2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷2

这是一份2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷2，共43页。
2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•朔城区期末）下列关系式中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
2．（2020•萧山区一模）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y＝（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD＝4，则AG的长为（　　）

A． B．+2 C．2+1 D．+1
3．（2021•罗湖区校级二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线，与过点A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）

A．8 B．3 C．2 D．
4．（2018秋•沙湾区期末）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）

A． B．
C． D．
5．（2020秋•来宾期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH•PC．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2019春•罗湖区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020•建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（　　）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
9．（2019秋•无为县期末）若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（　　）

A．5桶 B．6桶 C．9桶 D．12桶
10．（2020秋•焦作期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．16 D．24
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋•龙口市期中）当m＝　 　时，函数是反比例函数，此时图象的两个分支分别位于第　 　象限．
12．（2021•薛城区一模）如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为　 　．

13．（2018秋•高州市期末）若线段a，b，c满足关系＝，＝，则a：b：c＝　 　．
14．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝　 　．
15．（2019秋•丹东期末）如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是　 　个．

三．解答题（共10小题）
16．（2016春•酒泉期末）已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
17．（2016秋•钦南区校级月考）下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：（1）y＝；（2）y＝；（3）xy＝6；（4）3x+y＝0；（5）x﹣2y＝1；（6）3xy+2＝0．
18．（2020秋•会宁县期中）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．

19．（2019秋•新都区期末）一个几何体是由若干个棱长为1的小正方体堆积而成的，从不同方向看到的几何体的形状图如下．
（1）在从上面看得到的形状图中标出相应位置小正方体的个数；
（2）这个几何体的表面积是　 　．

20．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）

21．（2011秋•曲靖期末）某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
22．（2019秋•阜南县期末）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

23．（2003•新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

24．（2019秋•汶上县期末）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式，如．这种方法我们称为“分离常数法”．
（1）如果，求常数a的值；
（2）利用分离常数法，解决下面的问题：
当m取哪些整数时，分式的值是整数？
（3）我们知道一次函数y＝x﹣1的图象可以看成是由正比例函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，函数y＝的图象可以看成是由反比例函数y＝的图象向左平移1个单位长度得到．那么请你分析说明函数y＝的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
25．（2020春•襄汾县期末）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小慧根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m＝　 　；
x
…
﹣3
﹣2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
﹣2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
①　 　；②　 　．


2021年新高一数学人教A版（2019）开学考模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•朔城区期末）下列关系式中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【考点】反比例函数的定义．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．
【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的定义可得答案．
【解答】解：y＝2x﹣1是一次函数，故A错误；
y＝是反比例函数，故B正确；
y＝x2是二次函数，故C错误；
y＝是一次函数，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的定义，理解和掌握反比例函数、一次函数、二次函数的意义是正确判断的前提．
2．（2020•萧山区一模）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y＝（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD＝4，则AG的长为（　　）

A． B．+2 C．2+1 D．+1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO＝30°，再根据菱形的性质可得∠DAB＝∠DCB＝2∠DCO＝60°，∠1＝30°，AO＝CO＝2，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点E，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO•CO＝4，
∴CO＝2，
∴tan∠DCO＝＝．
∴∠DCO＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠DCB＝2∠DCO＝60°，∠1＝30°，AO＝CO＝2，
∵DF⊥AB，
∴∠2＝30°，
∴DG＝AG，
设DG＝r，则AG＝r，GO＝2﹣r，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠3＝30°，
在Rt△DOG中，DG2＝GO2+DO2，
∴r2＝（2﹣r）2+22，
解得：r＝，
∴AG＝．
故选：A．

【点评】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积＝k
3．（2021•罗湖区校级二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线，与过点A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）

A．8 B．3 C．2 D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C、′D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（﹣3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx+b，故有，
，解得，k＝﹣2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝﹣2x+6，
由题意得，
，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2+4）×（2﹣1）＝3，
故选：B．


【点评】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
4．（2018秋•沙湾区期末）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．
【解答】解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为＝，＝2，
所以，夹直角的两边的比为＝，
观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
5．（2020秋•来宾期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH•PC．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【分析】①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
③错误．通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH•PC，故④正确，
故选：C．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2019春•罗湖区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图﹣相似变换．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解答】解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7．（2020•建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．

