2020-2021学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷
一、填空题（每题3分，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上）
1．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为 　 　．

2．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为 　 　．

3．（3分）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝　 　．
二、选择题（每小题3分）
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（　　）

A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
5．（3分）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
三、填空题（每小题3分）
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点B在点A的右侧，点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA、AB，若D为OC的中点，则四边形OABC的面积为 　 　．

8．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”
译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”
如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为　 　．

9．（3分）如图，在矩形ABCD中，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝2，则矩形ABCD的面积为 　 　．

10．（3分）已知x2﹣4x+1＝0，则的值为 　 　．
11．（3分）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1＝S2，则的值为 　 　．

12．（3分）如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为 　 　（结果保留根号）．

13．（3分）已知＝0，则的值为 　 　．
14．（3分）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 　 　吨．

15．（3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为　 　．

16．（3分）若m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，且a＜b，则m，n，a，b的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
17．（3分）已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为 　 　．
18．（3分）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG的最大值为 　 　．

四、解答题（共46分）
19．（16分）计算：
（1）﹣﹣+cot60°•cos30°；
（2）解方程：﹣＝1；
（3）解不等式：x+≥﹣7；
（4）已知α是锐角，且5+sinα﹣cosα＝12sinαcosα，求tanα+cotα的值．
20．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围．
22．（8分）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 　 　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 　 　；
（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是 　 　．

23．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象都经过点A（﹣3，0），且二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点B（0，3），一次函数y＝mx+n的图象经过点C（0，﹣1）．
（1）分别求m、n和b、c的值；
（2）点P是二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标
x的函数表达式，并求S的最大值．

2020-2021学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上）
1．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为 　125°　．

【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，

∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝∠AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
2．（3分）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为 　　．

【分析】由A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1，AB＝3，OA＝2．由勾股定理，得AC＝，故AD＝AC＝，进而推断出OD＝AD﹣OA＝．
【解答】解：如图，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°．
∵A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1，
∴AB＝1﹣（﹣2）＝3，OA＝2．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AC＝．
又∵以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D，
∴AD＝AC＝．
∴OD＝AD﹣OA＝．
∴点D表示的数为．
故答案为：．
3．（3分）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝　﹣2　．
【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n＝0，再将原式化成9m+4n﹣2，最后整体代入求值即可．
【解答】解：∵（m，n）是“相随数对”，
∴，
∴，
整理得：9m+4n＝0，
∴3m+2[3m+（2n﹣1）]
＝3m+2[3m+2n﹣1]
＝3m+6m+4n﹣2
＝9m+4n﹣2
＝0﹣2
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
二、选择题（每小题3分）
4．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（　　）

A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【解答】解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（　　）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数y＝﹣的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．
三、填空题（每小题3分）
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点B在点A的右侧，点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA、AB，若D为OC的中点，则四边形OABC的面积为 　10　．

【分析】将（2，4）代入解析式可得k＝8，根据线段中点的定义可得OC的长，从而确定点B的横坐标，根据反比例函数的解析式 可得点B的坐标，最后将四边形OABC面积分解为三角形OAD与梯形ADCB求解即可．
【解答】解：将A（2，4）代入y＝中得：4＝，
解得k＝8，
∴y＝，
∵AD⊥x轴，
∴点D横坐标为2，
∵D为OC中点，
∴点B横坐标为2×2＝4，
把x＝4代入y＝中得：y＝2，
∴点B坐标为（4，2），
∵S△AOD＝OD•DA＝×2×4＝4，
S梯形ADCB＝（BC+AD）•CD＝（2+4）×（4﹣2）＝6，
∴四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ADCB＝4+6＝10．
故答案为：10．
8．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”
译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”
如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为　x2+62＝（20﹣x）2　．

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（20﹣x）2．
故答案为x2+62＝（20﹣x）2．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝2，则矩形ABCD的面积为 　　．

