2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质

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2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质
一．选择题（共7小题）
1．（2021•大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）

A． B． C． D．
2．（2021•大连）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．90°
3．（2021•营口）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（　　）

A．41° B．51° C．42° D．49
4．（2021•营口）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD
5．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（　　）

A．112° B．124° C．122° D．134°
6．（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°
7．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
二．填空题（共4小题）
8．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　 　．

9．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 　 　．

10．（2021•营口）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 　 　．

11．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　 　．

三．解答题（共5小题）
12．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

13．（2021•大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．

14．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．

15．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．

16．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．


2021年辽宁中考数学真题分类汇编之图形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021•大连）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（　　）

A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；空间观念．
【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥．
故选：D．
【点评】本题考查了由展开图判断几何体的知识，根据常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
2．（2021•大连）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．90°
【考点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】根据平行线的性质，可得∠A＝∠D＝40°．根据垂直的定义，得∠CED＝90°．再根据三角形内角和定理，可求出∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°．
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°．
又∵∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂直的定义和三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行，内错角相等推断出∠D＝∠A以及运用三角形内角和定理是解决本题的关键．
3．（2021•营口）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（　　）

A．41° B．51° C．42° D．49
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】过点C作MC∥AB，则MC∥PH，由正六边形的内角和及三角形的内角和求得∠3＝41°，根据平行线的性质得到∠BCM＝41°，∠MCD＝79°，∠PHD＝79°，由四边形的内角和即可求解．
【解答】解：如图，过点C作MC∥AB，则MC∥PH，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF＝＝120°，
∵∠1＝19°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，
∵MC∥AB，
∴∠BCM＝∠3＝41°，
∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，
∵MC∥PH，
∴∠PHD＝∠MCD＝79°，
四边形PHDE的内角和是360°，
∴∠2＝360°﹣∠PHD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，
故选：A．
【点评】此题考查了正六边形的内角和、平行线的性质，熟记正六边形的内角和公式及“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4．（2021•营口）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

A．AB∥CD B．∠3＝60° C．FG＝FC D．GF⊥CD
【考点】对顶角、邻补角；平行线的判定．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】先根据平行线的判定可得AB∥CD，根据直角三角形的性质可得∠3，根据含30°的直角三角形的性质可得FG＝GC，再由平行线的性质得到GF⊥CD，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝30°，
∴AB∥CD，故A不符合题意；
∵EF⊥AB，
∴∠BEG＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，故B不符合题意；
∵∠2＝30°，
∴FG＝GC，故C符合题意；
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴GF⊥CD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂线，平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
5．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（　　）

A．112° B．124° C．122° D．134°
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】作所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数．
【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠APB＝∠AOB＝56°，
∵∠APB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角∠APB的度数是解决问题的关键．
6．（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；推理能力．
【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．
【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF＝BC＝BF＝CF是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
8．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为 　8　．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出△CEF的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵点F是AC的中点，
∴，
∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
9．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；推理能力．
【分析】先证明△BEC≌△BEF，可得CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，从而得HE＝，再利用勾股定理得BD＝，进而即可求解．
【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是△CGF的中位线是解题的关键．
10．（2021•营口）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 　4+π　．

【考点】弧长的计算；作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，则根据弧长公式可计算出的长度为π，作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．
【解答】解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，
∴的长度为＝π，
作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，
∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，
∴OD＝OF，
∴△ODF为等边三角形，
∴DF＝OD＝4，
∵E′B＝E′F，
∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，
∴此时E′B+E′D的值最小，
∴阴影部分周长的最小值为4+π．
故答案为4+π．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：求出EB+ED的最小值为解决问题的关键．也考查了轴对称的性质和最短路径问题．
11．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　　．

