2023高考数学复习专项训练《异面直线所成的角》

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2023高考数学复习专项训练《异面直线所成的角》一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）经过A(-2,0)，B(-2,3)两点的直线的倾斜角是()A、-30°B、60°C、90°D、120°A. -30° B. 60° C. 90° D. 120°2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是()A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面B. 已知向量{a→,b→,c→}组是空间的一个基底，则{a→-c→,a→-b→,b→-c→}也是空间的一个基底C. 若对空间中任意一点O，有AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面D. 若a→⋅b→<0，则a→,b→的夹角是钝角3.（5分）下列四个命题中，正确的是()A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）如图，三棱锥O-ABC各棱的棱长均为3，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上的动点，则DE的最小值为()A. 22 B. 62 C. 32 D. 15.（5分）已知a<0，若直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行，则它们之间的距离为()A. 724 B. 522 C. 5 D. 5或7246.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()A. 22 B. 11 C. 23 D. 37.（5分）已知直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2+|PB|2=( )A. 10 B. 13 C. 16 D. 208.（5分）如图，△ABC和△ACD均是边长为2的正三角形，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，则异面直线AD与BC夹角的大小为()A、π6B、π4C、π3D、π2A. π6 B. π4 C. π3 D. π2二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则下列结论正确的有()A. 与AB→共线的单位向量是(22,22,0)B. AB→⊥AC→C. AB→与BC→夹角的余弦值是5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)10.（5分）已知点A(-2,1)，B(3,-2)，C5,185，D(1,6)，则以下四个结论正确的是( )A. AB // CD； B. AB⊥AD；C. |AC|=|BD|； D. AC⊥BD，11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()A. 点P到平面A1BC1的距离为定值B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值12.（5分）下列说法正确的是( )A. 直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2,4)B. 直线y+1=3x在y轴上的截距为-1C. 直线x+3y+1=0的倾斜角为120°D. 过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=013.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F，G分别是棱BC，A1C1，A1B1的中点，D在线段B1C1上，则下列说法中正确的有()A. EF//平面AA1B1B B. BD//平面EFGC. 存在点D，满足BD⊥EF D. CD+GD的最小值为342三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知空间直角坐标系O-xyz中，点A(1,-1,3)，且点Q(2,-1,5)关于z轴的对称点为B，则|AB|=______.15.（5分）已知直线l：kx+y+1=0(k∈R)，则原点到这条直线距离的最大值为______．16.（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使二面角A-EF-B的大小为60°，则A，C两点间的距离为 ______.17.（5分）设平面ABC的一个法向量为m→=(1,1,0)，平面ABD的一个法向量为n→=(1,0,-1)，则二面角C-AB-D的大小为__________.18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线l过点A(-2,1). (1)若直线l与直线2x+3y+5=0垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．20.（12分）如图，四边形ABCD为长方形，PD=AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面PDC∩平面PBE=l. (1)证明：DF//平面PBE； (2)证明：DF//l.21.（12分）已知三条直线l1：mx-y+m=0，l2：x+my-m(m+1)=0，l3：(m+1)x-y+(m+1)=0，它们围成ΔABC. (1)求证：不论m为何值，ΔABC有一个顶点为定点； (2)当m为何值时，ΔABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．22.