【分析】根据△DEF∽△DCB，可得CD＝2DE，设DE＝x，则CD＝2x，在Rt△DEF中，根据勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形ABCD的边BC翻折，
∴CF＝EF＝1，∠DEF＝∠C＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∴CD＝2DE，
设DE＝x，则CD＝2x，
∴DF＝2x﹣1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE2+EF2＝DF2，
∴x2+12＝（2x﹣1）2，
解得x＝或x＝0（舍），
∴CD＝2x＝，
∴S矩形ABCD＝CD×BC＝，
故答案为：．
10．（3分）已知x2﹣4x+1＝0，则的值为 　　．
【分析】首先根据x2﹣4x+1＝0得到x2+1＝4x，两边同时除以x得：x+＝4，然后对分式求其倒数，从而求得答案．
【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2+1＝4x，
两边同时除以x得：x+＝4，
∴
＝2x2﹣1+
＝2（x2+）﹣1
＝2[（x+）2﹣2]﹣1
＝2（42﹣2）﹣1
＝27，
∴＝．
故答案为：．
11．（3分）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1＝S2，则的值为 　3　．

【分析】求出S1＝a2+b2．S2＝2ab，根据S1＝S2得出a2+b2＝•2ab，求出a＝b或a＝3b，再求出答案即可．
【解答】解：S1＝4×ab+（a﹣b）2
＝2ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+b2，
S2＝（）2﹣（a﹣b）2
＝a2+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝2ab，
∵S1＝S2，
∴a2+b2＝•2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a﹣b＝0或a﹣3b＝0，
解得：a＝b或a＝3b，
∵a＞b＞0，
∴a＝b舍去，
当a＝3b时，＝＝3，
故答案为：3．
12．（3分）如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα＝），小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度为 　（6+9）米　（结果保留根号）．

【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，解Rt△AEP，求出PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），再解Rt△CPF，得出CF＝PF，设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．然后在Rt△AOC中，由含30°角的直角三角形的性质得OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），求出m的值，进而得到OC的长即可．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
∵山坡AP的坡度为i＝1：＝tanα＝＝，AP＝6米，
∴α＝30°，
∵PE⊥OB，
∴PE＝AP＝3（米），AE＝PE＝3（米），
∵PF⊥OC，∠CPF＝45°，
∴△PCF是等腰直角三角形，
∴CF＝PF，
设CF＝PF＝m米，则OC＝（m+3）米，OA＝（m﹣3）米．
在Rt△AOC中，∠OAC＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴OC＝OA，即m+3＝（m﹣3），
解得：m＝6+6，
∴OC＝6+6+3＝（6+9）米，
即该居民楼的高度为（6+9）米，
故答案为：（6+9）米．

13．（3分）已知＝0，则的值为 　1　．
【分析】由分式为0的条件，推导出且tanθ﹣1≠0，求得tanθ＝．对进行化简，得，将tanθ＝代入其中，得，进而求出＝1．
【解答】解：∵＝0，
∴且tanθ﹣1≠0．
∴且tanθ＝1．
∴tanθ（tanθ﹣1）﹣（tanθ﹣1）＝0且tanθ≠1．
∴（tanθ﹣1）（tanθ﹣）＝0且tanθ≠1．
∴tanθ＝．
∵sin2θ+cos2θ＝1，

＝
＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
14．（3分）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 　3　吨．

【分析】先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出相应的系数，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出．
【解答】解：当x＜10时，设y＝kx，
将点（10，22）代入可得：22＝10k，
解得：k＝2.2，
即可得：y＝2.2x，
当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y＝ax+b（a≠0），
当x＝10时，y＝22，当x＝20时，y＝57，
将它们分别代入y＝ax+b中得：
，
解得：，
那么y与x的函数关系式为：y＝3.5x﹣13，
综上可得：y＝，
当y＝29时，知道x＞10，将y＝29代入得29＝3.5x﹣13，
解得x＝12，
当y＝19.8时，知道x＜10，将y＝19.8代入得19.8＝2.2x，
解得：x＝9，
即可得四月份比三月份节约用水：12﹣9＝3（吨）．
故答案为：3．
15．（3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为　　．

