2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的性质

这是一份2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的性质，共66页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的性质
一、选择题（共10小题）
1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是　　
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．（2020•河南）如图，在中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为　　

A． B．9 C．6 D．
3．（2019•河南）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
4．（2019•河南）如图，在四边形中，，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．若点是的中点，则的长为　　

A． B．4 C．3 D．
5．（2018•河南）如图，不能判定的是　　

A． B． C． D．
6．（2018•河南）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是　　

A．厉 B．害 C．了 D．我
7．（2017•河南）下列不是正三棱柱的表面展开图的是　　
A． B． C． D．
8．（2017•河南）如图，把半径为2的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
9．（2017•河南）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有　　

A． B． C． D．
10．（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为　　

A．， B． C． D．
二、填空题（共9小题）
11．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　　．

12．（2020•河南）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为 　　．

13．（2020•河南）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为　　．

14．（2018•河南）如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，△与关于所在直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接．当△为直角三角形时，的长为　　．

15．（2018•河南）如图，在正方形的右侧作等边三角形，连接，则的度数是　　．

16．（2018•河南）如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转得到△，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　．

17．（2018•河南）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数为　　．

18．（2018•河南）如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径作交于点；以点为圆心，的长为半径作交于点，则图中阴影部分的面积为　　．

19．（2017•河南）如图，在中，若，，则的度数为　　．

三、解答题（共10小题）
20．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．
简述理由如下：
由作图知，，，，所以，则，即射线是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线．射线即为的平分线．

任务：

（1）小明得出的依据是 　　（填序号）．
①②③④⑤
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．
21．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．

22．（2020•河南）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．
（1）如图1，当时，的形状为　　，连接，可求出的值为　　；
（2）当且时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

23．（2019•河南）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是上不与点，重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点是的中点，则的长为　　；
②取的中点，当的度数为　　时，四边形为菱形．

24．（2018•河南）（1）问题发现
如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：
①的值为　　；
②的度数为　　．
（2）类比探究
如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．

25．（2018•河南）如图，在中，，点在上，以线段的长为半径的与相切于点，分别交、于点、，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知的半径为3．
①若，则　　．
②当　　时，四边形为菱形．

26．（2018•河南）如图，是的直径，于点，连接交于点，过点作的切线交于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点．填空：
①当的度数为　　时，四边形为菱形；
②当的度数为　　时，四边形为正方形．

27．（2018•河南）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点；
②矩形的面积等于的值．

28．（2017•河南）如图，在等边三角形中，，点，分别是边，的中点，点，同时沿射线的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点，处，连接，，，．
（1）写出图1中的一对全等三角形；
（2）如图2所示，当点在线段延长线上时，画出示意图，判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等，并说明理由；
（3）在点运动的过程中，若是直角三角形，直接写出此时线段的长度．

29．（2017•河南）如图，在中，，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．


2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的性质
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是　　
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【答案】
【考点】轴对称图形；菱形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
【解答】解：．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关键．
2．（2020•河南）如图，在中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形的面积为　　

A． B．9 C．6 D．
【考点】：含30度角的直角三角形；：等腰三角形的性质
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力；66：运算能力
【分析】连接交于，根据已知条件得到垂直平分，求得，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：连接交于，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
四边形的面积，
故选：．

【点评】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2019•河南）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】：平行线的性质
【专题】551：线段、角、相交线与平行线
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
4．（2019•河南）如图，在四边形中，，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．若点是的中点，则的长为　　

A． B．4 C．3 D．
【答案】
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图基本作图
【专题】等腰三角形与直角三角形
【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出的长．
【解答】解：如图，连接，则垂直平分，
则．
，
．
在与中，
，
，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出与是解题的关键．
5．（2018•河南）如图，不能判定的是　　

A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的判定
【专题】线段、角、相交线与平行线
【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可．
【解答】解：由，根据同位角相等两直线平行，即可判断．
由，根据内错角相等两直线平行，即可判断．
由，根据同旁内角互补两直线平行，即可判断．
故，，不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2018•河南）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是　　

A．厉 B．害 C．了 D．我
【答案】
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【专题】常规题型
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
7．（2017•河南）下列不是正三棱柱的表面展开图的是　　
A． B． C． D．
【考点】：几何体的展开图
【专题】28：操作型
【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：、、中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故不能围成三棱柱．
故选：．
【点评】本题考查几何体的展开图，记住棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
8．（2017•河南）如图，把半径为2的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：垂径定理；：扇形面积的计算
【专题】：与圆有关的计算
【分析】作于点，连接，，，求出，得到，进而求得，再利用阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：作于，连接、、，
，，
，，
，
同理，
，
阴影部分的面积，
故选：．

【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识，解题的关键是确定．
9．（2017•河南）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有　　

