2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷3

这是一份2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷3，共48页。
2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2019春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y＝﹣3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2014•鄂州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
3．（2019•定陶区三模）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
4．（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
5．（2018•梁子湖区模拟）如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（　　）

A．6﹣3 B．6﹣6 C．3 D．
6．（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）

A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD2＝BD•CD D．CD•AB＝AC•BD
7．（2020•芗城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（　　）

A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．（1997•山西）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（　　）

A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
9．（2014•巴中）如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A．两个外切的圆 B．两个内切的圆
C．两个内含的圆 D．一个圆
10．（2014•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
11．（2007•通州区校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为　 　．
12．（2016秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有　 　（填写所有正确结论的序号）．

13．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD，则图中共有　 　对三角形相似．

14．（2006•宜宾）（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P´外，则sin∠PCP′的值是　 　（不取近似值）．

15．（2020•黄州区校级模拟）老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有　 　种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）

三．解答题（共10小题）
16．（2020•浙江自主招生）定义：a*b＝
（1）解关于x的方程：（x2﹣3x）*（2x+3）＝7；
（2）关于x的方程：t[（x2﹣3x）*（2x+3）]﹣2＝t，当t取何值时，方程有两个不同的实数解．
17．（2020•宿州模拟）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
18．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
19．（2015•成都校级自主招生）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．

20．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

21．（2012•重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

22．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
23．（2016秋•常州期末）已知如图为一几何体的三视图．

（1）写出这个几何体的名称　 　；
（2）在虚线框中画出它的一种表面展开图；
（3）若主视图中长方形较长一边的长为5cm，俯视图中三角形的边长为2cm，则这个几何体的侧面积是　 　cm2．
24．（2011秋•漯河期末）如图所示，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图．

25．（2008•三明）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．


2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y＝﹣3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y＝﹣3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里a可能等于0，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函数．
∴只有②④⑥一定是二次函数．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义和二次函数的一般形式．
2．（2014•鄂州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，＝，再利用4a﹣2b+c≥0得到a+b+c≥3（b﹣a），所以≥3，从而得到的最小值．
【解答】解：点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，
＝
∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b，
∴x0＝﹣＜﹣1，
∴4a﹣2b+c≥0，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b﹣a＞a＞0，
∴≥3，
即的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
3．（2019•定陶区三模）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．0
【考点】正比例函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】新定义；数形结合．
【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．
令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，
∴A（，），B（，）．
观察图象可知：
①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；
②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；
③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．
综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．
5．（2018•梁子湖区模拟）如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（　　）

A．6﹣3 B．6﹣6 C．3 D．
【考点】旋转的性质；相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC＝∠OAD，得到∠APB＝∠AOB＝90°，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝6
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC+∠PBO＝180°，
∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6﹣3，
故选：A．

【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握旋转前、后的图形全等以及全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）

A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD2＝BD•CD D．CD•AB＝AC•BD
【考点】圆周角定理；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】由∠ADC＝∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：如图，∠ADC＝∠ADB，
A、∵∠ACD＝∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
B、∵AD＝DE，
∴＝，
∴∠DAE＝∠B，
∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；
C、∵AD2＝BD•CD，
∴AD：BD＝CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；
D、∵CD•AB＝AC•BD，
∴CD：AC＝BD：AB，
但∠ACD＝∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2020•芗城区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（　　）

A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，设PD＝x，AB边上的高为h，
h＝＝，
∵PD∥BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴＝，
∴AD＝x，PA＝x，
∴S1+S2＝•x•x+（4﹣x）•＝x2﹣2x+＝（x﹣）2+，
∴当0＜x＜时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当≤x≤时，S1+S2的值随x的增大而增大．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
8．（1997•山西）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（　　）

A．a米 B．acotα米
C．acotβ米 D．a（tanβ﹣tanα）米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】作DE⊥AB于点E，分别在直角△ADE和直角△ABC中，利用三角函数即可表示出AB于AE的长，根据DC＝BE＝AB﹣AE即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E．
在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝a•tanα．
同理AB＝a•tanβ．
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝a•tanβ﹣a•tanα＝a（tanβ﹣tanα）．
故选：D．

