2018-2019学年上海市徐汇区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018-2019学年上海市徐汇区九上期末数学试卷（一模），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 某零件长 40 厘米，若该零件在设计图上的长是 2 毫米，则这幅设计图的比例尺是
A. 1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1

2. 将抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后的表达式是
A. y=x−12+2B. y=x+12+2
C. y=x−12−2D. y=x+12−2

3. 若斜坡的坡比为 1:33，则斜坡的坡角等于
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

4. 如图，在下列条件中，不能判定 △ACD∼△ABC 的是
A. ∠1=∠ACBB. ABBC=ACCD
C. ∠2=∠BD. AC2=AD⋅AB

5. 若 a=2e，向量 b 和向量 a 方向相反，且 b=2a，则下列结论中不正确的是
A. a=2B. b=4C. b=4eD. a=−12b

6. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x⋯−10123⋯y⋯30−1m3⋯①
抛物线开口向下；② 抛物线的对称轴为直线 x=−1；③ m 的值为 0；④ 图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是
A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 ab=23，那么 aa+b 的值为 ．

8. 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（AP>PB），AB=4，那么 AP 的长是 ．

9. 计算：32a−2b−4b= ．

10. 已知 A−2,y1，B−3,y2 是抛物线 y=x−12+c 上两点，则 y1 y2（填“>”“=”或“<”）．

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=5，AF 分别交 BC 于点 E 、交 DC 的延长线于点 F，且 CF=1，则 CE 的长为 ．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AB=5，BC=3，则 sinA 的值为 ．

13. 如图，正方形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上，已知 BC 长为 40 厘米，若正方形 DEFG 的边长为 25 厘米，则 △ABC 的高 AH 为 厘米．

14. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 是梯形 ABCD 的中位线，AH∥CD 分别交 EF，BC 于点 G，H，若 AD=a，BC=b，则用 a，b 表示 EG= ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 G 是 △ABC 的重心，CG=2，sin∠ACG=23，则 BC 长为 ．

16. 如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1 号楼和 2 号楼的地面正中间 B 点垂直起飞到高度为 50 米的 A 处，测得 1 号楼顶部 E 的俯角为 60∘，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为 45∘．已知 1 号楼的高度为 20 米，则 2 号楼的高度为 米（结果保留根号）．

17. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于点 E，csB=513，则 S△BEDS△ABC= ．

18. 在梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠B=90∘，BC=6，CD=2，tanA=34．点 E 为 BC 上一点，过点 E 作 EF∥AD 交边 AB 于点 F．将 △BEF 沿直线 EF 翻折得到 △GEF，当 EG 过点 D 时，BE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：6sin30∘−4sin245∘+tan60∘3−tan45∘．

20. 如图，已知 △ABC, 点 D 在边 AC 上，且 AD=2CD，AB∥EC，设 BA=a，BC=b．
（1）试用 a，b 表示 CD．
（2）在图中作出 BD 在 BA，BC 上的分向量，并直接用 a，b 表示 BD．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点 D 的坐标．
（2）若点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求 tan∠CEB 的值．

22. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和车座上都做了升级，A 为后胎中心，经测量车轮半径 AD 为 30 cm，中轴轴心 C 到地面的距离为 30 cm，座位高度最低刻度为 155 cm，此时车架中立管 BC 长为 54 cm，且 ∠BCA=71∘．（参考数据：sin71∘≈0.95，cs71∘≈0.33，tan71∘≈2.88）
（1）求车座 B 到地面的高度（结果精确到 1 cm）．
（2）根据经验，当车座 Bʹ 到地面的距离 BʹEʹ 为 90 cm 时，身高 175 cm 的人骑车比较舒服，此时车架中立管 BC 拉长的长度 BBʹ 应是多少?（结果精确到 1 cm ）

23. 如图，已知菱形 ABCD，点 E 是 AB 的中点，AF⊥BC 于点 F，联接 EF，ED，DF，DE 交 AF 于点 G，且 AE2=EG⋅ED．
（1）求证：DE⊥EF．
（2）求证：BC2=2DF⋅BF．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 C1:y=ax2+bxa<0 经过点 A 和 x 轴上的点 B，AO=OB=2，∠AOB=120∘．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）连接 AM，求 S△AOM．
（3）将抛物线 C1 向上平移得到抛物线 C2，抛物线 C2 与 x 轴分别交于点 E，F （点 E 在点 F 的左侧），如果 △MBF 与 △AOM 相似，求所有符合条件的抛物线 C2 的表达式．