A． B． C． D．
【考点】：平行四边形的性质；：菱形的判定
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
【解答】解：、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
、正确．可以证明平行四边形的邻边相等，即可判定是菱形．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
10．（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为　　

A．， B． C． D．
【答案】
【考点】坐标与图形性质；正方形的性质；勾股定理
【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（共9小题）
11．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　　．

【考点】弧长的计算
【专题】与圆有关的计算；推理能力
【分析】如图，圆心为，连接，，，．利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，圆心为，连接，，，．

，，
的长．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．
12．（2020•河南）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为 　1　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力
【分析】方法一：连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接并延长交于，连接，

四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
；
方法二：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．（2020•河南）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为　　．

【考点】：轴对称最短路线问题；：弧长的计算
【专题】66：运算能力；69：应用意识；558：平移、旋转与对称；：与圆有关的计算；554：等腰三角形与直角三角形
【分析】利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
14．（2018•河南）如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，△与关于所在直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接．当△为直角三角形时，的长为　或4　．

【考点】三角形中位线定理；勾股定理；轴对称的性质
【专题】分类讨论；推理填空题
【分析】当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得的长；
②当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．
【解答】解：当△为直角三角形时，存在两种情况：
①当时，如图1，
△与关于所在直线对称，
，，
点，分别为，的中点，
、是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
△中，是斜边的中点，
，
由勾股定理得：，
；
②当时，如图2，
，
，
△与关于所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，的长为或4；
故答案为：或4；


【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
15．（2018•河南）如图，在正方形的右侧作等边三角形，连接，则的度数是　　．

【考点】：正方形的性质；：等边三角形的性质
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形
【分析】由正方形和等边三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，即可得出的度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，求出的度数是解题的关键．
16．（2018•河南）如图，在中，，，将绕的中点逆时针旋转得到△，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　．

【考点】：等腰直角三角形；：旋转的性质；：扇形面积的计算
【专题】559：圆的有关概念及性质
【分析】先利用勾股定理求出，，再根据，计算即可．
【解答】解：连接，．
绕的中点逆时针旋转得到△，此时点在斜边上，，
，
，
．
故答案为．

【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2018•河南）如图，直线，相交于点，于点，，则的度数为　　．

【考点】：对顶角、邻补角；：垂线
【专题】1：常规题型
【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
【解答】解：直线，相交于点，于点，
，
，
，
则的度数为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．
18．（2018•河南）如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径作交于点；以点为圆心，的长为半径作交于点，则图中阴影部分的面积为　　．

【考点】：扇形面积的计算；：矩形的性质
【专题】：与圆有关的计算
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接、，
由题意得．，
由勾股定理得，，
，
，
，
则图中阴影部分的面积扇形的面积的面积扇形的面积

，
故答案为：．

【点评】本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：是解题的关键．
19．（2017•河南）如图，在中，若，，则的度数为　　．

【考点】：平行四边形的性质
【专题】555：多边形与平行四边形
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再利用平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共10小题）
20．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）分别作线段，的垂直平分线，，交点为，垂足分别为点，；（3）作射线，射线即为的平分线．
简述理由如下：
由作图知，，，，所以，则，即射线是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线，上截取，（点，不重合）；（2）连接，，交点为；（3）作射线．射线即为的平分线．

任务：

（1）小明得出的依据是 　⑤　（填序号）．
①②③④⑤
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）⑤；
（2）射线是的平分线，理由见解答；
（3）2或．
【考点】三角形综合题
【专题】几何综合题；应用意识
【分析】（1）由作图得，，，，可知的依据；
（2）由作图得，，，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明、、，从而得到，所以是的平分线；
（3）连接，由已知条件可证明，从而得，再过点作的垂线构造含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出的长．
【解答】解：（1）如图1，由作图得，，，垂直平分，垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：⑤．
（2）射线是的平分线，理由如下：
如图2，，，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，即，
射线是的平分线．
（3）如图3，，连接，作，则，
由（2）得，平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
由，得，解得，
，
，
；
如图4，，连接，作，则，
同理可得，，，，，
，
，
，
．
综上所述，的长为2或．




【点评】此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，解第（3）题需作辅助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论，求出所有符合条件的值．
21．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” ，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【专题】推理能力
【分析】（1）连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
（2）作出相关辅助线，构造相似三角形与，利用相似三角形的性质求得，，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图①，

连接，延长与圆交于点，则，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：如图②所示，

连接，延长与圆交于点，连接，过点作于点，
则有：，
由（1）可知，
，
，即，解得，，
，
在中，，
为圆的直径，
，
，
故长为．
【点评】本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
22．（2020•河南）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．
（1）如图1，当时，的形状为　等腰直角三角形　，连接，可求出的值为　　；
（2）当且时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