观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（　　）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，
又BC＝65，
设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60，FC＝25，
又∵DC＝115，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
故选：C．

【点评】本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
9．（2019秋•无为县期末）若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（　　）

A．5桶 B．6桶 C．9桶 D．12桶
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；应用意识．
【分析】利用三视图，在俯视图相应的位置上标上摆放的小立方体的个数，进而得出答案．
【解答】解：根据三视图的形状，可得到，俯视图上每个位置上放置的个数，进而得出总数量，
俯视图中的数，表示该位置放的数量，因此2+2+1＝5，
故选：A．

【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
10．（2020秋•焦作期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．16 D．24
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】连接BD，证明BD∥AE，求出S△ABE＝S△AOE＝24，再用含m代数式表示点A坐标，通过F为AE中点分别表示出F，E的坐标从而求解．
【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD为矩形，
∴O为对角线AC，BD交点，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴BD∥AE，
∴S△ABE＝S△AOE＝24．
设点A坐标为（m，），
∵AF＝EF，即F为AE中点，
∴点F纵坐标为，
将y＝代入y＝得x＝2m，
∴点F坐标为（2m，），
∴点E横坐标为2×2m﹣m＝3m，
即点E坐标为（3m，0）．
∴S△AOE＝OE•yA＝×3m×＝24，
解得k＝16．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是找出BD∥AE，再用设参法求解．
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋•龙口市期中）当m＝　0　时，函数是反比例函数，此时图象的两个分支分别位于第　一、三　象限．
【考点】反比例函数的定义；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数的定义可得m2+3m﹣1＝﹣1，且m+3≠0求得m的值后确定其位于哪个象限即可．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴
解得m＝0，
∴函数的解析式为y＝，
∴函数的图象位于第一、三象限．
故答案为0，一、三．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数y＝k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
12．（2021•薛城区一模）如图，在反比例函数的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为　3　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】设A（x、y），根据函数解析式可知xy＝4，由已知得BC＝y，OD＝3OC＝3x，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：设A（x、y），由反比例函数可知xy＝4，
BC＝AC＝y，OD＝3OC＝3x，
∴S△OBD＝BC×OD＝×y×3x＝xy＝×4＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．
13．（2018秋•高州市期末）若线段a，b，c满足关系＝，＝，则a：b：c＝　9：12：20　．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】此类题做的时候可以根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同，即可把三个字母的比的关系求解出来．
【解答】解：∵＝，＝，
∴＝，
∴a：b：c＝9：12：20．
故填9：12：20．
【点评】特别注意此类题的解法：把相同字母所占的份数相同，即可求得三个字母的比值．
14．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝　45°或60°　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】先利用因式分解的方法来解方程，再用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵tan2x﹣（+1）tanx+＝0，
∴（tanx﹣1）（tanx﹣）＝0，
∴tanx＝1或，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx＝时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
【点评】本题既考查了一元二次方程的因式分解法，又考查了特殊角的三角函数值．
15．（2019秋•丹东期末）如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是　4　个．

【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；应用意识．
【分析】在符合主视图、左视图的基础上，在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，进而得出答案．
【解答】解：在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，如图所示：

因此，组成这个几何体的小正方体的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
三．解答题（共10小题）
16．（2016春•酒泉期末）已知，求下列算式的值．
（1）；
（2）．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由比例的性质容易得出结果；
（2）设a＝3k，则b＝2k，代入计算化简即可．
【解答】解：（1）∵，
∴＝；
（2）∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
∴＝＝＝．
【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
17．（2016秋•钦南区校级月考）下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：（1）y＝；（2）y＝；（3）xy＝6；（4）3x+y＝0；（5）x﹣2y＝1；（6）3xy+2＝0．
【考点】反比例函数的定义．菁优网版权所有
【分析】先将各函数关系式变形，凡形式上符合y＝（k≠0）的，则是反比例函数．
【解答】解：（1）y＝不是反比例函数．
（2）∵y＝，
∴xy＝．
∴y＝，是反比例函数．
（3）∵xy＝6，
∴y＝，是反比例函数．
（4）∵3x+y＝0，
∴y＝﹣3x，不是反比例函数．
（5）∵x﹣2y＝1，
∴2y＝x﹣1．
∴y＝x﹣，不是反比例函数．
（6）∵3xy+2＝0，
∴xy＝﹣．
∴y＝，是反比例函数．
【点评】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．
18．（2020秋•会宁县期中）如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．

