2019-2020学年上海市崇明区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2019-2020学年上海市崇明区九上期末数学试卷（一模），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各组图形一定相似的是
A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个直角梯形D. 两个正方形

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=8，BC=6，那么 ∠B 的余切值为
A. 34B. 43C. 35D. 45

3. 抛物线 y=−3x+12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2

4. 已知 c 为非零向量，a=3c，b=−2c，那么下列结论中错误的是
A. a∥bB. a=32b
C. a 与 b 方向相同D. a 与 b 方向相反

5. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是
A. 点 PB. 点 QC. 点 RD. 点 M

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 边上且 DE∥BC，点 M 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），连接 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是
A. ADAN=ANAEB. DNNE=BMCMC. DNBM=AEECD. DNMC=NEBM

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=23，那么 x+yx= ．

8. 已知线段 AB=8 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC⋅AB，那么线段 AC 的长 cm．

9. 如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50∘ 和 60∘，那么另一个三角形的最大角为 度．

10. 小杰沿坡比为 1:2.4 的山坡向上走了 130 米．那么他沿着垂直方向升高了 米．

11. 在某一时刻，测得一根高为 1.8 米的竹竿影长为 3 米，同时同地测得一栋楼的影长为 90 米，那么这栋楼的高度为 米．

12. 如果将抛物线 y=x2+2x−1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 ．

13. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 ．
x⋯−1012⋯y⋯0343⋯

14. 正五边形的中心角的度数是 ．

15. 两圆的半径之比为 3:1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆心距为 ．

16. 如果梯形两底分别为 4 和 6，高为 2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，AC>AB，点 D 在 BC 上，且 BD=BA，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，点 F 是 AC 的中点，联结 EF．如果四边形 DCFE 和 △BDE 的面积都为 3，那么 △ABC 的面积为 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，点 D 是 AC 的中点，点 E 在边 AB 上，将 △ADE 沿 DE 翻折，使得点 A 落在点 Aʹ 处，当 AʹE⊥AB 时，那么 AʹA 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan260∘+ct60∘+2tan30∘2sin30∘−sin245∘．

20. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，对角线 AC，BD 相交于点 O，设 AD=a，AB=b．
（1）试用 a，b 的式子表示向量 AO；
（2）在图中作出向量 DO 在 a，b 方向上的分向量，并写出结论．

21. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，联结 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，BD=8，AE=2．
（1）求 ⊙O 的半径；
（2）求 OF 的长度．

22. 如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5 cm，长度均为 20 cm 的连杆 BC，CD 与 AB 始终在同一平面上．
（1）转动连杆 BC，CD，使 ∠BCD 成平角，∠ABC=150∘，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE．
（2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当 ∠BCD=150∘ 时台灯光线最佳．求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米?

23. 如图，△ABC 中，AD⊥BC，E 是 AD 边上一点，联结 BE，过点 D 作 DF⊥BE，垂足为 F，且 AE⋅DF=EF⋅CD，联结 AF，CF，CF 与边 AD 交于点 O．
（1）∠EAF=∠DCF；
（2）AF⋅BD=AC⋅DF．

24. 如图，抛物线与 x 轴相交于点 A−3,0 、点 B1,0，与 y 轴交于点 C0,3，点 D 是抛物线上一动点，连接 OD 交线段 AC 于点 E．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求 ∠ACB 的正切值；
（3）当 △AOE 与 △ABC 相似时，求点 D 的坐标．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B，点 C 重合）．以 D 为顶点作 ∠ADE=∠B，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF⊥AD 交射线 DE 于点 F．

