2020-2021学年北京市昌平区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市昌平区八下期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在平面直角坐标中，点 M−2,3 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘

4. 已知直线 y=kx+2 与直线 y=2x 平行，则 k 的值是
A. 2B. −2C. 12D. −12

5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁平均数cm180185185180方差
要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

6. 第七次全国人口普查结果发布：全国人口数超 14.1 亿，人口老龄化严重，2018 年 60 岁及以上人口 24949 万人，2020 年 60 岁及以上人口达到 26402 万人，设 2018 年到 2020 年 60 岁及以上人口的年平均增长率为 x，则根据题意列出方程
A. 249491+x2=26402B. 264021+x2=24949
C. 249491−x2=26402D. 264021−x2=24949

7. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD．下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是
A. AB=CDB. AD∥BCC. ∠B=∠DD. AD=BC

8. 根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）一个解的范围是
+bx+c−0.06−
A. 3
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 请写出一个过点 0,1 的函数的表达式 ．

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，D 是 AB 的中点，若 ∠A=26∘，则 ∠BDC 的度数为 ．

11. 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量 A，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A，B 的点 C，找到 AC，BC 的中点 D，E，并且测出 DE 的长为 10 m，则 A，B 间的距离为 ．

12. 直线 y=−2x+a 经过 3,y1 和 −2,y2，则 y1 y2．（填写“>”，“<”或“=”）

13. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若 ∠AOD=120∘，BD=6，则 AB 的长为 ．

14. 如图，已知函数 y=x+b 和 y=ax+3 的图象交点为 P，则不等式 x+b>ax+3 的解集为 ．

15. 如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 交于点 O，BE⊥AD 于点 E，若 AC=8，BD=6，则 BE 的长为 ．

16. 若一个函数图象经过点 A1,3，B3,1，则关于此函数的说法：
①该函数可能是一次函数；
②点 P2,2.5，Q2,3.5 不可能同时在该函数图象上；
③函数值 y 一定随自变量 x 的增大而减小；
④可能存在自变量 x 的某个取值范围，在这个范围内函数值 y 随自变量 x 增大而增大．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 解方程：x2−4x−5=0．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF，连接 AE，CF．求证：AE=CF．

19. 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 A1,6 和点 B0,4．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与 x 轴交于点 C，求 △BOC 的面积．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2−4x+3m=0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个符合条件的 m 的值，求出此时方程的根．

21. A，B 两地相距 80 km，甲、乙两人沿同一条路从 A 地到 B 地，l1，l2 分别表示甲、乙两人离开 A 地的距离 s km/ h 与时间 t h 之间的关系．
（1）乙出发 h 后，甲才出发；
（2）在乙出发 h 后，两人相遇，这时他们离开 A 地 km；
（3）甲的速度是 km/ h，乙的速度是 km/ h．

22. 在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为矩形，A−1,m 和 Bn,2 关于 y 轴对称．
（1）m= ，n= ；
（2）矩形 ABCD 的中心在原点 O，直线 y=x+b 与矩形 ABCD 交于 P，Q 两点．
①当 b=0 时，线段 PQ 长度为 ；
②当线段 PQ 长度最大时，求 b 的取值范围．

23. 下面是小静设计的作矩形 ABCD 的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC 中，∠ABC=90∘．
求作：矩形 ABCD．
作法：如图，
①以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BA 的延长线于点 E；
②分别以点 B，E 为圆心，大于 12BE 长为半径作弧，两弧交于点 F，作直线 AF；
③以点 C 为圆心，BC 长为半径作弧，交 BC 的延长线于点 M；
④分别以点 B，M 为圆心，大于 12BM 长为半径作弧，两弧交于点 N，作直线 CN；
⑤直线 AF 与直线 CN 交于点 D；
所以四边形 ABCD 是矩形．
（1）根据小静设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB= ，BF= ，
∴AF⊥BE．（ ）（填推理的依据）
同理 CN⊥BM．
又 ∵∠ABC=90∘，
∴ 四边形 ABCD 是矩形，（ ）（填推理的依据）