【点评】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．
9．（2014•巴中）如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A．两个外切的圆 B．两个内切的圆
C．两个内含的圆 D．一个圆
【考点】圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】根据左视图是从左面看得到的视图，圆的位置关系解答即可．
【解答】解：从左面看，为两个内切的圆，切点在水平面上，
所以，该几何体的左视图是两个内切的圆．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看到的视图．
10．（2014•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】常规题型；空间观念．
【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．
【解答】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1＝3个小正方体，
第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1＝4个．
故选：B．

【点评】本题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
二．填空题（共5小题）
11．（2007•通州区校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为　（，）或（﹣，）　．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．
【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，
∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，
∴y＝﹣x2±x，
∵＝±，＝，
∴顶点坐标（，）或（﹣，）．
故答案为：（，）或（﹣，）．
【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．
12．（2016秋•资中县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有　①③④⑤　（填写所有正确结论的序号）．

【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；

③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确

⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
13．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，且AC平分∠BAD，则图中共有　6　对三角形相似．

【考点】圆周角定理；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据已知条件及相似三角形的判定方法结合图形，即可找出图中存在的相似三角形．
【解答】解：∵∠BAC＝∠CDB，∠AEB＝∠DEC
∴△ABE∽△DCE
同理：△AED∽△BEC
∵AC平分∠BAD
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD
∴∠DAC＝∠CDE，∠BDC＝∠DBC
∴∠DBC＝∠BAC
∵∠DCE＝∠ACD，∠ACB＝∠BCE
∴△ACD∽△DCE，△ABC∽△BEC
∴△ACD∽△DCE∽△ABE，△ABC∽△BEC∽△AED
∴一共有6对
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
14．（2006•宜宾）（按课改要求命制）如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点P旋转到P´外，则sin∠PCP′的值是　　（不取近似值）．

【考点】旋转的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】根据题意，旋转角度为60°．易证明△APP′是等边三角形，PP′＝1；
由CP′＝BP＝2，PC＝可证明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．
根据三角函数的定义求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°．
根据旋转的性质，有
∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．
∴△APP′是等边三角形，PP′＝1．
在△PCP′中，
PC＝，PP′＝1，CP′＝2．
∴PC2＝P′P2+P′C2．
∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．
∴sin∠PCP′＝．
【点评】此题考查了旋转的性质及直角三角形的判定和三角函数等知识点，有一定的综合性．
15．（2020•黄州区校级模拟）老师用10个1cm×1cm×1cm的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（1cm）共享，或有一面（1cm×1cm）共享．老师拿出一张3cm×4cm的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有　16　种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）

【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形； （15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形；
【解答】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．
三排的左视图有：3×4＝12种；
两排的左视图有：2×2＝4种；
共12+4＝16种．
故答案为：16．
【点评】本题考查了组合体的左视图，有一定的难度，用到数学中的分类思想，解题关键是得出立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．
三．解答题（共10小题）
16．（2020•浙江自主招生）定义：a*b＝
（1）解关于x的方程：（x2﹣3x）*（2x+3）＝7；
（2）关于x的方程：t[（x2﹣3x）*（2x+3）]﹣2＝t，当t取何值时，方程有两个不同的实数解．
【考点】一次函数的性质；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】（1）确定函数表达式y＝，分﹣1≤x≤6、x＜﹣1或x＞6两种情况，分别求解即可；
（2）当方程有两个不同的实数解时，y′在CD之间或AB之间或在抛物线的顶点上，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝（x2﹣3x）﹣（2x+3）﹣3＝x2﹣5x﹣3﹣3＝x2﹣5x﹣6，
令y＝0，即x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，
当y≤0时，则﹣1≤x≤6，
则y＝，
则当﹣1≤x≤6时，（x2﹣3x）*（2x+3）＝x2﹣3x＝7，解得x＝（舍去负值），故x＝；
当x＜﹣1或x＞6时，（x2﹣3x）*（2x+3）＝2x+3＝7，解得x＝2（舍去），
故方程的解为x＝；