【考点】圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC＝，从而得到tan∠ADC的值．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝．
故答案为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
三．解答题（共5小题）
12．（2021•丹东）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC、DE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）证△AEO≌△DCO（AAS），得到AE＝CD，再由CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得AB＝CD，再证CD＝AC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△AEO和△DCO中，
，
∴△AEO≌△DCO（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：四边形ACDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AC，
∴CD＝AC，
∴四边形ACDE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定，证明△AEO≌△DCO是解题的关键．
13．（2021•大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接OB，如图1，根据切线的性质得到OD⊥MN，则OD⊥BC，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理得到结论；
（2）先计算出CE＝2，根据垂径定理得到BE＝CE＝2，接着利用勾股定理计算出AB，然后计算AE的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵直线MN与⊙O相切于点D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中点，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝2，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．
15．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）由三角形的外角及已知条件∠ABD＝∠AEF，可找出并证明∠BAE＝∠DBF；
（2）连接AD，先证明△ABD∽△AEF，得出∠BDG＝∠AFB，再证明△BGD∽△AGF、△AGB∽△FGD，即可证明∠BFD＝∠AFB；
（3）作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′，作EH∥MD′交AC于点H，可证明△EFD≌△EAH，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，
证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，
∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
∴，
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，
∴D′F＝DF，D′M＝DM，
∵MF＝MF，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），
∴DF＝AH，
∵，D′F＝DF，
∴，
∵AF＝kDF，
∴，
∴．



【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及轴对称的特征等知识点，解题的关键是深入探究题中的隐含条件，正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
16．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）方法一：如图1，连接PB，PC，先证得△BPE是等边三角形，再证明△APE≌△CPB（SAS），得出AP＝CP，∠APE＝∠CPB，再证得△APC是等边三角形，即可得出结论；
方法二：如图1，延长PE交CD于点F，连接AF，根据平行四边形性质可证得四边形ADQE是菱形，进而得出△AEQ是等边三角形，再证明△AEP≌△AQC（SAS），即可得出答案；
（2）如图2，连接CF，证明△BCF≌△EAF（SAS），进而得出∠AFC＝90°，利用三角函数可得AC＝＝AF，再运用勾股定理即可；
（3）方法一：设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，分两种情况：①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，利用角平分线性质得出S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，S△CDG＝S△ACD＝a2，即可得出答案；
②如图4，当点E在AB延长线上时，同理可得出S△CDG＝•S△ACD＝a2，S△APE＝PH•AE＝a2，即可求出答案．
方法二：由△AEG∽△CDG，可得＝（）2，＝，①当点E在AB上时，得出＝（）2＝，再根据等高的三角形面积比等于底的比可得＝＝3，再证明△AED≌△EAP（SAS），可得S△AED＝S△EAP，即可得出答案；②如图4，当点E在AB延长线上时，与①同理可求出答案．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC；
方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
∴PE∥BC∥AD，
∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴四边形ADQE是菱形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，
∵四边形BCQE是平行四边形，
∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，
∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，
∴∠AEP＝∠AQC，
∴△AEP≌△AQC（SAS），
∴AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°，
∵sin∠ACF＝，
∴AC＝＝＝＝AF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BE＝AB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝2BE，
设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，
①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，
过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GM＝GN，
∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，
＝＝＝＝2，
∴S△CDG＝2S△ADG，
∴S△CDG＝S△ACD＝a2，
由（1）知PE∥BC，
∴∠AEH＝∠B＝60°，
∵∠H＝90°，
∴AH＝AE•sin60°＝a，
∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，
∴＝＝．
②如图4，当点E在AB延长线上时，
由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，
S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，
∴＝＝，
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴＝（）2，＝，
①当点E在AB上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝BE＝AB＝CD，
∴＝（）2＝，
又∵＝＝，
∴＝，即＝3，
∴＝＝3，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，
∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，
∴△AED≌△EAP（SAS），
∴S△AED＝S△EAP，
∴＝•＝•＝3×＝；
②如图4，当点E在AB延长线上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝AB＝CD，
由①知，AD＝AE＝CD，
∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵＝（）2＝（）2＝，
∴＝••＝××＝；
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．




【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形判定和性质，角平分线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．

考点卡片
1．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
8．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

13．三角形综合题
三角形综合题．
14．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
15．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．四边形综合题
四边形综合题．
18．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
19．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
22．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
23．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
24．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．　　（3）作已知线段的垂直平分线．　　（4）作已知角的角平分线．　　（5）过一点作已知直线的垂线．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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日期：2021/8/3 14:09:24；用户：招远2；邮箱：zybzy2@xyh.com；学号：40292108