24. 已知：如图，在等腰 △ABC 中，AB=BC，BO 平分 ∠ABC 交 AC 于点 O，延长 BO 至点 D，使 OD=BO，连接 AD，CD，过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）如果 AB=2，∠BAD=60∘，求 DE 的长．

25. 2021 年是中国共产党建党 100 周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学初二年级举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初二年级 50 名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）整理并绘制了如下统计图表．
初二年级学生竞赛成绩频数分布表
成绩分组/分频数频率40≤x<5010.0250≤x<60a0.0660≤x<70100.2070≤x<80bc80≤x<90120.2490≤x<100180.36合计501.00
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校初二年级有学生 400 人，估计该校初二年级学生竞赛成绩不低于 80 分的人数．

26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+2 与直线 y=x−2 交于点 A3,m．
（1）求 k，m 的值；
（2）已知点 Pn,n，过点 P 作垂直于 y 轴的直线，交直线 y=x−2 于点 M，过点 P 作垂直于 x 轴的直线，交直线 y=kx+2 于点 N．
①当 n=3 时，求 △PMN 的面积；
②若 2
27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），连接 DE，交对角线 AC 于点 F，过点 F 作 DE 垂线分别交 AD，BC 于点 M，N．
（1）根据题意，补全图形；
（2）证明：FD=FN；
（3）直接写出 BN 和 AF 的数量关系．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中的点 Px1,y1，Qx2,y2，给出如下定义：若 x1−x2≤y1−y2，则 dP,Q=x1−x2；若 x1−x2>y1−y2，则 dP,Q=y1−y2．
（1）已知点 A1,2，B3,2，则 dO,A= ，dO,B= ；
（2）点 C 坐标 m,n，且 dO,C=1．
①当 mn<0 时，写出一个符合条件的点 C 的坐标 ；
②所有符合条件的点 C 所组成的图形记作 W，在图 1 中画出图形 W；
（3）如图 2，矩形 DEFG 中，D−1,0，E3.5,0，F3.5,2.5，M3,2 是矩形内部一点，N 是矩形边上的点，且 dM,N≥1，若直线 y=kx+4 上存在点 N，直接写出 k 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】∵−2<0，3>0，
∴−2,3 在第二象限．
2. A【解析】A、是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
3. C【解析】黑色正五边形的内角和为：5−2×180∘=540∘，
故选C．
4. A【解析】由直线 y=kx+2 与直线 y=2x 平行，可得这两直线的比例系数相等，
∴k=2；
5. B
【解析】由表格可得：x甲=x丁 ∴ 要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择乙；
故选B．
6. A【解析】由题意得：249491+x2=26402；
故选A．
7. D【解析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
C、 ∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180∘，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180∘，∴AD∥BC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，故不符合题意；
D、 AD=BC，AB∥CD 无法得出四边形 ABCD 是平行四边形，故符合题意；
8. C【解析】观察表格可知 ax2+bx+c 的值与 0 比较接近的是 −0.02 和 0.03，相对应的 x 的值分别为 3.24 和 3.25，因此方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）一个解的范围是 3.24故选C．
第二部分
9. y=−x+1（答案不唯一）
【解析】∵ 函数图象过点 0,1，
∴ 函数图象与 y 轴相交，设该函数的表达式为 y=−x+b，过点 0,1，
∴b=1，
∴ 函数的表达式为 y=−x+1，
