2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式

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2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
一．选择题（共10小题）
1．（2021•郴州）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．＝3 D．（a+b）2＝a2+b2
2．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×105 B．5×104 C．50×104 D．5×105
3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
4．（2021•衡阳）下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3
5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021•永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a2•a3＝a6
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（　　）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2
10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．a÷b•＝ D．1+＝
二．填空题（共10小题）
11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 　 　．
12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是 　 　．
13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为 　 　．
14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝　 　．
15．（2021•怀化）比较大小：　 　（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝　 　.（用含n的式子表达）

18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 　 　．
19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为 　 　.（用含n的代数式表示）

20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．
22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
23．（2021•怀化）计算：．
24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．
25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．
26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．
27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．
28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．

2021年湖南中考数学真题分类汇编之数与式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•郴州）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a5
C．＝3 D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；
B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；
C．，故C选项符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．
2．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×105 B．5×104 C．50×104 D．5×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：5万＝50000＝5×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）
A．98.99×106 B．9.899×107
C．9899×104 D．0.09899×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：98990000＝9.899×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2021•衡阳）下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．（﹣2）0＝1 C．+＝ D．＝3
【考点】算术平方根；立方根；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．
【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．
【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；
根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；
、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式a0＝1(a≠0)的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．
5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
6．（2021•永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝ C．＝±2 D．a2•a3＝a6
【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；整式；数感；运算能力．
【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．
【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；
C.＝2，因此选项C 不符合题意；
D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．
7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（　　）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴+
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣1）•
＝×
＝×
＝
＝
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a12÷a2 C．（a3）2 D．（a3）2
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；
B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；
C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；
D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
C．a÷b•＝ D．1+＝
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；分式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【分析】根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；
C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；
D、1+，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 　5.5×107　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．
【解答】解：55000000＝5.5×107，
故答案为：5.5×107．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键．
12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是 　x＞0　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，
解得：x＞0．
故答案为：x＞0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为 　4×105　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：400000＝4×105．
故答案为：4×105．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝　0　．
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把x+的值代入计算即可．
【解答】解：∵x+＝，
∴x+﹣＝﹣＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．
15．（2021•怀化）比较大小：　＞　（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【考点】算术平方根；实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】先估算出12，再除以2即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴＜1，
即＞，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．
16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．
17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝　　.（用含n的式子表达）

【考点】数学常识；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．
【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，
第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，
第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，
第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，
....．
第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．
18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 　m2﹣m　．
【考点】有理数的混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；运算能力；创新意识．
【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．
【解答】解：由题意得：
2100+2101+2102+…+2199，
＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），
＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），
＝（2100）2﹣2100，
＝m2﹣m，
故答案为：m2﹣m．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．
19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为 　2n（n+1）　.（用含n的代数式表示）

【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；几何直观；应用意识．
【分析】根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）．
【解答】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，
第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，
第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，
•••，
按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）；
故答案为：2n（n+1）．
【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝　3　．
【考点】立方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵a3＝27，
∴a＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键，即：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．
【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×
＝1﹣2+2+2
＝3．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．
22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
23．（2021•怀化）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1
＝1﹣2+9+2+1
＝11．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．
【考点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1++2﹣2×
＝1+﹣1+2﹣
＝2．
【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正确进行分母有理化是解题的关键．
26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
由题意得：x≠1，x≠±3，
当x＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则、分式的分母不为0是解题的关键．
27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．
【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝+•
＝+
＝+
＝
＝
＝，
当x＝+2时，
原式＝＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝•（a﹣1）
＝，
当a＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，还要注意运算顺序．
30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（+1）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
5．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
13．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
14．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
15．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
16．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
17．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
18．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
19．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
20．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
21．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
22．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
23．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
24．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
25．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
26．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
27．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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日期：2021/8/3 15:59:00；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140