【分析】根据图形的变化先确定每幅图形的“●”的个数从而得到一般性的规律，再进行分数的变式计算即可求解．
【解答】解：观察图形，得
第1幅图形中有“●”的个数为3个，即a1＝3＝1×3
第2幅图形中有“●”的个数为8个，即a2＝8＝2×4
第3幅图形中有“●”的个数为15个，即a3＝15＝3×5
…
第n（n为正整数）幅图形中有“●”的个数为n（n+2）个，即an＝n（n+2）
∴第8幅图形中有“●”的个数为80个，即a8＝80＝8×10
∴
＝+++…+
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1+﹣﹣）
＝
故答案为．
16．（3分）若m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，且a＜b，则m，n，a，b的大小关系是 　m＜a＜b＜n　（用“＜”连接）．
【分析】m、n可以看作函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝3的两个交点，a、b可以看作函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的两个交点，由此画出函数图象，观察图象即可求解．
【解答】解：如图：∵m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，
∴m、n可以看作函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝3的两个交点，
a、b可以看作函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的两个交点，
由图像可知，
m＜a＜b＜n，
故答案为m＜a＜b＜n．

17．（3分）已知函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为 　x＜﹣或x＞﹣　．
【分析】利用根与系数的关系，求得b、c与a的关系，代入不等式cx2+2bx﹣a＜0中，化简求解即可．
【解答】解：∵函数y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，
∴2和6是方程ax2+2bx﹣c＝0的两个根，
∴﹣＝2+6，﹣＝2×6，
∴b＝﹣4a，c＝﹣12a，
∴不等式cx2+2bx﹣a＜0化为﹣12ax2﹣8ax﹣a＜0，
∵a＞0，
∴12x2+8x+1＞0，
解得x＜﹣或x＞﹣，
故答案为x＜﹣或x＞﹣．
18．（3分）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG的最大值为 　1+2　．

【分析】如图，将线段OA绕点0顺时针旋转120”得到线段OT连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP，则AO＝OT＝1，AT＝，

∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，＝＝，
∴＝，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝＝，
∵OP＝2，
∴TG＝2，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+2，
∴OG的最大值为1+2，
故答案为：1+2，
四、解答题（共46分）
19．（16分）计算：
（1）﹣﹣+cot60°•cos30°；
（2）解方程：﹣＝1；
（3）解不等式：x+≥﹣7；
（4）已知α是锐角，且5+sinα﹣cosα＝12sinαcosα，求tanα+cotα的值．
【分析】（1）代入特殊角三角函数直接计算即可；
（2）移项后平方去根号，再移项平方去根号，解方程即可；
（3）移项通分，分情况整理后解二次不等式即可；
（4）根据5+sinα﹣cosα＝12sinαcosα，计算sinαcosα的值，再根据tanα+cotα＝+＝＝即可得出．
【解答】解：（1）原式＝﹣﹣+cot60°•cos30°
＝﹣﹣+•
＝1﹣﹣2+
＝﹣；
（2）∵﹣＝1，
移项得，＝1+，
两边平方得，5x+6＝3x+8+2，
移项合并同类项得，＝x﹣1，
两边平方得，3x+7＝x2﹣2x+1，
移项合并同类项得，x2﹣5x﹣6＝0，
分解因式得，（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1，
检验，当x＝6时，方程左边＝6﹣5＝1＝方程右边，
即x＝6是原方程的解，
当x＝﹣1时，方程左边＝1﹣2＝﹣1≠方程右边，
故x＝﹣1舍去，
即原方程的解为x＝6；
（3）∵x+≥﹣7，
∴或，
当x＞1时，（﹣7﹣x）（x﹣1）≤12，
即x2+6x+5≥0，
解得x≥﹣1或x≤﹣5，
即x＞1，
当x＜1时，（﹣7﹣x）（x﹣1）≥12，
即x2+6x+5≤0，
解得﹣5x≤﹣1，
∴原不等式的解为x＞1或﹣5x≤﹣1；
（4）∵5+sinα﹣cosα＝12sinαcosα，
∴sinα﹣cosα＝12sinαcosα﹣5，
两边平方得，（sinα﹣cosα）2＝（12sinαcosα﹣5）2，
整理得，72inαcosα）2﹣59nαcosα+12＝0，
解得sinαcosα＝或，
∵tanα+cotα＝+＝＝，
∴tanα+cotα＝或．
20．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