（1）求证：AB⋅CE=BD⋅CD；
（2）当 DF 平分 ∠ADC 时，求 AE 的长；
（3）当 △AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长．
答案
第一部分
1. D【解析】A.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意．
2. A
3. C
4. C【解析】∵a=3c，b=−2c，
∴a=−32b，
∴a∥b，a=−32b，a 与 b 方向相反，
∴ A，B，D正确，C错误．
5. B
6. B【解析】∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴DNBM=ANAM，NEMC=ANAM，
∴DNBM=NECM，即 DNNE=BMCM．
第二部分
7. 52
8. 45−4
【解析】∵AC2=BC⋅AB，
∴ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC．
∴AC=5−12AB=5−12×8=45−4．
9. 70
【解析】∵ 三角形的两个内角分别为 50∘ 和 60∘，
∴ 这个三角形的第三个内角为 180∘−50∘−60∘=70∘，
根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为 70∘．
10. 50
【解析】设他沿着垂直方向升高了 x 米，
因为坡比为 1:2.4，
所以他行走的水平宽度为 2.4x 米，
由勾股定理得，x2+2.4x2=1302，
解得，x=50，即他沿着垂直方向升高了 50 米，
11. 54
12. 1,1
【解析】∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴ 抛物线 y=x2+2x−1 的顶点坐标为 −1,−2，
∴ 把点 −1,−2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点的坐标为 1,1，
即新抛物线的顶点坐标为 1,1．
13. 3,0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 0,3，2,3 两点，
∴ 对称轴 x=0+22=1；
点 −1,0 关于对称轴对称点为 3,0，
因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 3,0．
14. 72∘
【解析】正五边形的中心角为：360∘5=72∘．
15. 2
【解析】设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，
则有 r:R=1:3；
又 R+r=4，
解得 R=3，r=1，
∴ 当它们内切时，圆心距 =3−1=2．
16. 6
【解析】在梯形 BCED 中，作 AG⊥BC 于 G，交 DE 于 F，如图所示．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AFAG=AFAF+2=DEBC=46，解得 AF=4．
∴AG=AF+GF=4+2=6．
17. 10
18. 2852 或 452
第三部分
19. 原式=32+33+2×332×12−222=3+3−12=52+3.
20. （1） ∵AD∥BC，BC=2AD
∴AOOC=ADBC=12
∴AOAC=13 即 AO=13AC
∵AD=a，BC 与 AD 同向
∴BC=2a
∵AC=AB+BC=b+2a
∴AO=13b+23a
（2） 略．
21. （1） 因为 AC 是 ⊙O 的直径，弦 BD⊥AO，BD=8，
所以 BE=DE=12BD=4，
联结 OB，设 ⊙O 的半径为 x，则 OA=OB=x，
因为 AE=2，
所以 OE=x−2，
在 Rt△OEB 中，OE2+BE2=OB2，
所以 x−22+42=x2，解得 x=5，
所以 ⊙O 的半径为 5．
（2） 因为在 Rt△CEB 中，CE2+BE2=BC2，
又因为 CE=5+3=8，BE=4，
所以 BC=45，
因为 OB=OC，OF⊥BC，
所以 BF=CF=12BC=25，
因为在 Rt△OFB 中，OF2+BF2=OB2，
所以 OF=25−20=5．
22. （1） 过点 B 作 BH⊥DE，垂足为 H，
由题意可得：AB=HE=5 cm，
BD=BC+CD=40 cm，
∠ABH=∠DHB=90∘，∠DBH=150∘−90∘=60∘，
∴ 在 Rt△DHB 中，sin∠DBH=DHDB=DH40=32，
∴DH=203 cm，
∴DE=203+5cm．
（2） 过点 C 作 CG⊥BH，CK⊥DE，垂足分别为 G，K，
由题意可得：BC=CD=20 cm，CG=KH，
∴ 在 Rt△CGB 中，sin∠CBH=CGBC=CG20=32，
∴CG=103 cm，
∴KH=103 cm，
∵∠BCG=90∘−60∘=30∘，
∴∠DCK=150∘−90∘−30∘=30∘，
∴ 在 Rt△DCK 中，sin∠DCK=DKDC=DK20=12，
∴DK=10 cm，
∴ 现在的高度为 15+103 厘米，
∴203+5−15+103=103−10，