（2）对于y＝，函数的图象大致如下：

对于y＝2x+3，
当x＝﹣1时，y＝1，即点A（﹣1，1），
当x＝6时，y＝15，即点C（6，15）；
对于y＝x2﹣3x，
同理可得：点B、D的坐标分别为（﹣1，4）、（6，18），
当x＝时，y＝x2﹣3x＝﹣，即顶点E（，﹣）；
将t[（x2﹣3x）*（2x+3）]﹣2＝t整理为（x2﹣3x）*（2x+3）＝＝+1，
令y′＝+1，
∵方程有两个不同的实数解，则y′在CD之间或AB之间或在抛物线的顶点上，
∴15＜y′≤18或1≤y′≤4或y′＝﹣，则15＜+1≤18或1≤+1≤4或+1＝﹣，
解得：≤t＜或t≥或t＝﹣．
【点评】本题考查的是二次函数的图象，涉及到一次函数、解不等式等知识点，正确画出函数图象是本题解题的关键，题目难度较大．
17．（2020•宿州模拟）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：
①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小；
判断真假，并说明理由．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】探究型．
【分析】①根据二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m，可进行变形，得到y═（x2+5x+4）m+3x，只要令x2+5x+4＝0，则所得的x的值就与m无关，从而可以解答本题；
②将m＝﹣1代入函数解析式，然后分别令x＝0和y＝0求出相应的y值和x的值，即可解答本题；
③根据抛物线的解析式可以求得对称轴，然后根据m＜0，可知在对称轴右侧y随x的增大而减小，然后令对称轴的值等于﹣，求得m的值然后看m的值是否小于0，即可解答本题．
【解答】解：①是真命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m＝（x2+5x+4）m+3x，
∴当x2+5x+4＝0时，得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，y＝﹣3；x＝﹣4时，y＝﹣12；
∴二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）的图象一定过定点（﹣1，﹣3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m＝﹣1时，则函数为y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∵当y＝0时，﹣x2﹣2x﹣4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝﹣12＜0；当x＝0时，y＝﹣4；
∴抛物线与x轴无交点，与y轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y＝mx2+（5m+3）x+4m，
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣﹣，
∵m＜0，x≥﹣时，函数y随x的增大而减小，
∴﹣﹣≤，得m≥，
∵m＜0与m≥矛盾，
故③为假命题．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
18．（2018•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；
（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】（1）把点坐标代入解析式即可；
（2）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式；
（3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k．
【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k
解得k＝
（2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2﹣k＝k2+k
把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得
y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8
∵y1＞y2
∴k2+k＞k2﹣k+8
解得k＞1
（3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得
y＝（x﹣k+1）2+（﹣）
将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为
y＝（x﹣k）2+（﹣）
当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k，
∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝
都不合题意，舍去；
当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1，
∴﹣k﹣1＝﹣
解得k＝1；
当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3，
∴k2﹣k+3＝﹣
解得k1＝3，k2＝（舍去）
综上，k＝1或3．
【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k表示顶点．
19．（2015•成都校级自主招生）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ＝2PN．

【考点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．
【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．

【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．
20．（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似多边形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴EB＝GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴由（1）知GD＝EB＝．

【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
21．（2012•重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）

（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．



【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
22．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【考点】一元二次方程的解；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】压轴题；新定义．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝；

（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，﹣，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验﹣是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
23．（2016秋•常州期末）已知如图为一几何体的三视图．

（1）写出这个几何体的名称　正三棱柱　；
（2）在虚线框中画出它的一种表面展开图；
（3）若主视图中长方形较长一边的长为5cm，俯视图中三角形的边长为2cm，则这个几何体的侧面积是　30　cm2．
【考点】几何体的展开图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，每一个长方形的长和宽分别为5cm，2cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）这个几何体是正三棱柱；

（2）表面展开图如下：
；

（3）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即
C＝3×2＝6cm，
根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S＝6×5＝30cm2．
答：这个几何体的侧面面积为30cm2．
故答案为正三棱柱；
【点评】此题考查由三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．
24．（2011秋•漯河期末）如图所示，这是两个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出主视图与左视图．

【考点】作图﹣三视图．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】画出从正面，左面看得到的图形即可．
【解答】解：（1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为4，2，3；
左视图从左往右3列正方形的个数依次为3，4，3．

（2）主视图从左往右4列正方形的个数依次为2，2，3，2；
左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，2．

【点评】考查画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从物体的正面，左面看得到的图形．
25．（2008•三明）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108，x＝36°．
∴∠CDB＝36°．

（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；
又∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD＝2，
∴OC＝﹣1，
∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．

【点评】此题的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．

考点卡片
1．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
4．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
5．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
12．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
16．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
17．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
18．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
19．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
20．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
21．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
22．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
23．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
24．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
25．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
26．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
28．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
29．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
30．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
31．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
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