2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学（1）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）寒假提前学

（1）平面向量及其应用

一、基础知识梳理

1.向量与数量

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如：位移、力、速度、加速度等都是向量．

（2）数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如：面积、时间、质量、温度等都是数量．

2.向量的表示

（1）几何表示：如图所示，向量可用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

（2）字母表示：向量也可以用字母…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，，….

3.向量的有关概念

二、巩固练习

1.设非零向量满足，则(   )

A.      B.      C.      D.

2.给出下列四个命题：

①若,则；

②若,则或；

③若,则；

④若,则。

其中正确的命题有(   )。

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

3.给出下列说法：

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应。

其中正确说法的个数是(   )。

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如图6-2-2所示,在正六边形中,若,则(   )。

A.1 B.2 C.3 D.

5.如图6-1-1,在圆中,向量是(   )。

A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.模相等的向量 D.相等的向量

6.如图，在中，，，则 (   )

A．      B．       C． D．

7.给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若都是单位向量，则；

③向量与相等.

则所有正确命题的序号是(   )

A.① B.③ C.①③ D.①②

8.如图6-1-6,四边形和都是平行四边形。

(1)与向量相等的向量有_________；

(2)若,则___________。

9.设单位向量满足,则________________.

10.给出下列命题:

①向量和向量长度相等;

②方向不同的两个向量一定不平行;

③向量是有向线段;

④向量;

⑤向量大于向量;

⑥若向量与是共线向量,则必在同一直线上;

⑦一个向量方向不定当且仅当模为;

⑧共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

其中正确的是__________(只填序号).

11.如图所示,在中,分别为的中点.图中与相等的向量为________________.

12.如图6-2-8,已知正方形的边长等于1,设,求作下列向量：

(1),并求；

(2),并求。

答案以及解析

1.答案：A

解析：非零向量满足，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：A

2.答案：A

解析：①忽略了0与的区别,；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定；③两个向量平行,可以得出它们的方向相同或相反,未必得到它们的模相等；④当时,可以为任意向量,故不一定平行于。

3.答案：C

解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误,易知①②④正确,故选C。

4.答案：B

解析：,故选B。

5.答案：C

解析：由题图可知三向量方向不同，但长度相等。

6.答案：D

解析：∵，

∴.

∴，

∵，

∴

.

故选D.

7.答案：A

解析：根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

与向量互为相反向量，故③错误.

故选：A.

8.答案：(1)

(2)6

解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形和都是平行四边形,可知与向量相等的向量有。

(2)因为,所以,所以。

9.答案：

解析：.

10.答案：①⑦

解析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可.①正确.②不正确.因为平行向量包括方向相同和相反两种情况.③不正确.向量可以用有向线段来表示,但不能把二者等同起来.④不正确. 是一个向量,而0是一个数量.⑤不正确.向量不能比较大小,这是向量与数量的本质区别.⑥不正确.共线向量只要求方向相同或相反即可,并不要求两向量在同一直线上.⑦正确.零向量的模为零且方向不定.⑧不正确.共线的向量,若起点不同,终点也可以相同.故填①⑦.

11.答案：

解析：由几何性质,,,所以.

12.答案：(1)如图所示,依题知,作,则,故,且依平面几何知识知,,即。

(2),过作,则。

依平面几何知识知,。