2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质

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2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质
一．选择题（共10小题）
1．（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（　　）

A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
2．（2021•娄底）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B+∠D的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A．11 B．22 C．33 D．44
4．（2021•永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2021•湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
6．（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　）

A．38° B．48° C．58° D．66°
7．（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．π D．π
8．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　）

A．10° B．12° C．14° D．15°
9．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
10．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）

A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸



4
5
6
7
8
9
0
1
2
3


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 　 　年．（用天干地支纪年法表示）
12．（2021•永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　 　．

13．（2021•张家界）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝　 　．

14．（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 　 　cm2（结果用含π的式子表示）．

15．（2021•株洲）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　 　．

16．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　 　．

17．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　 　．

18．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　 　（限填序号）．

19．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 　 　．

20．（2021•张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为 　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．

22．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．

23．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
24．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

25．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

26．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

27．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
28．（2021•娄底）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：EF2＝BE2+CF2；
（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．

29．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

30．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．


2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（　　）

A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABC
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质求解．
【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴NA＝NB．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（2021•娄底）如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B+∠D的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】先由平行线的性质得出∠A+∠C＝180°，再由三角形的内角和为180°，将△ABF和△CDE的内角和加起来即可得∠B+∠D的度数．
【解答】解：∵∠BFC＝130°，
∴∠BFA＝50°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠B+∠A+∠BFA+∠D+∠C+∠CED＝360°，
∴∠B+∠D＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质和三角形的内角和，这两个知识点中考基本都是放在一起考的，平行线的性质与判定要熟记于心．
3．（2021•湘西州）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A．11 B．22 C．33 D．44
【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】通过证明△AEF∽△ACD，可求CD＝11，即可求解．
【解答】解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC＝AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴CD＝2EF＝11，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴菱形ABCD的周长＝4×11＝44，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，求出CD的长是解题的关键．
4．（2021•永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：利用基本作图判断MN垂直平分AB是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
5．（2021•湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据垂径定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF＝OC＝OD＝2．
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF＝OC＝OD是解题的关键．
6．（2021•株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　）

A．38° B．48° C．58° D．66°
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
【解答】解：∵∠DCE＝132°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝48°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
7．（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．π D．π
【考点】正方形的性质；正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】连接OA、OB，则△OAB为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为3，进而可得半径为3，根据弧长公式可求弧AB的长．
【解答】解：如图

连接OA，OB，则OA＝OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB＝＝3，
∴OA＝OB＝3，
∴弧AB的长L＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
8．（2021•株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　）

A．10° B．12° C．14° D．15°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
9．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【分析】根据对角线互相平分可判断A；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断B，D；根据无法证明对角线互相垂直可判断C．
【解答】解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
10．（2021•娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）

A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】由题意可知：直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，利用直线l的解析式设出点B的坐标，可得线段BE，OB的长，由直角三角形的边角关系可得tan∠AOB＝；解直角三角形ABO可得OB的长，利用勾股定理可求OA的长，点A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为（13，0）．
【解答】解：当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，
设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，如图，

∵点B在直线y＝x上，
∴设B（m，m），
∴OE＝﹣m，BE＝﹣m．
在Rt△OEB中，tan∠AOB＝．
∵直线l与⊙A相切，
∴AB⊥BO．
在Rt△OAB中，tan∠AOB＝．
∵AB＝5，
∴OB＝12．
∴OA＝．
∴A（﹣13，0）．
同理，在x轴的正半轴上存在点（13，0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•湘潭）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸



4
5
6
7
8
9
0
1
2
3


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 　辛丑　年．（用天干地支纪年法表示）
【考点】推理与论证．菁优网版权所有
【专题】阅读型；整式；推理能力．
【分析】先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可．
【解答】解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年．
故答案为：辛丑．
【点评】本题考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．
12．（2021•永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　10　．

【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2021•张家界）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝　50°　．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝100°，易证△OBC为等腰三角形，又D为BC中点，根据三线合一可得OD为∠BOC的角平分线，即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°．
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形，
又∵D为BC中点，
∴OD为BC上中线，
根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°．
故答案为：50°
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，得到OD为∠BOC的角平分线是解题的关键．
14．（2021•郴州）如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 　180π　cm2（结果用含π的式子表示）．