25. 已知：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC=BC=10，cs∠ACB=45，点 E 在对角线 AC 上（不与点 A，C 重合），∠EDC=∠ACB，DE 的延长线与射线 CB 交于点 F，设 AD 的长为 x．
（1）如图 1，当 DF⊥BC 时，求 AD 的长．
（2）设 EC 的长为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出定义域．
（3）当 △DFC 是等腰三角形时，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】因为 2毫米=厘米，则 0.2厘米:40厘米=1:200；
所以这幅设计图的比例尺是 1:200．
2. A【解析】根据函数图象平移性质“上加下减”“左加右减”，
向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 y=x−12+2．
故选A．
3. D【解析】∵ 斜坡的坡比为 1:33，设坡角为 α，
∴tanα=133=3，
∴α=60∘．
4. B
5. C
【解析】方法一：
已知 a=2e，向量 b 和向量 a 方向相反，且 b=2a，
则 a=2e=2，b=2×2=4，
b=−2a=−2×2e=−4e，
a=−12b．
方法二：
A．由 a=2e 推知 a=2，故A错误；
B．由 b=−4e 推知 b=4，故B错误；
C．依题意得：b=−4e，故C正确；
D．依题意得：a=−12b，故D错误．
6. C【解析】由表格可知，
抛物线的对称轴是直线 x=−1+32=1，故 ② 错误，
抛物线的顶点坐标是 1,−1，有最小值，故抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上，故 ① 错误，
当 y=0 时，x=0 或 x=2，故 m 的值为 0，故 ③ 正确，
当 y≤0 时，x 的取值范围是 0≤x≤2，故 ④ 正确．
第二部分
7. 25
【解析】∵ab=23，
令 a=2，b=3，
aa+b=22+3=25．
8. 25−2
【解析】∵AP>PB，P 是线段 AB 的黄金分割点，
∴AP=4×5−12=25−2．
9. 32a−7b
【解析】32a−2b−4b=32a−3b−4b=32a−7b.
10. <
【解析】∵A−2,y1，B−3,y2 是抛物线 y=x−12+c 上两点，
∴ 把 A−2,y1，B−3,y2 分别代入 y=x−12+c，
得 y1=−2−12+c=9+c，y2=−3−12+c=16+c，
∵9<16，
∴9+c<16+c，
∴y1故答案为：<．
11. 54
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC=5，
∴ △ABE∽△FCE，
∴ ABCF=BECE=31=3，
∴ BE=3CE，
∵ BC=BE+CE=5，
∴ CE=54．
12. 35
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，
sinA=BCAB=35．
13. 2003
【解析】设 △ABC 的高 AH 为 x 厘米，
∵ 正方形 DEFG，
∴ DG∥EF，DG∥BC，
∵ AH⊥BC，
∴ AP⊥DG，
由 DG∥BC，得
△ADG∽△ABC，
∴ APAH=DGBC，
∵ PH⊥BC，DE⊥BC，
∴ PH=ED，AP=AH−PH，
∵ BC 长为 40 cm，
若正方形 DEFG 的边长为 25 cm，
∴ x−25x=2540，
解得 x=2003，
即 AH 为 2003 厘米．
14. −12a+12b
【解析】根据题意，GF=AD，EF=12AD+BC，
则 EG=EF−GF=12AD+BC−AD=−12AD+12BC=−12a+12b．
15. 4
【解析】如图，延长 CG 交 AB 于点 D，
∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴CD 是 AB 边上的中线，
又 ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴CD=12AB，CG=23CD，
∴CG=23×12AB=13AB，
又 ∵CG=2，
∴AB=3CG=3×2=6，
∵CD 是 AB 边上的中线，
∴AD=12AB，
又 ∵CD=12AB，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A，即 ∠ACG=∠A，
∵sin∠ACG=23，
∴sinA=23，
又 ∵sinA=BCAB，AB=6，
∴BC6=23，
∴BC=4，即 BC 长为 4．
16. 50−103
【解析】如图所示，延长 CE 交过点 A 的水平线于点 G，
延长 DF 交过点 A 的水平线于点 H．
∴∠AGE=∠AHF=90∘．