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，AB//CD，PA=2AB=4，PD=CD=3，AD=5，∠BAP=∠CDP=90°，求平面PBA与平面PBC所成二面角的大小．23.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠ABC=π3，AB=AP=2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点． (1)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定PGCG的值； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为35，求三棱锥P-EFG体积．答案和解析1.【答案】null;【解析】解：经过A(-2,0)，B(-2,3)两点的直线的斜率k显然不存在， 故直线的倾斜角为90°. 故选：C. 由已知结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解． 此题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．2.【答案】C;【解析】解：对于A：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故A错误； 对于B：根据空间向量的基本定理，(a→-c→)-(a→-b→)=b→-c→， 由选项A可知，a→-c→、a→-b→、b→-c→一定共面，则不能构成基底，故B错误； 对于C：根据空间向量的基本定理有OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1)， AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则OP→=OA→+AP→=OA→-23OA→+16OB→+12OC→=13OA→+16OB→+12OC→， 又13+16+12=1， ∴P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D：a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cos，且∈[0,π]， ∴当=π时，a→⋅b→<0，故D错误， 故选：C. 根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3.【答案】B;【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误； B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确； C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误； D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误． 故选：B. 根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D. 此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．4.【答案】B;【解析】解：作图如下：  根据题意，在△DOC中，当DE⊥OC时，即E为OC的中点时，DE取到最小值， 连结CD，OD，易得△DOC为等腰三角形，CD=32，CE=32，由勾股定理， 得DE²=CD²-CE²，解得DE=62，则|DE→|的最小值为62.故A，C，D错误． 故选：B. 利用垂线段最短，再利用正四面体的性质、勾股定理求解． 此题主要考查空间中两点间距离，属于中档题．5.【答案】A;【解析】解：直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行， 所以a(a+1)=2×1，且2×4≠-1×(a+1)，a<0， 解得a=-2或a=1(舍)， 所以直线l1：2x-2y+1=0，直线l2：2x-2y+8=0， 可得它们的距离d=|1-8|22+(-2)2=724， 故选：A. 由两条平行线的充要条件可得a的值，代入直线的方程，由平行线间的距离公式可得它们的距离． 此题主要考查两条直线平行的充要条件的应用及平行线间的距离公式的应用，属于基础题．6.【答案】B;【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)， 又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)， ∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13， ∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11. 故选：B. 根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可． 此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．7.【答案】B;【解析】解：直线l1：x-my+1=0过定点A(-1,0)， 直线l2：mx+y-m+3=0化为m(x-1)+y+3=0，令y+3=0，解得y=-3， 则直线l2：mx+y-m+3=0过定点B(1,-3)， ∵直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m+3=0， kl1.kl2=-1， ∴直线l1与l2垂直， ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+(0+3)2=13. 故选：B. 先求出直线l1与l2所过的定点，再结合直线l1与l2垂直，即可求解． 此题主要考查恒过定点的直线，考查转化能力，属于基础题．8.