故答案为 y=−x+1（答案不唯一）．
10. 52
【解析】∵∠ACB=90∘，D 是 AB 上的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=26∘，
∴∠BDC=2∠A=52∘．
故答案为 52．
11. 20 m
【解析】∵AB，BC 的中点 D，E，
∴DE 为三角形 ABC 的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=10 m，
∴AB=20 m．
12. <
【解析】∵ 直线 y=−2x+a 中，k=−2<0，y 随 x 的增大而减小，
∵3>−2，
∴y113. 3
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，BD=6，
∴OA=OB=12BD=3，
∵∠AOD=120∘，
∴∠AOB=60∘，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA=OB=AB=3．
14. x>1
【解析】由图知：当直线 y=x+b 的图象在直线 y=ax+3 的上方时，不等式 x+b>ax+3 成立；
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当 x>1 时，x+b>ax+3；
15. 245
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=12AC=4，OD=12BD=3，
∴AD=OA2+OD2=5，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=AD⋅BE，即 24=5BE，
∴BE=245，
故答案为 245．
16. ①②④
【解析】①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；
②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x，y，对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数，x 叫自变量，所以点 P2,2.5，Q2,3.5 不可能同时在该函数图象上，故正确；
③因为函数关系不确定，所以函数值 y 不一定一直随自变量 x 的增大而减小，故错误；
④可能存在自变量 x 的某个取值范围，在这个范围内函数值 y 随自变量 x 增大而增大，故正确．
第三部分
17.
x2−4x−5=0,
移项，得
x2−4x=5,
两边都加上 4，得
x2−4x+4=5+4,
所以
x−22=9,
则
x−2=3或x−2=−3,
所以
x=−1或x=5.
18. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS，
∴AE=CF．
19. （1） ∵ 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 A1,6 和点 B0,4，
∴k+b=6,b=4,
解得：k=2,b=4,
∴ 一次函数的表达式为 y=2x+4；
（2） 由（1）可得一次函数的表达式为 y=2x+4，
∴ 令 y=0 时，则有 0=2x+4，
解得：x=−2，
∴ 点 C−2,0，
∵B0,4，
∴OB=4，OC=2，
∴S△BOC=12OB⋅OC=4．
20. （1） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−4x+3m=0 有实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−12m≥0 ，
解得：m≤43；
（2） m=0，x1=0，x2=4（答案不唯一）
由（1）可得 m≤43，
则令 m=0 代入方程得：x2−4x=0，
解得：x1=0，x2=4．
21. （1） 1
【解析】由图象可得：乙出发 1 h 后，甲才开始出发．
（2） 1.5，20
【解析】由图象可得：在乙出发 1.5 h 后，两人相遇，这时离 A 地的距离为 20 km．
（3） 40，403
【解析】由图象得：
甲的速度为 80÷2=40 km/ h，
乙的速度为 40÷3=403 km/ h．
22. （1） 2；1
【解析】∵A−1,m 和 Bn,2 关于 y 轴对称，
∴n=1，m=2；
故答案为 2，1．
（2） ① 22
②当直线 y=x+b 过点 D 和 B 时，PQ 一样大，并且是最大，此时是 PQ 最大的分界点，如图所示：
∴ 当直线 y=x+b 过点 D−1,−2 时，则有 −2=−1+b，
∴b=−1；
当直线 y=x+b 过点 B1,2 时，则有 2=1+b，
∴b=1；
∴ 当线段 PQ 长度最大时，b 的取值范围为 −1≤b≤1．
【解析】① ∵ 矩形 ABCD 的中心在原点 O，
∴ 点 C，D 分别是点 A，B 关于原点的对称点，