根据题意可得：AB=CG=DH=50 米，
CB=BD=AG=AH．
∵CE=20 米，
∴GE=50−20=30（米）．
∵∠GAE=60∘，
∴AG=GEtan60∘=303=103（米），
∴AH=AG=103 米．
∵∠HAF=45∘，
∴∠HFA=90∘−45∘=45∘，
∴HF=AH=103 米，
∴DF=DH−FH=50−103 米．
17. 25169
【解析】∵AB=AC，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90∘，
∴∠ADB=∠CEB，
∵∠ABD=∠CBE，
∴△ADB∽△CEB，
∴ADCE=BDBE，
设 BE=5a，
∵csB=513，
∴BC=13a，
∴EC=BC2−BE2=13a2−5a2=12a，BD=CD=132a，
∴AD12a=132a5a，
∴AD=13a×12a2×5a=785a，
∴S△BEDS△ABC=12S△BCES△ABC=12×12×5a×12a12×13a×785a=25169．
故答案为 25169．
18. 6512
【解析】如图．
∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，
∵△GFE 与 △BFE 关于 EF 对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF 是等腰三角形，
∴AF=FM，
作 DQ⊥AB 于点 Q，
∴∠AQD=∠DQB=90∘，
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90∘，
∵∠B=90∘，
∴ 四边形 CDQB 是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10−2=8，
在 Rt△ADQ 中，由勾股定理得 AD=64+36=10，
∵tanA=34，
∴tan∠EFB=BEBF=34，
设 EB=3x，
∴FB=4x，CE=6−3x，
∴AF=MF=10−4x，
∴GM=8x−10，
∵∠G=∠B=∠DQA=90∘，∠GMD=∠A，
∴△DGM∽△DQA，
∴DGDQ=GMAQ，
∴GD=6x−152，
∴DE=152−3x，
在 Rt△CED 中，由勾股定理得 152−3x2−6−3x2=4，
解得：3x=6512，
∴ 当 EG 过点 D 时，BE=6512．
第三部分
19. 原式=6×12−4×222+33−1=3−2+33−1=3+13−1=3+123−13+1=4+232=2+3.
20. （1） ∵BA=a，BC=b，
∴CA=CB+BA=−b+a，
∵AD=2CD，
∴CD=13CA，
∵CD 与 CA 同向，
∴CD=13CA=13−b+a=13a−13b．
（2） 如图，BD 在 BA，BC 上的分向量分别为 BM，BN．
∴BD=BC+CD=b+13a−13b=13a+23b．
21. （1） ∵ 抛物线 y=−23x2+bx+c 与 x 轴交于点 A−3,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,2，
∴−23×−32+b×−3+c=0,c=2, 得 b=−43,c=2,
∴y=−23x2−43x+2=−23x+12+83，
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为 −1,83，
即该抛物线的解析式为 y=−23x2−43x+2，顶点坐标为 −1,83．
（2） ∵y=−23x+12+83，
∴ 该抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∵ 点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，点 C0,2，
∴ 点 E 的坐标为 −2,2，
当 y=0 时，0=−23x+12+83，
得 x1=−3，x2=1，
∴ 点 B 的坐标为 1,0，
设直线 BE 的函数解析式为 y=kx+n，
k+n=0,−2k+n=2, 得 k=−23,b=23,
∴ 直线 BE 的函数解析式为 y=−23x+23，
当 x=0 时，y=23，
设直线 BE 与 y 轴交于点 F，
则点 F 的坐标为 0,23，
∴OF=23，
∵ 点 C0,2，点 E−2,2，
∴OC=2，CE=2，
∴CF=2−23=43，
∴tan∠CEF=CECF=432=23，
即 tan∠CEB 的值是 23．
22. （1） 由题意知：△BCP 是直角三角形，且 BC=54，∠BCA=71∘，
∵sin∠BCA=BPBC，
∴BP=BCsin∠BCA=54×0.95≈51cm．
∵PE=CF=30 cm，
∴BE=BP+PE=51+30=81cm．
故车座 B 到底面的高度是 81 cm．
（2） 在直角三角形 BMBʹ 中，
BʹM=90−81≈9cm，
