2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷2

这是一份2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷2，共44页。
2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•新市区校级月考）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数
2．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
3．（2021•龙岗区模拟）已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
4．（2015•大庆模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2020•哈尔滨模拟）如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（　　）

A． B． C． D．
6．（2019春•罗湖区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（　　）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
9．（2019秋•无为县期末）若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（　　）

A．5桶 B．6桶 C．9桶 D．12桶
10．（2021•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（共5小题）
11．（2017•金牛区校级自主招生）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB＝1，BC＝2，点B的坐标为（2，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），且与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，下列说法：①abc＜0；②2a+b≤0；③当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是﹣；其中正确的是　 　．

12．（2021•黄梅县模拟）在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　．
13．（2018秋•高州市期末）若线段a，b，c满足关系＝，＝，则a：b：c＝　 　．
14．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝　 　．
15．（2019秋•丹东期末）如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是　 　个．

三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•河东区期中）已知：抛物线y＝﹣x2﹣6x+21．求：
（1）直接写出抛物线y＝﹣x2﹣6x+21的顶点坐标；
（2）当x＞2时，求y的取值范围．
17．（2020•启东市一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在a＞0的条件下，当﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．
18．（2011秋•曲靖期末）某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
19．（2015•杭州模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．

20．（2012•芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为　 　
A． B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　 　．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．

21．（2004•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

22．（2012秋•高淳区期末）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；

（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（π取3.14）
23．（2020秋•叶县期中）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．

24．（2016春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：＝＝（x+y+z≠0），求的值．
25．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m＝　 　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　 　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有　 　个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　 　个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是　 　．


2021年新高一数学人教A版开学考模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•新市区校级月考）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，
解得m≠2，且m＝±2，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．
2．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；几何直观；运算能力．
【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n最小＝，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．
方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．
【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，
过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，
∴45°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥1，
∴n﹣m≥1，
当a，b异号时，m＝0，
当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，
∴≤n﹣m＜1，
即n﹣m≥，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；

②当n﹣m＝1时，如图2，
当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
当a，b异号时，m＝0，
∴n＝1，
∴a＝﹣1，b＝1，
即b﹣a＝2，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
方法2、当n﹣m＝1时，
当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，
当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，
当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，
当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，
因此，只有选项B正确，
故选：B．


【点评】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．
3．（2021•龙岗区模拟）已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，
点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；
点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；
点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；
故y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题的关键是找到二次函数的对称轴；掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
4．（2015•大庆模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】压轴题；几何直观；推理能力．
【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE＝CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD＝∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF＝FH＝HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF＝DF，S△ABF＝3S△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【解答】解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，
∴CE＝BE，故本答案正确；
∴∠C＝∠7，
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，
∵∠8＝∠C+∠4，
∴∠C+∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE，故本答案正确；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH＝BH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，
∴CD：CG＝DE：AG，HG＝DE，
设DG＝x，DE＝2y，则GB＝x，CD＝2x，CG＝3x，
∴2x：3x＝2y：AG，
解得：AG＝3y，HG＝y，
∴AH＝2y，
∴DE＝AH，且∠EDA＝∠3，∠5＝∠1
∴△DEF≌△AHF
∴AF＝DF，故本答案正确；
EF＝HF＝EH，且EH＝BH，
∴EF：BF＝1：3，
∴S△ABF＝3S△AEF，
∵S△DEF＝S△AEF，
∴S△ABF＝3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，
∴∠5＝∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．
综上所述：正确的答案有4个．
故选：B．

【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．
5．（2020•哈尔滨模拟）如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似．
【分析】先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
【解答】解：A、∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴＝≠，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2019春•罗湖区校级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图﹣相似变换．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【解答】解：A、由作图可知：∠CAD＝∠B，可以推出∠C＝∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．

∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
解法二：过点D作DG平行AC，构造三角形BDG相似于三角形BCG，同理AEF相似于AGD，再由题目条件，可得cos角ACB的值，遇到分点问题想平行，构造A或8字型相似．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（　　）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）

A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，
又BC＝65，
设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60，FC＝25，
又∵DC＝115，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
故选：C．

【点评】本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
9．（2019秋•无为县期末）若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（　　）

A．5桶 B．6桶 C．9桶 D．12桶
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；应用意识．
【分析】利用三视图，在俯视图相应的位置上标上摆放的小立方体的个数，进而得出答案．
【解答】解：根据三视图的形状，可得到，俯视图上每个位置上放置的个数，进而得出总数量，
俯视图中的数，表示该位置放的数量，因此2+2+1＝5，
故选：A．

【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
10．（2021•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；推理能力．
【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．
二．填空题（共5小题）
11．（2017•金牛区校级自主招生）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB＝1，BC＝2，点B的坐标为（2，1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），且与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，下列说法：①abc＜0；②2a+b≤0；③当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是﹣；其中正确的是　①③④　．