【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：这张扇形纸板的面积＝×2π×10×18＝180π（cm2）．
故答案为180π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2021•株洲）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　4　．

【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由矩形的性质可得AB＝2OD＝4，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
16．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　1　．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】面积法；等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，依据S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，代入计算即可得到PE+PF＝1．
【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算．
17．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为 　（x﹣6.8）2+x2＝102　．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　①　（限填序号）．

【考点】平行四边形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟记“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”是解题的关键．
19．（2021•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 　12　．

【考点】直角三角形斜边上的中线；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE＝AB，AB＝BC，即可求出BC．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，
又∵点E是边AB的中点，
∴OE＝AE＝EB＝，
∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
20．（2021•张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为 　①②④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠CDE＝∠ADP，再结合已知条件用SAS可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD＝∠CED，再结合三角形外角性质可证AE⊥CE；③过点C作CF⊥DE的延长线于点F，利用勾股定理可求CE，利用△DPE为等腰直角三角形，可证△CFE为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求CF，EF；④在Rt△CDF中，利用勾股定理可求CD2，即是正方形ABCD的面积．
【解答】解：①∵DP⊥DE，
∴∠PDE＝90°．
∴∠PDC+∠CDE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴∠CDE＝∠ADP．
在△APD和△CED中，
，
∴△APD≌△CED（SAS），
故①正确；
②∵△APD≌△CED，
∴∠APD＝∠CED，
又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，
∴∠PDE＝∠CEA＝90°．
即AE⊥CE，故②正确；
③过点C作CF⊥DE的延长线于点F，如图，
∵DE＝DP，∠PDE＝90°，
∴∠DPE＝∠DEP＝45°．
又∵∠CEA＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°．
∵DP＝DE＝1，
∴PE＝＝．
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝EF＝＝，
即点C到直线DE的距离为，故③错误；
④∵CF＝EF＝，DE＝1，
在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝＝2+3+＝，
∴S正方形ABCD＝，
故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正方形面积的计算，勾股定理等知识，综合性比较强，得出△APD≌△CED，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．

【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）由矩形的性质可得DC∥AB，可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得DB∥EF，可证∠ABD＝∠F，由锐角三角函数可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）∵四边形DEFB是平行四边形，
∴DB∥EF，
∴∠ABD＝∠F，
∴tan∠ABD＝tanF＝，
∴，
又∵BF＝2，
∴BG＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
22．（2021•娄底）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N．
（1）求证：BM与⊙O相切；
（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．

【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝90°，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠MBE+∠EBC＝90°，可得MB⊥BC，可得结论；
（2）通过证明△DAC∽△ACN，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵MB＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴∠MBE+∠EBC＝90°，
∴∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∴BM与⊙O相切；
（2）AC2＝CN•AD，
理由如下：∵∠ACD＝∠ABD，∠DBC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD+∠DBC＝90°，
∵AN⊥BC，
∴∠N+∠DCB＝90°，
∴∠N＝∠DBC，
∴∠N＝∠DBC＝∠DCA＝∠DAC，
∴△DAC∽△ACN，
∴，
∴AC2＝CN•AD．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，证明△DAC∽△ACN是解题的关键．
23．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【分析】（1）根据黄金分割的定义直接求出AC的长度即可；
（2）设⊙O的半径为r，则PQ＝AP＝r，MQ＝2r﹣r﹣r＝r，OQ＝r﹣＝r，得出＝，即可得证点Q是线段OM的黄金分割点；
（3）作PH⊥AE于H，由正五边形可知，AE＝DE，∠PEA＝72°，cos72°＝＝×＝．
【解答】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得＝，
∵AB＝100，
∴AC＝50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为r，则OP＝r，
∴PQ＝AP＝＝r，
∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，
∴＝＝＝＝，
即Q是线段OM的黄金分割点；
（3）如图③，作PH⊥AE于H，
由题可知，AH＝HE，
∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，
即cos∠PEH＝cos72°＝，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴＝，
又∵DE＝AE，HE＝AH＝AE，
∴cos72°＝＝＝×＝×＝．

【点评】本题主要考查黄金分割点的几何意义，正多边形内角和，解直角三角形等知识点，正确理解并熟练应用黄金分割点的比例关系是解题的关键．
24．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若OB＝2，求弧CD的长．