【答案】null;【解析】解：取BC中点E，连接AE，DE， 由于△ABC和△ACD均是边长为2的正三角形，则DE⊥BC，AE⊥BC， 又AE∩DE=E，且AE⊂平面ADE，DE⊂平面ADE， 则BC⊥平面ADE， 又AD⊂平面ADE， 则BC⊥AD，即异面直线AD与BC夹角的大小为π2. 故选：D. 取BC中点E，连接AE，DE，易证得BC⊥平面ADE，再由线面垂直的判定即可得解． 此题主要考查线面垂直的判定以及异面直线所成角，属于基础题．9.【答案】BD;【解析】解：∵空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)， ∴AB→=(2,1,0)，222≠221，∴单位向量是(22,22,0)与AB→不共线，故A错误； AC→=(-1,2,1)，AB→·AC→=0，∴AB→⊥AC→，故B正确； BC→=(-3,1,1)，cos=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=-555=-5511，故C错误； 设m→=(1,-2,5)，则m→·AB→=0，m→·BC→=0，AB∩BC=B， ∴平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)，故D正确． 故选：BD. 利用共线向量和单位向量的定义判断A；利用向量垂直的性质判断B；利用向量夹角余弦公式判断C；利用法向量定义判断D. 此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AB;【解析】 此题主要考查了直线的斜率、两直线垂直、平行的判定、两点间距离公式，属于基础题. 计算相应直线的斜率及两点间的距离逐个验证解答. 解：kAB=-2-13+2=-35,kCD=6-1851-5=-35，kAD=6-11+2=53,kAC=185-15+2=1335,kBD=6+21-3=-4， ∵kAB=kCD=-35,∴AB//CD，A选项正确， ∵kAB.kAD=-35×53=-1,∴AB⊥AD，B选项正确； ∵kAC.kBD=1335×-4≠-1,∴AC与BD不垂直，D选项错误； ∵AC=-2-52+1-1852=49+16925， BD=3-12+-2-62=217，∴AC≠BD，C选项不正确， 故选AB.11.【答案】ABC;【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1， 所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确； 对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1， 又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值， 所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确； 对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B， 所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确； 对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变， 所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定， 即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误． 故选：ABC. 利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．12.【答案】ABD;【解析】解：对于A，直线y=ax-2a+4=a(x-2)+4，即直线恒过定点(2,4)，故A正确， 对于B，直线y+1=3x，即y=3x-1在y轴上的截距为-1，故B正确， 对于C，∵直线x+3y+1=0的斜率为-33， ∴直线x+3y+1=0的倾斜角为150°，故C错误， 对于D，∵所求直线垂直于直线x-2y+3=0， ∴所求直线的斜率k=-2， ∴所求直线的方程为y-3=-2(x+2)，即2x+y+1=0，故D正确． 故选：ABD. 对于A，将原式转化为y=a(x-2)+4，即可求解，对于B，结合截距的定义，即可求解，对于C，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于D，结合直线垂直的性质，以及点斜式，即可求解． 此题主要考查了直线方程，直线的倾斜角，截距，属于基础题．13.【答案】AD;【解析】解：对于A，连接BG，∵E，F，G分别是棱BC，A1C1，A1B1的中点，∴GF//BE且GF=BE，∴四边形EFGB为平行四边形， ∴EF//BG，又EF⊄平面AA1B1B，BG⊂平面AA1B1B在平面内，所以EF//平面AA1B1B，故A正确； 对于B，易知GF//BC，所以G，F，B，C四点共面，又点E∈BC，所以G，F，B，E四点共面，∴B∈平面EFG， 而D∉平面EFG，∴直线BD∩平面EFG=B，故B不正确； 对于C，以{AB→,AC→,AA1→}为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系A-xyz，  则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(22,22,0),F(0,22,2)， ∴EF→=(-22,0,2),AB1→=(2,0,2),BC→=(-2,2,0)， ∴BD→=BB1→+B1D→=AA1→+λB1C1→=AA1→+λBC→=(-2λ,2λ,2)， 若BD⊥EF，则BD→⋅EF→=(-2λ,2λ,2)⋅(-22,0,2)=λ+4=0,λ=-4， ∴D在线段B1C1延长线上，而不在线段B1C1上，故C不正确； 对于D，把图1的正面CC1B1B和上底面A1B1C1展开如图2所示，连接CG即为所求，  过G做PG垂直于BC且与其相交于P，与B1C1相交于Q，易得BP=14BC=12,GQ=12， ∴PG=GQ+QP=12+2=52,PC=34PC=34×2=32， ∴在Rt△GPC中，GC2=GP2+PC2=344，∴GC=342，故D正确． 