2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化

这是一份2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化，共37页。

2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
一．选择题（共12小题）
1．（2021•湘潭）下列几何体中，三视图不含圆的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
4．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（　　）
A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）
5．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
6．（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2019•邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
8．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，
（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（　　）

A．135° B．120° C．112.5° D．115°
9．（2019•邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（　　）

A．120° B．108° C．72° D．36°
10．（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自己正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
11．（2019•常德）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
12．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）

A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
二．填空题（共6小题）
13．（2019•益阳）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　 　．

14．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．

15．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 　 　.（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．

16．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 　 　．

17．（2019•郴州）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　 　．（结果保留π）

18．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 　 　．

三．解答题（共3小题）
19．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）

20．（2019•娄底）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．

21．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．

2017-2021年湖南中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•湘潭）下列几何体中，三视图不含圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．版权所有
【专题】投影与视图；应用意识．
【分析】分别找出四个立体图形的三视图即可解答．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故不符合题意；
B、球的三视图都是圆，故不符合题意；
C、正方体的三视图都是正方形，故符合题意；
D、圆锥的俯视图是圆，故不符合答题，
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面、上面看，所得到的图形．
2．（2021•益阳）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；勾股定理的证明．版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．
3．（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
【考点】中心对称图形；数学常识；轴对称图形．版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（　　）
A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．版权所有
【专题】平面直角坐标系．
【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变．
【解答】解：将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）．
故选：B．
【点评】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律．
5．（2021•郴州）由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示，则它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．版权所有
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体三视图的意义画出俯视图即可．
【解答】解：该组合体的俯视图如下：

故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握俯视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．
6．（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．（2019•邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′＝1：2
D．AB∥A′B′
【考点】位似变换．版权所有
【专题】图形的相似．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
8．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，
（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（　　）

A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由折叠前后对应角相等且∠P1MA＝90°可先求出∠DMP1＝∠DMA＝45°，进一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，
∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，
∵折叠，
∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，
∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
故选：C．
【点评】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
9．（2019•邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（　　）

A．120° B．108° C．72° D．36°
【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
10．（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自己正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．版权所有
【专题】投影与视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．
【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．
11．（2019•常德）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．版权所有
【专题】图形的相似．
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
12．（2021•湘西州）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（　　）

A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【考点】相似三角形的判定与性质．版权所有
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】由∠ABE＝∠C，∠E＝∠E，证明△ABE∽△DCE，得＝，即可求解．
【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，
∴EC＝EB+BC＝14，
∵AB⊥EC，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABE＝∠C，
又∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝10.5，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△DCE是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．（2019•益阳）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　90°　．

【考点】旋转的性质．版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．
【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，

故答案为90°．
【点评】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
14．（2021•湘西州）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 　40°　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠4＝20°，进而得出∠2＝40°．
【解答】解：如图

分别延长EB、DB到F，G，
由于纸带对边平行，
∴∠1＝∠4＝20°，
∵纸带翻折，
∴∠3＝∠4＝20°，
∴∠DBF＝∠3+∠4＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠2＝∠DBF＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
15．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 　②④⑤　.（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．

【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算．版权所有
【专题】与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．
【分析】①DE垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则的长为＝，故③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，

若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴的长为＝，故③错误；
④∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴＝，故④正确；
⑤在Rt△BEF中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴EF：BE＝BC：AC＝6：8，
设BC＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质及定理是解题关键．
16．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 　（2,2）　．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣平移．版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．

故答案为：（2,2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
17．（2019•郴州）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　10π　．（结果保留π）

【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积；几何体的展开图．版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，
∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π，
故答案为10π．
【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．
18．（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为 　　．

【考点】胡不归问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，
得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．
【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，

∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵sinA＝＝，AB＝5，
∴BD＝4，
由勾股定理得AD＝，
∴sin∠ABD＝，
∴EP＝，
∴PC+PB＝PC+PE，
即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，
∴PC+PB的最小值为CH的长，
∵S△ABC＝，
∴4×4＝5×CH，
∴CH＝．
∴PC+PB的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
19．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用．
【分析】设AB＝x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．
【解答】解：设AB＝x，
由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴AB＝BC＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+400，
在Rt△ADB中，
∴tan30°＝，
∴＝，
解得：x＝≈546.4，
经检验，x≈546.4是原分式方程的解，
∴山高AB为546.4米．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及分式方程的解法，本题属于中等题型．
20．（2019•娄底）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．

【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似．
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵CD⊥AC，
∴CD⊥OD，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BDE＝90°，
∵CD⊥AC，
∴∠C＝∠BDE＝90°，
∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，
∴△ACD∽△BDE，
∴＝，
∴CD•BE＝AD•DE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．
【考点】相似形综合题．版权所有
【专题】综合题；推理能力；应用意识．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①连接BD，可知点O为BD的中点，点E为CD的中点，从而可以得到点M是△BCD的重心，然后即可得到EM和BE的关系，再根据勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接DE，如图一，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴＝，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝，OD＝，
∴，＝；
（2）由（1）同理可得，，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故＝，是定值；
（3）①连接BD交AC于点O，
∵点O为BD的中点，点E为CD的中点，
∴点M是△BCD的重心，
∴＝，
∵E为CD的中点，
∴，
∴，
即；
②∵S△CME＝1，且，
∴S△BMC＝2，
∵，
∴，
∴S△AMB＝4，
∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，
又S△ADC＝S△ABC，
∴S△ADC＝6，
∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．


【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
3．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
10．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
11．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
12．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
13．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
14．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
15．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
16．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
17．胡不归问题
著名的几何最值问题
18．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
19．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
20．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
21．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
22．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
23．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
24．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
25．相似形综合题
相似形综合题．
26．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
27．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：
28．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
29．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
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日期：2022/3/16 20:20:41；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964