【分析】(1)连接OC,由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC,由圆周角定理得出∠ACB＝90°,证出∠DCO＝90°,则可得出结论;
(2)设OA＝OB＝2x,OD＝3x,证明△DCO∽△DEB,由相似三角形的性质得出,求出OC的长,则可求出答案．
【解答】(1)证明:连接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可得出结论；
（2）求出一元二次方程的解，进而得出m﹣1＜0，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意知，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×3（m﹣1）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，
∴方程x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）＝0有两个实数根；

（2）由题意知，x＝＝
【注：用因式分解法解方程：分解为（x+3）（x﹣m+1）＝0】，
∴x1＝m﹣1，x2＝3，
∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1．
22．（8分）小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 　③④　；（填序号）
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 　c＞1或﹣2＜c≤﹣1　；
（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是 　﹣4≤b＜﹣3或﹣3＜b≤﹣3　．

【分析】（1）画出函数图像，结合图象根据函数的性质即可判断．
（2）①根据题意列表、描点、连线即可．
②将2x+c看成是一次函数y＝2x+c，此函数与y轴的交点是c，因此要与[x]图像有两个交点，则需要分情况讨论．当c＞1时，满足两个交点的要求；当﹣1＜c≤1时，与图像没有两个交点；当﹣1≥c时，可以有两个交点，此种情况要代入2x+c＝x2﹣1，根据根的判别式求出c的范围即可．
（3）因为﹣＜[a]≤2，所以根据分段函数的图像，求解取值在﹣到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，则b＝a﹣3，即a＝b+3，代入到a的取值范围中求解即可．
【解答】解：（1）画出图象，根据图象可知，
①当x≥0时，y随x的增大而增大，故错误；
②该函数图象关于y轴不对称，故错误；
③当x＝0时，函数有最小值为﹣1，正确；
④该函数图象不经过第三象限，正确；
故答案为：③④．
（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象，

②∵关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，
∴可以看成是y＝[x]和y＝2x+c有两个交点．
∵y＝2x+c是一次函数，与y轴的交点为c，
∴当c＞1时，满足两个交点的条件．
若将y＝2x+c向下平移与图像有两个交点，则c≤﹣1．
∴方程为2x+c＝x2﹣1，即x2﹣2x﹣（1+c）＝0．
∴△＝4+4（1+c）＞0，
∴c＞﹣2，
∴﹣2＜c≤﹣1．
故答案为：c＞1或﹣2＜c≤﹣1．
（3）∵﹣＜[a]≤2，
∴当a＜0时，1＜[a]≤2，1＜﹣a+1≤2，解出﹣1≤a＜0．
当a≥0时，﹣＜[a]≤2，﹣＜a2﹣1≤2，解出＜a≤．
∴﹣1≤a＜0或＜a≤．
∵点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，
∴b＝a﹣3，
∴a＝b+3，
∴﹣4≤b＜﹣3或﹣3＜b≤﹣3．
故答案为：﹣4≤b＜﹣3或﹣3＜b≤﹣3．
23．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象都经过点A（﹣3，0），且二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点B（0，3），一次函数y＝mx+n的图象经过点C（0，﹣1）．
（1）分别求m、n和b、c的值；
（2）点P是二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标
x的函数表达式，并求S的最大值．
【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；
（2）分两种情况：①当点P在y轴左侧时，过点P作PD∥y轴交AC于点D，②当点P在y轴右侧时，过点P作PD∥y轴交AC的延长线于点D，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC的面积，配方可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象都经过点A（﹣3，0），一次函数y＝mx+n的图象经过点C（0，﹣1），
∴，
∴，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c和一次函数y＝mx+n的图象都经过点A（﹣3，0），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点B（0，3），
∴，
∴．
（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：y＝x﹣1与y＝﹣x2﹣2x+3，
①当点P在y轴左侧时，过点P作PD∥y轴交AC于点D，则S△PAC＝×PD×|﹣3|＝PD，

②当点P在y轴右侧时，过点P作PD∥y轴交AC的延长线于点D，

则S△PAC＝×PD×|x+3﹣x|＝PD，
∵点P在抛物线上，设P（x，﹣x2﹣2x+3），则D（x，x﹣1），
∴PD＝﹣x2﹣2x+3x+1＝﹣x2x+4，
∴S△PAC＝PD＝（x2x﹣4）＝（x+）2+，
即当x＝时，S△PAC最大＝．
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日期：2021/8/11 12:00:14；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298