比原来降低了 103−10 厘米．
23. （1） ∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠ADB=∠DFE=90∘，
∴∠DBE+∠BED=90∘，
∠DBE+∠BDF=90∘，
∴∠BED=∠BDF，
∠AEF=∠CDF，
∵AE⋅DF=CD⋅EF，
∴AECD=EFDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴∠EAF=∠DCF．
（2） ∵△AEF∽△CDF，
∴∠EFA=∠DFC，
∴∠AFO=∠EFD=90∘，
∵∠DFB=90∘，
∴∠BFD=∠AFC，
∵∠EAF=∠DCF，∠AOF=∠COD，
∴△AOF∽△COD，
∴AOOC=OFOD，
∴AOOF=OCOD，
又 ∵∠AOC=∠FOD，
∴△AOC∽△FOD，
∴∠ACF=∠EDF，
∵∠DBE+∠BED=∠FDE+∠BED=90∘，
∴∠DBE=∠EDF，
∴∠ACF=∠DBE，
又 ∵∠BFD=∠AFO，
∴△BFD∽△CFA，
∴AFDF=ACBD，
∴AF⋅BD=AC⋅DF．
24. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0），
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A−3,0，B1,0，C0,3，
∴9a−3b+c=0,a+b+c=0,c=3,
解得 a=−1,b=−2,c=3,
∴ 这条抛物线的解析式为 y=−x2−2x+c，
顶点坐标为 −1,4．
（2） 过点 B 作 BH⊥AC，垂足为 H，
∵∠AOC=90∘，OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，AC=32，
∵∠BHA=90∘，
∴∠HAB+∠HBA=90∘，
∴∠HAB=∠HBA=45∘，
∵ 在 Rt△AHB 中，AH2+BH2=AB2，AB=4，
∴AH=BH=22，
∴CH=32−22=2，
∵∠BHC=90∘，
∴tan∠ACB=BHCH=222=2．
（3） 过点 D 作 DK⊥x轴，垂足为 K，
设 Dx,−x2−2x+3，则 Kx,0，并由题意可得点 D 在第二象限，
∴DK=−x2−2x+3，OK=−x，
∵∠BAC 是公共角，
∴ 当 △AOE 与 △ABC 相似时，
存在以下两种可能，
1∘，∠AOD=∠ABC，
∴tan∠AOD=tan∠ABC=3，
∴−x2−2x+3−x=3，
解得 x1=1−132，x2=1+132（舍去），
∴D1−132,313−32；
2∘，∠AOD=∠ACB，
∴tan∠AOD=tan∠ACB=2，
∴−x2−2x+3−x=2，解得 x1=−3，x2=3（舍去），
∴D−3,23，
综上所述：当 △AOE 与 △ABC 相似时，
点 D 的坐标为 1−132,313−32 或 −3,23．
25. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
即 ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△BDA∽△CED，
∴ABCD=BDCE，
∴AB⋅CE=BD⋅CD．
（2） ∵OF 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵∠CDE=∠BAD，
∴∠ADE=∠BAD，
∴DF∥AB，
∴AEAC=BDBC，
∵∠ADE=∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C，
又 ∵∠B 是公共角，
∴△BDA∽△BAC，
∴BDBA=BABC，
∴BD10=1016，
∴BD=254，
∴AE10=25416，
∴AE=12532．
（3） 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=8，
由勾股定理得出 AH=6，
∴tanB=34，
∵∠ADE=∠B，AF⊥AD，
∴tan∠ADF=AFAD=34，
设 AF=3k，则 AD=4k，DF=5k，
∵△BDA∽△CED，
∴ADDE=ABCD，
①点 F 在线段 DE 的延长线上，当 △AEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：
1∘FA=FE=3k，则 DE=2k，
∴10CD=4k2k，
∴CD=5，
∴BD=16−5=11，
2∘ EA=EF 则 DE=2.5k，
∴10CD=4k2.5k，
∴CD=254，
∴BD=16−254=394，
3∘ AE=AF=3k 则 DE=75k，
∴10CD=4k75k，
∴CD=72，
∴BD=16−72=252，
②点 F 在线段 DE 上，当 △AEF 是等腰三角形时，
∵∠AFE=90∘+∠ADF，
∴∠AFE 是一个钝角，
∴ 只存在 FA=FE=3k 这种可能，
则 DE=8k
∴10CD=4k8k，
∴CD=20>16，不合题意，舍去．
综上所述，当 △AEF 是等腰三角形时，
BD 的长 11 或 394 或 252．