2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1

这是一份2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1，共31页。
2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•坪山区期末）反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
3．（2018•深圳模拟）若，，则x的取值范围（　　）
A． B．或
C．或 D．以上答案都不对
4．（2019秋•昭平县期中）若x＝＝＝，则x等于（　　）
A．﹣1或 B．﹣1 C． D．不能确定
5．（2020秋•瓜州县期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5，b＝2.5，c＝8，则线段d的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（2019•包头模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
7．（2020•闵行区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2019秋•濉溪县期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
9．（2021•黄冈模拟）如图，下列图形从正面看是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019•莲湖区模拟）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大
二．填空题（共5小题）
11．（2016春•无锡校级期中）若双曲线y＝（2m﹣1） 的图象在第一、三象限，则函数的解析式为　 　．
12．（2013•路北区二模）函数y＝，当y≥﹣2时，x的取值范围是　 　（可结合图象求解）．
13．（2020秋•炎陵县期末）已知＝，则＝　 　．
14．（2021•济宁三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　 　．

15．（2012•淮安模拟）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是　 　．

三．解答题（共10小题）
16．（2010秋•黄冈期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x＝时y的值．
17．（2019春•长春期中）已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
18．（2020秋•鱼台县期末）若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
19．（2017秋•庐阳区校级月考）已知＝＝2，求和的值．
20．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．

21．（2021•红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

22．（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

23．（2020秋•原州区期末）如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来．

24．（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm，宽为12cm的长方形硬纸板．把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积V＝　 　cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
x/cm
1
2
3
4
5
V/cm3
160
　 　
216
　 　
80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的值；如果不是正方形，请说明理由．

25．（2020•西城区校级模拟）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…

m

0
﹣1
3
2



…
则m的值为　 　；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

（4）观察图象，写出该函数的一条性质　 　；
（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　；

2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•坪山区期末）反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系是解答此题的关键．
2．（2019秋•雁塔区校级期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【考点】反比例函数图象的对称性．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．
解得：r＝2．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且＝r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
3．（2018•深圳模拟）若，，则x的取值范围（　　）
A． B．或
C．或 D．以上答案都不对
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】在同一平面直角坐标系中作出反比例函数y＝与y＝2、y＝﹣3的图象，观察图象可知，反比例函数y＝落在直线y＝2下方且在直线y＝﹣3上方的部分所对应的x的取值，即为所求的x的取值范围．
【解答】解：作出函数y＝与y＝2、y＝﹣3的图象，
由图象可知交点为（，2），（﹣，﹣3），
∴当或时，有，．
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4．（2019秋•昭平县期中）若x＝＝＝，则x等于（　　）
A．﹣1或 B．﹣1 C． D．不能确定
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】分两种情况讨论：当a+b+c≠0时和当a+b+c＝0时．
【解答】解：∵x＝＝＝，
∴当a+b+c≠0时，x＝＝；
当a+b+c＝0时，x＝＝＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，容易漏掉a+b+c＝0这一隐含可能条件．
5．（2020秋•瓜州县期末）若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝5，b＝2.5，c＝8，则线段d的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；数感．
【分析】根据成比例线段的定义解答即可．
【解答】解：因为a、b、c、d是成比例线段，
可得：，
解得：d＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条．
6．（2019•包头模拟）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质；黄金分割．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】首先证明DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，由△DAE∽△CAD，可得AD2＝AE•AC，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，
∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，
∴∠AED＝72°，
∴CA＝CD，∠ACD＝36°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴∠ADE＝∠ACD＝36°，
∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，
∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，
∴△DAE∽△CAD，
∴AD2＝AE•AC，
∴x2＝（2﹣x）•2，
∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴AB＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（2020•闵行区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，

故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2019秋•濉溪县期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【考点】锐角三角函数的增减性．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
【点评】考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
9．（2021•黄冈模拟）如图，下列图形从正面看是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【专题】空间观念．
【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可．
【解答】解：A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意；
B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意；
C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意；
D、长方体从正面看到的是长方形，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握简单几何体的特征．
10．（2019•莲湖区模拟）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】几何图形；空间观念．
【分析】如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．
【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图．
故选：C．
【点评】本题考查的是三视图的知识以及学生对该知识点的巩固．解题关键是找到三种视图的正方形的个数．
二．填空题（共5小题）
11．（2016春•无锡校级期中）若双曲线y＝（2m﹣1） 的图象在第一、三象限，则函数的解析式为　y＝　．
【考点】反比例函数的定义；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，依此可得方程，求出m，k的值．
【解答】解：∵双曲线y＝（2m﹣1） 的图象在第一、三象限，
∴2m﹣1＞0且m2﹣2＝﹣1，
解得m＝1．
∴2m﹣1＝1，
∴函数的解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
12．（2013•路北区二模）函数y＝，当y≥﹣2时，x的取值范围是　x≤﹣2或x＞0　（可结合图象求解）．
【考点】反比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】本题要注意的是当y≥﹣2时，反比例函数图象位于直线y＝﹣2的上方，结合图象可直观判断．
【解答】解：当y≥﹣2时，反比例函数图象位于直线y＝﹣2的上方，它的图象在一、三象限，
所以对应的x的取值范围是x≤﹣2或x＞0．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
13．（2020秋•炎陵县期末）已知＝，则＝　　．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【分析】根据＝，可得＝，再根据比例的性质即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴﹣＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，关键是将＝变形为＝．
14．（2021•济宁三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　　．