【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形．
【解答】解：
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
19．（2019秋•新都区期末）一个几何体是由若干个棱长为1的小正方体堆积而成的，从不同方向看到的几何体的形状图如下．
（1）在从上面看得到的形状图中标出相应位置小正方体的个数；
（2）这个几何体的表面积是　30　．

【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】常规题型；投影与视图．
【分析】（1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由主视图和左视图可得第二层和第三层小木块的个数，据此解答即可．
（2）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．
【解答】解：（1）如图所示：


（2）这个几何体的表面积为2×（6+4+5）＝30，
故答案为：30
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
20．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）

【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD＝AC＝2，由三角函数求出CD＝2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD＝16，即可得出结果；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝即可得出结果．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC•cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．


【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．
21．（2011秋•曲靖期末）某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【考点】方向角；比例线段．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）

注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
22．（2019秋•阜南县期末）如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

【考点】等腰三角形的性质；黄金分割．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似．
【分析】（1）易证△BCD∽△BAC，则有＝，再由BC＝CD＝AD可得＝，由此可得D是AB边上的黄金分割点；
（2）设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝AD•h，S△DBC＝DB•h，S△ABC＝AB•h，即可得到＝，＝．由（1）得＝，即可知＝，由此可得CD是△ABC的黄金分割线．
【解答】解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，
∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝．
∴＝．
∴D是AB边上的黄金分割点；

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC＝AD•h，S△DBC＝DB•h，S△ABC＝AB•h，
∴＝，＝．
∵D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∴＝．
∴CD是△ABC的黄金分割线．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．
23．（2003•新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　＝　cosα；若∠α＜45°，则sinα　＜　cosα；若∠α＞45°，则sinα　＞　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

【考点】锐角三角函数的增减性．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．
（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．
（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．
（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．
24．（2019秋•汶上县期末）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式，如．这种方法我们称为“分离常数法”．
（1）如果，求常数a的值；
（2）利用分离常数法，解决下面的问题：
当m取哪些整数时，分式的值是整数？
（3）我们知道一次函数y＝x﹣1的图象可以看成是由正比例函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，函数y＝的图象可以看成是由反比例函数y＝的图象向左平移1个单位长度得到．那么请你分析说明函数y＝的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
【考点】分式的值；一次函数图象与几何变换；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】（1）依据定义进行判断即可；
（2）首先将原式变形为﹣3﹣，然后依据m﹣1能够被3整数列方程求解即可；
（3）先将函数y＝化为y＝+3，再结合平移的性质即可得出结论．
【解答】（1）∵＝＝1+，∴1+＝1+，∴a＝﹣4；
（2）式＝＝＝﹣3﹣，
所以当m﹣1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数，
解得m＝4或m＝﹣2或m＝0或m＝2；
（3）y＝＝＝＝3+，
∴将y＝的图象向右移动2个单位长度得到y＝的图象，再向上移动3个单位长度得到y﹣3＝，即y＝．
【点评】本题主要考查的是分式的基本性质，找出函数图象的变换，熟练掌握分式的基本性质和找出图象平移的性质是解题的关键．
25．（2020春•襄汾县期末）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小慧根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是　x≠2　；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m＝　3　；
x
…
﹣3
﹣2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
﹣2
0
1
1.5
1.6
…
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
①　该函数图象是轴对称图形　；②　该函数图象不经过原点　．

【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）分式的分母不等于零；
（2）根据图表可知当y＝0时所对应的x值为m，把y＝0代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
【解答】解：（1）依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案是：x≠2；

（2）把y＝0代入y＝，得
0＝，
解得m＝3．
故答案是：3；

（3）如图所示：


（4）由（3）中的图象得到：该函数图象是轴对称图形，该函数图象不经过原点等．
故答案是：该函数图象是轴对称图形，该函数图象不经过原点等．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．

考点卡片
1．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
4．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
5．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
6．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
8．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
9．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
10．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
11．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
17．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
18．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
19．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
20．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
21．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
22．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
23．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
24．锐角三角函数的增减性
　　（1）锐角三角函数值都是正值．　　（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
25．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
26．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
27．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
28．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
29．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
30．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
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日期：2021/7/2 10:55:26；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140