故选：AD. 对于A，在平面AA1B1B找一条直线，使其与EF平行即可； 对于B，先由GF//BC证明G，F，B，C四点共面，再证G，F，B，E四点共面，进而能判断直线BD与平面EFG的位置关系； 对于C，以{AB→,AC→,AA1→}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，用坐标运算即可； 对于D，把三棱锥的正面CC1B1B和上底面A1B1C1展开，即能找到CD+GD的最小值，构造直角三角形求解即可． 此题主要考查了立体几何的综合运用，属于中档题．14.【答案】17;【解析】解：空间直角坐标系O-xyz中，点A(1,-1,3)， 点Q(2,-1,5)关于z轴的对称点为B， 则B(-2,1,5)， 则|AB|=(-2-1)2+(1+1)2+(5-3)2=17. 故答案为：17. 利用对称的性质及两点间距离公式直接求解． 此题主要考查对称的性质及两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】1;【解析】解：直线l：kx+y+1=0，恒过定点(0,-1)， 原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到点(0,-1)的距离d=1． ∴原点O到直线l距离的最大值为1． 故答案为1． 由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值． 该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．16.【答案】5;【解析】解：如图，取BE的中点G，连接AG，CG，由题意EF⊥AE，EF⊥BE， 则∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=60°，又AE=BE=1， 则ΔABE是正三角形，于是AG⊥BE,AG=32.  根据EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE=E可得：EF⊥平面ABE， 而AG⊂平面ABE，所以EF⊥AG， 而AG⊥BE，BE∩EF=E，则AG⊥平面BCFE， 又GC⊂平面BCFE，于是，AG⊥GC， 又GC2=BC2+BG2=174，所以AC=AG2+GC2=34=5. 故答案为：5. 取BE的中点G，然后证明∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，进而证明AG⊥GC，最后通过勾股定理求得答案． 此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．17.【答案】60∘或120∘;【解析】  【易错警示】利用空间向量法求二面角，有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为n1→和n2→，则二面角的大小等于或π-.由二面角定义得|cos|=|12×2|=12，∴=60∘或120∘，即二面角C-AB-D的大小为60∘或120∘. 18.【答案】26;【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)， 设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)， 则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)， 由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|， 所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26， 即△ABC的周长的最小值为26. 故答案为：26. 求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解． 此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）设直线l的方程为3x-2y+m=0， 则3×（-2）-2×1+m=0，解得m=8， 故直线l的方程为3x-2y+8=0． （2）当直线l过原点时，斜率为-12，由点斜式求得直线l的方程是y=-12x，即x+2y=0， 当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点A（-2，1）代入方程可得a=-1， 故直线l的方程是x+y+1=0， 综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0．;【解析】 (1)根据已知条件，结合两直线垂直的条件，即可求解． (2)根据已知条件，分直线l过原点，直线l不过原点两种情况讨论，即可求解． 此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．20.【答案】证明：（1）取PB中点G，连接FG，EG，  因为点E、F分别为AD、PC的中点 所以FG∥CB，FG=12BC， 因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC=AD， 所以DE∥FG，DE=FG，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，DF∥平面PBE， （2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l， 所以DF∥l．;【解析】 (1)易证四边形DEGF为平行四边形，从而可证DF//GE，进而可证DF//平面PBE， (2)利用线面平行的性质可证DF//l. 此题主要考查线面平行的证明，考查线线平行的证明，属基础题．21.