【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．
【解答】解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．
15．（2012•淮安模拟）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是　24　．

【考点】认识立体图形；简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．
【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，注意：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．
三．解答题（共10小题）
16．（2010秋•黄冈期末）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x＝时y的值．
【考点】函数值；正比例函数的定义；反比例函数的定义．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】（1）先根据题意得出y1＝k1（x﹣1），y2＝，根据y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1得出x、y的函数关系式即可；
（2）把x＝代入（1）中的函数关系式，求出y的值即可．
【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，
∴y1＝k1（x﹣1），y2＝，
∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．
∴，
∴k2＝﹣2，k1＝1，
∴y＝x﹣1﹣；

（2）当x＝﹣，y＝x﹣1﹣＝﹣﹣1﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．
17．（2019春•长春期中）已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【考点】反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围；
（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，
∴k﹣1＝1×2，
解得k＝3；

（2）∵在函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；

（3）∵k＝13，有k﹣1＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝．
将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，
∴点B在函数y＝的图象上，
将点C的坐标代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式，
∴点C不在函数y＝的图象上．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
18．（2020秋•鱼台县期末）若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，
所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，
解得k＝2，
所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，
所以a：b：c＝4：8：7．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c可以使计算更加简便．
19．（2017秋•庐阳区校级月考）已知＝＝2，求和的值．
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】根据比例的性质直接求解即可．
【解答】解：因为＝＝2，
可得：a＝2b，c＝2d，
所以＝，＝．
【点评】本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的性质解答．
20．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．

【考点】近似数和有效数字；黄金分割．菁优网版权所有
【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，
由题意可得，x2＝100（100﹣x）
解得，，（舍去）
则x≈﹣50+50×2.2＝60，
答：太和门到太和殿的距离为60丈．
【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
21．（2021•红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．
【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．
22．（2006•巴中）如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

【考点】同角三角函数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；
再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．
【解答】解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα＝，OC＝6
∴PC＝8．
则OP＝10．
则sinα＝．

【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．
23．（2020秋•原州区期末）如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来．

【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断．
【解答】解：连线如下：

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看所得到的视图．
24．（2019秋•永安市期末）如图①是一张长为18cm，宽为12cm的长方形硬纸板．把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积V＝　（18﹣2x）•（12﹣2x）•x　cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当x取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
x/cm
1
2
3
4
5
V/cm3
160
　224　
216
　160　
80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出x的值；如果不是正方形，请说明理由．

【考点】列代数式；展开图折叠成几何体；简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；模型思想；应用意识．
【分析】（1）表示出长方体盒子的长、宽、高，即可表示出体积；
（2）把x的值分别代入（1）中的代数式求值即可；
（3）若正面是正方形，说明长方体的长和高相等，列方程求解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）由题意得，长方体盒子的长（18﹣2x）、宽（12﹣2x）、高x，因此体积为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
故答案为：（18﹣2x）•（12﹣2x）•x，
（2）把x＝2代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝14×8×2＝224，
把x＝4代入（18﹣2x）•（12﹣2x）•x得，（18﹣2x）•（12﹣2x）•x＝10×4×4＝160，
故答案为：224，160；
（3）它的形状不可能是正方形，
当18﹣2x＝x时，即x＝6，而当x＝6时，图①的长边变为0，因此折不成长方体，故从正面看是正方形是不可能的．
【点评】考查展开与折叠，抽象出长方体的长、宽、高与原长方形的边长之间的关系是正确解答的关键．
25．（2020•西城区校级模拟）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是　x≠3　；
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…

m

0
﹣1
3
2



…
则m的值为　　；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

（4）观察图象，写出该函数的一条性质　当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一）　；
（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　y1＜y3＜y2　；
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；
（2）把x＝﹣1代入函数解析式，即可得到m的值；
（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；
（5）依据函数图象，即可得到当x1＜3时，y1＜1；当3＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，
∴x≠3；
（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝；
（3）如图所示：

（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当3＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．
故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．

考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
4．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
5．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
6．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
7．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
8．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
9．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
10．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
11．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
14．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
15．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
16．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
17．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
18．锐角三角函数的增减性
　　（1）锐角三角函数值都是正值．　　（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
19．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA．
20．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：
21．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
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日期：2021/7/2 10:52:24；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140