 边 CD,AB 上的直角点，
∴AE=FC，
∴ 当 FC=2 时，AE=2,EH=1，
∴EF2=FH2+EH2=62+12=7，
∴EF=7，
当 FC=3 时，此时点 E 与点 H 重合，即 EF=BC=6，
综上，EF=7 或 6．
故答案为 7 或 6．
第三部分
19. 分别把 cs45∘=22，tan30∘=33，cs30∘=32，ct30∘=3，sin60∘=32，代入原式计算即可．
原式 =222−332×32+3×32=12−13+32=53
20. （1） 如图．
∵DE∥BC，且 DE=23BC，
∴AEAC=DEBC=23．
又 AC=6，
∴AE=4．
（2） ∵AB=a，AC=b，
∴BC=AC−AB=b−a．
又 DE∥BC，DE=23BC，
∴DE=23BC=23b−a．
21. （1） ∵O 是圆心，且点 F 为 AC 的中点，
∴OF⊥AC，
∵AC=8，
∴AE=4，
设圆的半径为 r，即 OA=OF=r，
则 OE=OF−EF=r−2，
由 OA2=AE2+OE2 得 r2=42+r−22，
解得：r=5，即 AO=5；
（2） 如图：
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90∘，
∴∠AOE=∠ACD，
则 sin∠ACD=sin∠AOE=AEAO=45．
22. （1） 因为 ∠OAB=32∘，OB⊥AB，
所以 tan∠OAB=OBAB=tan32∘，
因为 AB=2 m，
所以 OB2≈3150，
所以 OB=1.24 m，
因为 ⊙O 的半径为 0.2 m，
所以 BF=1.04 m；
（2） 因为 ∠AOD=40∘，OD⊥AD，
所以 ∠OAD=50∘，
因为 ∠OAB=32∘，
所以 ∠BAD=18∘，
所以 AB 的的坡度为 tan18∘=13．
23. （1） ∵∠DBG=∠CBE，
∠BGD=∠C，
∴△BDG∽△BEC，
∴BGBC=BDBE，
∴BD⋅BC=BG⋅BE；
（2） ∵∠ABD=∠CBA，∠BAD=∠C，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA=∠BAC=90∘，
∵∠BAD=∠BGD，
∴A，B，D，G 四点共圆，
∴∠AGB=∠ADB=90∘，
∴AG⊥BE．
24. （1） 将 A−2,0，B6,0 代入 y=ax2+bx+6，得：4a−2b+6=0,36a+6b+6=0,
解得：a=−12,b=2,
∴ 二次函数的解析式为 y=−12x2+2x+6，
∵y=−12x2+2x+6=−12x−22+8，
∴ 点 C 的坐标为 2,8；
（2） 当 x=2 时，y=−12x+3=2，
∴点 D 的坐标为 2,2，
过点 D 作 DE⊥BC，垂足为点 E，设抛物线对称轴与 x 轴的交点为点 F，如图 1 所示．
∵ 抛物线的顶点坐标为 2,8，
∴ 点 F 的坐标为 2,0，
∵ 点 B 的坐标为 6,0，
∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC=CF2+BF2=45，BD=DF2+BF2=25，
∴sin∠BCF=BFBC=DECD，即 445=DE6，
∴DE=655
∴BE=BD2−DE2=855，
∴ct∠CBD=BEDE=855655=43；
（3） 设直线 PB 与 y 轴交于点 M，如图 2 所示．
∵∠PBA=∠CBD，
∴ct∠PBA=OBOM=43，即 6OM=43，
∴OM=92，
∴ 点 M 的坐标为 0,92 或 0,−92，
设直线 BP 的解析式为 y=mx+nm≠0，
将 B6,0，M0,92 代入 y=mx+n，得：6m+n=0,n=92,
解得：m=−34,n=92,
∴ 直线 BP 的解析式为 y=−34x+92，
同理，当点 M 的坐标为 0,−92 时，直线 BP 的解析式为 y=−34x+92，
联立直线 BP 与抛物线的解析式成方程组，得：y=34x−92,y=−12x2+2x+6 或 y=−34x+92,y=−12x2+2x+6,
解得：x1=−12,y1=398 x2=6,y2=0 或 x1=−72,y1=−578 x2=6,y2=0,
∴ 点 P 的坐标为 −12,398 或 −72,−578．
25. （1） ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
在 Rt△ABD 中，AD=AB2−BD2=4，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90∘，
∴△ABD∽△GBP，
∴BDAB=BPBG=35，
∴BG=53BP=53x，
∴DG=BG−BD=53x−3．
（2） ∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BCA，
∴BFBC=BPAB，即 x5=BF6，
∴BF=65x，
∴FD=BD−BF=3−65x，
∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，
∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90∘，
∴△DEG∽△DBA，
∴BDAD=DEDG，
∴34=DE53x−3，
∴DE=54x−94，
∴S△DEF=y=12×DF×DE=12×3−65x×54x−94=−34x2+12940x−27895 （3） 若 EF⊥PG 时，
∵EF⊥PG，ED⊥FG，
∴∠FED+∠DEG=90∘，∠FED+∠EFD=90∘，
∴∠EFD=∠DEG，且 ∠EDF=∠EDG，
∴△EFD∽△GDE，
∴EDDG=DFED，
∴ED2=FD×DG，
∴54x−942=3−65x53x−3，
∴5×57x2−1138x+225×5=0，
∴x=95（不合题意舍去），x=12557；
若 EF⊥PF，
∴∠PFB+∠EFD=90∘，且 ∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90∘，
∴∠EFD=∠DAC，且 ∠EDF=∠ADC=90∘，
∴△EDF∽△CDA，
∴EDDF=CDAD，
∴54x−943−65x=34，
∴x=9043．
综上所述：当 BP 为 12557 或 9043 时，△PEF 为直角三角形．