∴C1,−2，D−1,−2，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC∥y 轴，
∴ 直线 AD 为 x=−1，直线 BC 为 x=1，
当 b=0 时，则有 y=x，
∵ 假设直线 y=x 与 AD，BC 交于 P，Q 两点，
∴P−1,−1，Q1,1，
∴ 根据两点距离公式可得 PQ=1+12+1+12=22；
故答案为 22．
23. （1） 如图所示：
（2） AE；EF；等腰三角形的三线合一；有三个角为直角的四边形是矩形
24. （1） ∵AB=BC，BO 平分 ∠ABC，
∴BO⊥AC，AO=OC，
∵OD=BO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形；
（2） 由（1）可得四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥CE，
∵∠BAD=60∘，
∴∠BAC=12∠BAD=30∘，
∵AB=2，
∴OB=12AB=1，
∴OA=AB2−OB2=3．
∴AC=23，
∵DE⊥BD，BD⊥AC
∴AC∥DE，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴DE=AC=23．
25. （1） 3；6；0.12；
【解析】由频数分布表得：
c=1−0.02−0.06−0.20−0.24−0.36=0.12，
b=50×0.12=6，
a=50×0.06=3；
（2） 由（1）可补全频数分布直方图，
（3） 由题意得：
400×0.36+0.24=240（名），
答：该校初二年级学生竞赛成绩不低于 80 分的人数为 240 名．
26. （1） 把点 A 代入直线 y=x−2 得：m=3−2=1，
∴A3,1，
把 A3,1 代入直线 y=kx+2 得：3k+2=1，
解得：k=−13；
（2） 由（1）可得：k=−13，则有直线 y=−13x+2；
① ∵n=3，
∴P3,3，
由题意可得如图所示：
∵ 过点 P 作垂直于 y 轴的直线，交直线 y=x−2 于点 M，过点 P 作垂直于 x 轴的直线，交直线 y=kx+2 于点 N，
∴M5,3，N3,1，
∴MP=5−3=2，PN=3−1=2，
∴S△PMN=12PM⋅PN=2；
② −3【解析】②由题意可知点 Pn,n 在直线 y=x 上，由①可得当 S△PMN>2 时，则有 n<3，
当 n<0 时，则有如图所示：
∴Mʹn+2,n，Nʹn,−13n+2，
∴MʹPʹ=n+2−n=2，PN=−13n+2−n=−43n+2，
∴S△PMN=12PM⋅PN=−43n+2，
当 S△PMN=6 时，则有 −43n+2=6，
解得：n=−3，
∴ 当 S△PMN<6 时，则有 n>−3，
综上所述：当 227. （1） 如图所示，
（2） 过点 F 作 FH⊥AD 于点 H，并延长 HF，交 BC 于点 G，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAC=45∘，∠DAB=∠ABC=90∘，AD=AB，
∴△AHF 是等腰直角三角形，
∴AH=HF，
∵FH⊥AD，
∴ 四边形 ABGH 是矩形，
∴AB=GH=AD，∠FGN=∠DHF=90∘，
∴AD−AH=GH−FH，即 FG=DH，
∵MN⊥DE，
∴∠HFD+∠HDF=∠HFD+∠GFN=90∘，
∴∠HDF=∠GFN，
∴△HDF≌∠GFNASA，
∴FD=FN．
（3） BN=2AF．
【解析】BN=2AF，理由如下：
由（2）可得 △HDF≌△GFN，四边形 ABGH 是矩形，
∴AH=HF=GN=BG，
∵△AHF 是等腰直角三角形，
∴AF=2AH，
∵BN=BG+GN=2AH，
∴BN=2AF．
28. （1） 1；2
【解析】∵A1,2，B3,2，
∴0−1<0−2，0−3>0−2，
∴dO,A=0−1=1，dO,B=0−2=2；
（2） ① −1,2；
②由①可得图形 W 如图所示：
【解析】① ∵ 点 C 坐标 m,n，且 dO,C=1，
∴ 当 m≤n 时，则有 m=1，当 m>n 时，则有 n=1，
∵mn<0，
∴ 符合条件的点 C 坐标可以为 −1,2．
（3） k≥3 或 k≤−2
【解析】∵ 矩形 DEFG 中，D−1,0，E3.5,0，F3.5,2.5，N 是矩形边上的点，
∴ 当点 N 在线段 GF 上时，则有 Nn1,2.5，
当点 N 在线段 DG 上时，则有 N−1,n2；
当点 N 在线段 DE 上时，则有 Nn3,0；
当点 N 在线段 EF 上时，则有 N3.5,n4；
∵M3,2，且 dM,N≥1，
∴ 点 N 不可能在线段 GF，EF 上，
∴ 当点 N 在线段 DG 时，则 0≤n2≤1，
当点 N 在线段 DE 时，则 −1≤n3≤2，且 n3≠0，
∴ 当直线 y=kx+4 经过点 N2,0 时，则有 2k+4=0，解得：k=−2，
当直线 y=kx+4 经过点 N−1,1 时，则有 −k+4=1，解得：k=3，
∴k 的取值范围为 k≥3 或 k≤−2．