∠BʹBM=∠BCA=71∘，
∵sin∠BʹBM=BʹMBʹB，
∴BB=90.95≈9cm．
故 BʹB 的长度应是 9 cm．
23. （1） ∵AF⊥BC 于点 F，
∴∠AFB=90∘，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴AE=FE，
∴∠EAF=∠AFE，
∵AE2=EG⋅ED，
∴AEEG=DEAE，
∵∠AEG=∠DEA，
∴△AEG∽△DEA，
∴∠EAG=∠ADG，
∵∠AGD=∠FGE，
∴∠DAG=∠FEG，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=BC，
∴∠DAG=∠AFB=90∘，
∴∠FEG=90∘，
∴DE⊥EF．
（2） ∵AE=EF，AE2=EG⋅ED，
∴FE2=EG⋅ED，
∴EFDE=EGEF，
∴∠FEG=∠DEF，
∴△FEG △DEF，
∴∠EFG=∠EDF，
∴∠BAF=∠EDF，
∵∠DEF=∠AFB=90∘，
∴△ABF∽△DFE，
∴ABDF=BFEF，
∵ 四边形 ACBD 是菱形，
∴AB=BC，
∵∠AFB=90∘，
∵ 点 E 是 AB 的中点，
∴FE=12AB=12BC，
∴BCDF=BF12BC，
∴BC2=2DF⋅BF．
24. （1） ∵ 抛物线 C1:y=ax2+bxa<0 经过点 A 和 x 轴上的点 B，
AO=OB=2，∠AOB=120∘，
∴ 点 B2,0，点 A−1,−3，
∴0=a×22+b×2,−3=a×−12+b×−1, 得 a=−33,b=233,
∴ 该抛物线的解析式为 y=−33x2+233x．
（2） 连接 MO，AM，AM 与 y 轴交于点 D，
∴y=−33x2+233x=−33x−12+33，
∴ 点 M 的坐标为 1,33，
设过点 A−1,−3，M1,33 的直线解析式为 y=mx+n，
−m+n=−3,m+n=33, 得 m=233,n=33,
∴ 直线 AM 的函数解析式为 y=233x−33，
当 x=0 时，y=−33，
∴ 点 D 的坐标为 0,−33，
∴OD=33，
∴S△AOM=S△AOD+S△MOD=33×12+33×12=33．
（3） 当 △AOM∽△FBM 时，OMBM=OABF，
∵OA=2，点 O0,0，点 M1,33，点 B2,0，
∴OM=233，BM=233，
∴233233=2BF，解得 BF=2，
∴ 点 F 的坐标为 4,0，
设抛物线 C2 的函数解析式为：y=−33x−12+c，
∵ 点 F4,0 在抛物线 C2 上，
∴0=−334−12+c，得 c=33，
∴ 抛物线 C2 的函数解析式为：y=−33x−12+33；
当 △AOM∽△MBF 时，OMBF=OABM，
∵OA=2，点 O0,0，点 M1,33，点 B2,0，
∴OM=233，BM=233，
∴233BF=2233，解得 BF=23，
∴ 点 F 的坐标为 83,0，
设抛物线 C2 的函数解析式为：y=−33x−12+d，
∵ 点 F83,0 在抛物线 C2 上，
∴0=−3383−12+d，得 d=25327，
∴ 抛物线 C2 的函数解析式为：y=−33x−12+25327．
25. （1） 设 ∠ACB=∠EDC=∠α=∠CAD，
∵csα=45，
∴sinα=35，
过点 A 作 AH⊥BC 交于点 H，
AH=AC⋅sinα=6=DF，BH=2，
如图 1，设 FC=4a，
∴cs∠ACB=45，则 EF=3a，EC=5a，
∵∠EDC=∠α=∠CAD，∠ACD=∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC⋅CE=CD2=DF2+FC2=36+16a2=10⋅5a，
解得：a=2 或 98（舍去 a=2），
AD=HF=10−2−4a=72．
（2） 过点 C 作 CH⊥AD 交 AD 的延长线于点 H，
CD2=CH2+DH2=ACsinα2+ACcsα−x2，
即：CD2=36+8−x2，由（1）得：AC⋅CE=CD2，
即：y=110x2−85x+100 （3） ①当 DF=DC 时，
∵∠ECF=∠FDC=α，∠DFC=∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，
∵DF=DC，
∴FC=EC=y，
∴x+y=10，
即：10=110x2−85x+10+x，解得：x=6；
②当 FC=DC，则 ∠DFC=∠FDC=α，
则：EF=EC=y，DE=AE=10−y，
在等腰 △ADE 中，cs∠DAE=csα=12ADAE=12x10−y=45，
即：5x+8y=80，
将上式代入①式并解得：x=394；
③当 FC=FD，
则 ∠FCD=∠FDC=α，而 ∠ECF=α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在．
故：AD 的长为 6 和 394．