【考点】含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】（1）连接OD，只要证明AD⊥OD即可，利用直角三角形两锐角互余，平行线的性质以及三角形全等可得结论；
（2）根据弧长公式，得出弧CD所在的圆心角度数和半径即可．
【解答】（1）证明；连接OD，
∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，
∴∠AOB＝60°，
又∵CD∥AO，
∴∠C＝∠AOB＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵OB＝OD，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，
根据弧长公式可得，＝＝，
答：弧CD的长．

【点评】本题考查切线的判定，弧长的计算，掌握切线的判定方法以及弧长的计算公式是正确解答的前提，理解AD过半径OD的外端D且垂直于这条半径是正确判断的关键．
25．（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【考点】展开图折叠成几何体；等腰三角形的性质；圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，由∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，得∠ABC＝∠AEF，可推得∠AEB＝∠AEF即可；
（2）①通过HL证Rt△ABD≌Rt△ACF即可得出BD＝CF；
②由全等知DE＝EF，BD2﹣DE2＝BE•CE，通过相似可证BE•CE＝AE•EG，即可解决问题．
【解答】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，
∵∠ADE＝∠AFE＝90°，AE＝AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴DE＝FE，∠AEB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠AEB＝∠CEG，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD2﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE2+AE•EG．
【点评】本题主要考查了圆的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，从复杂图形中找出基本图形进行线段之间的转化是解决问题的关键．
27．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
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【专题】三角形；与圆有关的位置关系；应用意识．
【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明；
（2）由△BAC∽△CAD，得证AC2＝2AD•AO；
（3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵CD⊥AE，
∴∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴，
∴AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，
∵∠QBM是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），
∵∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝＝＝45°，
∴∠P＝∠Q．

【点评】本题考查了圆和三角形的综合证明．目的是让学生通过对切线、线段关系和角的关系的证明，快速掌握三角形外角性质、角平分线定义、三角形相似、直径所对的圆周角是直角等知识点的应用．
28．（2021•娄底）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：EF2＝BE2+CF2；
（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）先判断出∠B＝∠ACB，进而判断出∠B＝∠ACD，即可得出结论；
（2）先判断出∠DAE＝90°，进而判断出∠EAF＝∠DAF，利用SAS判断出△AEF≌△ADF，得出DF＝EF，最后用勾股定理，即可得出结论；
（3）先求出AH＝BH＝CH＝1，进而得出BE＝1﹣EH，CF＝1﹣FH，再由EF2＝CF2+BE2，判断出1﹣EH•FH＝EH+FH，在Rt△AHE中，tanα＝＝EH，在Rt△AHF中，tanβ＝FH，最后代入化简，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF＝EF，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，
∵CD＝BE，
∴EF2＝CF2+BE2；

（3）在Rt△ABC中，AC＝AB＝，
∴BC＝AB＝2，
∵AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH＝BC＝1，
∴BE＝1﹣EH，CF＝1﹣FH，
由（2）知，EF2＝CF2+BE2，
∵EF＝EH+FH，
∴（EH+FH）2＝（1﹣FH）2+（1﹣EH）2，
∴1﹣EH•FH＝EH+FH，
在Rt△AHE中，tanα＝＝EH，
在Rt△AHF中，tanβ＝＝FH，
∴右边＝＝＝＝1，
∵α+β＝45°，
∴左边＝tan（α+β）＝tan45°＝1，
∴左边＝右边，
即当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出1﹣EH•FH＝EH+FH是解本题的关键．
29．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，ii）如图4，当AG＝QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
30．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ECF＝90°，可得结论．
（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，可得结论．
②利用相似三角形的性质求出AC，再求出CM，CG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，
∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．

（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．

②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：2，
∵△ACD∽△OBE，
∴＝，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴AC＝6，
∵M是AC的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴＝＝，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1，
即线段MG的长度为1．

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACD∽△OBE，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
9．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
12．三角形综合题
三角形综合题．
13．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
16．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
17．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
18．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

19．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
20．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

21．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
22．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
23．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
24．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
25．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
26．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
27．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
28．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
29．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
30．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
31．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
32．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
33．圆的综合题
圆的综合题．
34．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．　　（3）作已知线段的垂直平分线．　　（4）作已知角的角平分线．　　（5）过一点作已知直线的垂线．
35．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
36．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
37．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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