【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号．由对称轴x＝﹣＞1，得到2a+b＞0，由抛物线与直线y＝k的交点情况得出方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根，顶点在矩形ABCD内部（包括边界），当顶点与A点重合，可以知道顶点坐标为（2，2）；当顶点与C点重合，顶点坐标为（3，1），根据与x轴的两个交点分别是点M（x1，0）、N（x2、0），其中﹣2≤x1≤﹣1，列出不等式组，解不等式组可求a的取值，然后由此可判断a的取值范围．
【解答】解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵点B的坐标为（2，1），BC＝2，
∴C（4，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点总是在矩形ABCD内部（包括边界），
∴x＝﹣＞2，
∴﹣＞1，
∵a＜0，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故②错误；
由题意可知，抛物线与直线y＝k（k＜1）有两个交点，
∴当k＜1时，方程ax2+bx+c﹣k＝0总有两个不相等的实数根；故③正确；
∵顶点在矩形ABCD内部（包括边界），
当顶点与A点重合，顶点坐标为（2，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣2）2+2，
由，解得﹣≤a≤﹣；
当顶点与C点重合，顶点坐标为（4，1），则抛物线解析式y＝a（x﹣4）2+1，
由，解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣；故④正确；
故答案为①③④．
【点评】本题主要考查了抛物线的解析式y＝ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．
12．（2021•黄梅县模拟）在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　﹣2≤n＜1或n＝2　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为0或当x＝0时y＜0且当x＝3时，y不小于0，从而可以求得x的取值范围．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，
∴n﹣2＝0或，
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（2018秋•高州市期末）若线段a，b，c满足关系＝，＝，则a：b：c＝　9：12：20　．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】此类题做的时候可以根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同，即可把三个字母的比的关系求解出来．
【解答】解：∵＝，＝，
∴＝，
∴a：b：c＝9：12：20．
故填9：12：20．
【点评】特别注意此类题的解法：把相同字母所占的份数相同，即可求得三个字母的比值．
14．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝　45°或60°　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】先利用因式分解的方法来解方程，再用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵tan2x﹣（+1）tanx+＝0，
∴（tanx﹣1）（tanx﹣）＝0，
∴tanx＝1或，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx＝时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
【点评】本题既考查了一元二次方程的因式分解法，又考查了特殊角的三角函数值．
15．（2019秋•丹东期末）如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是　4　个．

【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】投影与视图；空间观念；应用意识．
【分析】在符合主视图、左视图的基础上，在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，进而得出答案．
【解答】解：在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，如图所示：

因此，组成这个几何体的小正方体的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•河东区期中）已知：抛物线y＝﹣x2﹣6x+21．求：
（1）直接写出抛物线y＝﹣x2﹣6x+21的顶点坐标；
（2）当x＞2时，求y的取值范围．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以得到该抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的解析式可以得到当x＞2时，y的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+21＝﹣（x+3）2+30，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，30）；
（2））∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+21＝﹣（x+3）2+30，
∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y的取值范围是y＜﹣（2+3）2+30＝5，
即当x＞2时，y的取值范围是y＜5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．（2020•启东市一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在a＞0的条件下，当﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【分析】（1）解方程ax2﹣2xa﹣3a＝0即可得到A点和B点坐标；
（2）①由于抛物线的对称轴为直线x＝1，而﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，则n＝﹣4为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），然后把顶点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中求出a即可得到抛物线解析式；
②利用D点坐标（4，0），PD⊥x轴得到点P的横坐标为4，从而得到P（4，5a），然后利用PD＞AD得到|5a|＞5，从而解不等式得到a的范围．
【解答】解：（1）把y＝0代入二次函数得：a（x2﹣2x﹣3）＝0即a（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，
∴n＝﹣4为二次函数的最小值，m＝﹣2时，n＝5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得a﹣2a﹣3a＝﹣4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为4，
当x＝4时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝5a，
∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（﹣1，0）
∴AD＝5
∵PD＞AD
∴|5a|＞5，
∴a＞1或a＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
18．（2011秋•曲靖期末）某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【考点】方向角；比例线段．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）

注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
19．（2015•杭州模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．

【考点】黄金分割．菁优网版权所有
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE＝36°，从而得到∠BCE＝∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE＝CE＝BC，再根据黄金分割求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∴∠BCE＝∠A＝36°，
∴AE＝BC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴BC2＝AB•BE，
即AE2＝AB•BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；

（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BC＝CE，
由（1）已证AE＝CE，
∴AE＝CE＝BC，
∴BC＝•AB＝×4＝2﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键．
20．（2012•芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为　 　
A． B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　0＜sadA＜2　．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．

【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】综合题；阅读型；新定义．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．

（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．

（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．

【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
21．（2004•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．

【考点】锐角三角函数的增减性．菁优网版权所有
【专题】压轴题；探究型．
【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；

（2）根据（1）得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
【点评】此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
22．（2012秋•高淳区期末）（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；

（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（π取3.14）
【考点】几何体的表面积；简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
（2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积．
【解答】解：（1）如图所示：
；

（2）表面积＝2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6
＝2（8×5+8×2+5×2）+4×3.14×6
＝207.36（cm2）．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置．
23．（2020秋•叶县期中）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．

【考点】几何体的表面积；几何体的展开图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）根据三视图，即可解决问题；
（2）画出正三棱柱的侧面展开图即可；
（3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可；
【解答】解：（1）几何体的名称是三棱柱；
（2）表面展开图为：

（3）3×6＝18cm2，
∴这个几何体的侧面积为18cm2
【点评】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图，属于中考常考题型．
24．（2016春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：＝＝（x+y+z≠0），求的值．
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【分析】设＝＝＝k，根据比例的性质得到x＝y＝z，计算即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，
∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），
解得，k＝2，
∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，
解得，x＝y＝z，
则＝﹣．
【点评】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
25．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m＝　0　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　3　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有　3　个不相等的实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有　2　个不相等的实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

【考点】根的判别式；二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，
即m＝0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；
②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．

考点卡片
1．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
2．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
8．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
12．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
13．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
17．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
18．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC＝ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
19．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
20．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
21．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
22．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
23．锐角三角函数的增减性
　　（1）锐角三角函数值都是正值．　　（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
24．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
25．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
26．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
27．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
28．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
29．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
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