【答案】解：(1)根据题意得，l1、l2交于A(mm2+1,m2m2+1+m)， l1、l3交于B(-1,0)， l2、l3交于C(0,m+1)， 所以不论m取何值时，ΔABC中总有一个顶点为定点(-1,0)；(2)当m=0时，l1：y=0，l2：x=0，l3：x-y+1=0， 所以A(0,0)，B(-1,0)，C(0,1)，故ΔABC的面积S=12； 当m≠0时，因为l1的斜率k1=m，l2的斜率k2=-1m， 所以k1.k2=-1，故l1、l2垂直，即A=π2， 所以ΔABC的面积S=12AB.AC=12.m2+m+1m2+1.1m2+1 =12.m2+m+1m2+1=12(1+mm2+1)=12(1+1m+1m)， ①当m>0时，m+1m∈[2,+∞),则S∈(12,34],且当m=1时，S取最大值34； ②当m<0时，m+1m∈(-∞,-2],则S∈[14,12), 且当m=-1时，S取最小值14； 综上，当m=1时，S取最大值34，当m=-1时，S取最小值14.;【解析】此题主要考查直线的一般式方程，考查直线的交点坐标求解以及两直线位置关系的应用，考查分类讨论思想的运用，属于中档题目. (1)分别求出l1，l2;l2，l3;l1，l3的交点坐标，即可得出结论； (2)当m=0时得出三角形三个顶点坐标求出面积即可； 当m≠0时，由l1的斜率k1=m，l2的斜率k2=-1m可知l1、l2垂直，表示出三角形的面积S=12(1+1m+1m)，分m>0与m<0求出S的最值即可. 22.【答案】解：由条件知CD⊥DP，AB∥CD，所以AB⊥DP， 又AB⊥AP，AP∩DP=P，所以AB⊥平面PAD， 因为AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD， 过P作PO⊥AD，垂足为O，又平面ABCD∩平面PAD=AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 以O为原点，以OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，过O且与AD垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，  在△PAD中，PA=4，PD=3，AD=5，则∠APD=90°， 由OP•AD=PA•PD，得OP=125， OA=PA2-OP2=165，OD=PD2-OP2=95， 因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD， 又AB∥CD，所以AB，CD垂直于x轴，平行于y轴， 所以P（0，0，125），A（165，0，0），B（165，2，0），C（-95，3，0），AB→=(0，2，0)，PB→=(165，2，-125)，BC→=(-5，1，0)， 设平面PBA的法向量n→=(x,y,z)，则{n→·AB→=2y=0n→·PB→=165x+2y-125z=0，可取n→=(3，0，4)， 同理可得平面PBC的法向量m→=(2，10，11)， 设平面PBA与平面PBC所成二面角的大小为θ， 则|cosθ|=|m→·n→||m→||n→|=23， 所以平面PBA与平面PBC所成二面角的大小为arccos23和π-arccos23．;【解析】 由已知得AB⊥DP，AB⊥AP可得AB⊥平面PAD，从而平面PAD⊥平面ABCD，过 P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面PBA和平面PBC的法向量，利用向量法求出二面角的大小． 此题主要考查二面角的平面角，属于中档题．23.【答案】解：取BC的中点M，连接AM，可得AM⊥AD， 分别以AM，AD，AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,  则A（0，0，0），B（3，-1，0），C（3，1，0），E（32，-12，1），P（0，0，2），F（0，1，1）， 设PG→=λPC→，PC→=（3，1，-2），∴PG→=（3λ，λ，-2λ），∴AG→=AP→+PG→=（0，0，2）+（3λ，λ，-2λ）=（3λ，λ，2-2λ）， AE→=（32，-12，1），AF→=（0，1，1）， 设平面AEF的法向量m→=（a,b,c）， 则{m→·AE→=0m→·AF→=0，所以{32a-12b+c=0b+c=0， 取m→=（3，1，-1）， ∵G是直线PC与平面AEF的交点，∴AG→·m→=3λ+λ-2+2λ=0，解得λ=13， ∴PGCG=13； （2）设直线AG与平面AEF所成角为θ，由（1）知 sinθ=|cos＜m→，AG→＞|=|m→·AG→|m→|·|AG→||=|3λ+λ-2+2λ5×3λ2+λ2+(2-2λ)2|=35， 整理得27λ2-12λ-4=0，解得λ=23或λ=-29（舍去）， PC→=（3，1，-2），PD→=（0，2，-2）， 设平面PCD的一个法向量为n→=（x,y,z）， 则{n→·PC→=0n→·PD→=0，∴{3x+y-2z=02y-2z=0， 取n→=（1，3，3）， 点E到平面PCD的距离即为点E到平面PFG的距离d=|EP→·n→||n→|=|-32+32+3|7=37， ∵PC=PD=22，CD=1，S△PCD=12×7×2=7， S△PFGS△PCD=12PF·PGsin∠FPG12PD·PC·sin∠FPG=12PC·23PDPD·PC=13， ∴S△PFG=13S△PCD=73， ∴VP-EFG=13S△PFG•d=13×73×37=39．;【解析】 (1)取BC的中点M，连接AM，可得AM⊥AD，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，求得平面AEF的法向量，设PG→=λPC→，求得AG→的坐标，可求得λ； (2)利用直线AG与平面AEF所成角的正弦值为35，求得λ，进而求得点E到平面PFG的距离d，利用S△PFGS△PCD=13，可求得S△PFG，进而可求三棱锥P-EFG体积． 此题主要考查空间向量及其应用，线面角的相关计算，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属中档题．