【人教版新高考】2020-2021学年高二下学期数学人教A版期末模拟测试卷（1）

这是一份【人教版新高考】2020-2021学年高二下学期数学人教A版期末模拟测试卷（1），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
\一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知R为实数集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2.设，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人坐下，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )
A.234B.346C.350D.363
4.在中,,则( )
A.B.C.D.
5.某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）
A．85，1.6 B．85，4
C．84，1.6 D．84，4.84
6.不等式的解集为，则的展开式中，常数项为( )
A.-32B.C.D.
7.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
8.曲线在点处切线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下列说法中错误的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则与可能共线D.若,则一定不与共线
11.若，且，则( )
A.B.C.D.
12.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,则的一个充分条件是( )
A.存在一条直线
B.存在一条直线
C.存在一个平面,满足
D.存在两条异面直线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为,给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为;③离心率为;④一个顶点坐标为.其中可求得椭圆方程为的条件有_________(填序号).
14.已知在中，，点C在直线上.若的面积为10，则点C的坐标为__________.
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以获胜的概率是__________.
16.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示：
根据表中数据,________95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”,(填“有”或“没有”)
附:
,其中.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）为数列的前项n和,已知,
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项n和.
18. （12分）在中，角的对边分别为.
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值.
19. （12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有的样本点;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
20. （12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，分别为，中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
21. （12分）已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
22. （12分）如图,分别是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上,当最大时,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆的另一交点为,过点作直线的垂线于圆交于两点,求四边形面积的最大值.
答案以及解析
一、单项选择题
1.答案：C
解析：由题意得，，所以，则，故选C.
2.答案：C
解析：∵，
∴，
∴在复平面内z对应的点为，在第三象限.
故选：C.
3.答案：B
解析：易知一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.故选B.
4.答案：A
解析：由余弦定理得，所以,故选A.
5.答案：A
解析：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93,去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数
,
方差
故选A.
6.答案：D
解析：由题意，知1，2是关于x的方程的两个实数根，由一元二次方程的根与系数的关系，得.所以，的展开式的通项为，令.得.因此，该二项展开式中，常数项为.故选D.
7.答案：B
解析：设事件“只用现金支付”，事件“既用现金支付也用非现金支付”，事件“不用现金支付”，则.故选B.
8.答案：B
解析：令,
则,
所以切线的斜率，则切线的倾斜角为.
二、多项选择题
9.答案：AC
解析：A选项，由，可以得出,所以,故正确;B选项,由，得,得,故错误；C选项，假设，则,则,即,与矛盾,,故正确；D选项，取，满足,此时,故错误.故选AC.
10.答案：ABD
解析：因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选ABD.
11.答案：BD
解析：对A，当时，,故错误.对B,.因为，所以，所以，故正确.对C，当，时，满足条件，但，故错误.对D,由，且，得,当且仅当时，取等号.因为，所以，则，所以，故正确.选BD.
12.答案：CD
解析：对于选项A,若存在一条直线,则或与相交.
若,则存在一条直线,使得,,
所以选项A的内容是的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项B,存在一条直线,则或与相交.
若,则存在一条直线,
所以,选项B的内容是的一个必要条件而不是充分条件；
对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是的一个充分条件；
对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知,,则,
所以选项D的内容是的一个充分条件.
故选：CD.
三、填空题
13.答案：①②③
解析：只需保证即可,而椭圆的顶点坐标为,故①②③可求得椭圆方程为.
14.答案：或
解析：设，由的面积为10，得点C到边所在直线的距离为4.又线段所在直线方程为，即.所以解得或所以点C的坐标为或.
15.答案：0.18
解析：记事件“甲队以4:1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以.
16.答案：有
解析：根据表中数据,计算观测值.对照临界值知,有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.
四、解答题
17.答案：
(1)当时, ,
因为,所以.
当时, ,
即,
因为,所以.
所以数列是首项为,公差为的等差数列,
所以;
(2)由知,
所以数列前项和为:
18.答案：（1）由，得，所以，所以，即，又，所以，又，所以.
（2）由余弦定理得，且，因为，即（当且仅当时等号成立），所以，即的面积的最大值为.
19.答案：(1)由已知可得,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为,
采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点为
,,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,共21种.
②不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E，来自丙年级的是F,G,
则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有样本点为,,,,,共5种.
所以,事件M发生的概率为
20.答案：（1） 连接．因为，所以．因为，，
所以．又，所以平面．而平面，所以．
（2） 因为 平面平面且交于，，所以平面，则以 D为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，
所以，．设平面的法向量，
所以令，得．平面，所以平面的法向量为．
由图知，由图知，所以，即二面角 的大小为．
21.答案：本题考查利用导数研究函数的最值、不等式恒成立求参问题.
（1）当时，，则.
由，得.
则当时,单调递减，
当时,单调递增.
.
（2）由已知得，，则.
设，则.
①当时，，等号不恒成立，在
上单调递增，
，故在上单调递增.
恒成立.
②当时，令，则当时，,
此时单调递减.
又当时，，等号不恒成立.
故在上单调递减，此时，
在上不恒成立，不满足条件.
综上所述，实数a的取值范围为.
22.答案：(1)当最大值,点与椭圆的顶点或下顶点重合,不妨设
则①
②
由①②得,于是
所以椭圆的标准方程是.
(2) 当直线的斜率不存在时,容易求得,则四边形的面积是.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
将与联立并消去,整理得
则
则
由于直线与直线垂直,且经过点,所以直线的方程为
所以点到直线的距离为,
则四边形的面积
由于,所以
于是(当时取得最大值)
综上可知,四边形面积的最大值为.
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879