【考点】：四边形综合题
【专题】66：运算能力；：图形的相似；152：几何综合题；67：推理能力；556：矩形 菱形 正方形
【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得是等边三角形，可得出是等腰直角三角形．证明，得出．
（2）①得出，则是等腰直角三角形，得出，证明△，由相似三角形的性质可得出．
②分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，

绕点逆时针旋转至，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
四边形是正方形，
，
，
同理，
，
，，
，
，
．
故答案为：等腰直角三角形，．
（2）①两结论仍然成立．
证明：连接，

，，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
即，
△，
．
②或1．
如图3，若为平行四边形的对角线，
点在以为圆心，为半径的圆上，取的中点．连接交于点，
过点作交的延长线于点，

由（1）可知△是等腰直角三角形，
，
由（2）①可知，且．
．
若为平行四边形的一边，如图4，

点与点重合，
．
综合以上可得或1．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2019•河南）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是上不与点，重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）填空：
①若，且点是的中点，则的长为　　；
②取的中点，当的度数为　　时，四边形为菱形．

【考点】：圆的综合题
【专题】152：几何综合题；11：计算题；14：证明题
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证；
（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得．
【解答】解：（1）证明：如图1，，，

是的直径，
，






；
（2）①如图2，过作于，
点是的中点，

，

，
，即
，
，即，

故答案为．
②连接，，
点是的中点，
，



四边形为菱形，


．
故答案为：



【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
24．（2018•河南）（1）问题发现
如图1，在和中，，，，连接，交于点．填空：
①的值为　1　；
②的度数为　　．
（2）类比探究
如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．

【考点】三角形综合题；旋转的性质
【专题】几何综合题
【分析】（1）①证明，得，比值为1；
②由，得，根据三角形的内角和定理得：；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由全等三角形的性质得的度数；
（3）正确画图形，当点与点重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：，则，，可得的长．
【解答】解：（1）问题发现
①如图1，，
，
，，
，
，
，
②，
，
，
，
在中，，
故答案为：①1；②；
（2）类比探究
如图2，，，理由是：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
在中，；
（3）拓展延伸
①点与点重合时，如图3，同理得：，
，，
设，则，
中，，，
，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
②点与点重合时，如图4，同理得：，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，

，
，
，，
；
综上所述，的长为或．


【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
25．（2018•河南）如图，在中，，点在上，以线段的长为半径的与相切于点，分别交、于点、，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知的半径为3．
①若，则　　．
②当　　时，四边形为菱形．

【考点】：圆的综合题
【专题】15：综合题
【分析】（1）由与相切于点推出为，证明，推出，由三角形外角的性质即可推出结论；
（2）①利用勾股定理求出的长，再利用与相似，即可求出的长；
②连接，，将四边形为菱形作为条件，求出的长，再利用三角函数求出的长，进一步得到的长，再利用与相似即可求出的长．
【解答】（1）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

（2）解：①在中，
，，
，
由（1）知，，
，
，
即，
，
故答案为：；

（3）如下图，连接，，

当四边形为菱形时，
，
，
为等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
由（2）知，，
，
即，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的性质与菱形的性质．
26．（2018•河南）如图，是的直径，于点，连接交于点，过点作的切线交于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点．填空：
①当的度数为　　时，四边形为菱形；
②当的度数为　　时，四边形为正方形．

【考点】：菱形的判定与性质；：正方形的判定；：切线的性质
【专题】14：证明题
【分析】（1）连接，如图，利用切线的性质得，再利用等腰三角形和互余证明，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当时，，证明和都为等边三角形，从而得到，则可判断四边形为菱形；
②当时，，利用三角形内角和计算出，利用对称得，则，接着证明得到，从而证明四边形为矩形，然后进一步证明四边形为正方形．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为切线，
，
，即，
，
，
而，
，
而，
，
，
；
（2）解：①当时，，
而为直径，
，
，
，
而，
为等边三角形，
，
同理可得，
利用对称得，
，
为等边三角形，
，
，
四边形为菱形；
②当时，，
而，
，
，
，
，
利用对称得，
，
易得，
，
四边形为矩形，
而，
四边形为正方形．
故答案为，．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．
27．（2018•河南）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点；
②矩形的面积等于的值．

【考点】：矩形的判定与性质；：作图应用与设计作图；：反比例函数图象上点的坐标特征；：反比例函数系数的几何意义；：待定系数法求反比例函数解析式
【专题】1：常规题型
【分析】（1）将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过格点，
，
反比例函数的解析式为；

（2）如图所示：
矩形、矩形即为所求作的图形．

【点评】本题考查了作图应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
28．（2017•河南）如图，在等边三角形中，，点，分别是边，的中点，点，同时沿射线的方向以相同的速度运动，某一时刻分别运动到点，处，连接，，，．
（1）写出图1中的一对全等三角形；
（2）如图2所示，当点在线段延长线上时，画出示意图，判断（1）中所写的一对三角形是否仍然全等，并说明理由；
（3）在点运动的过程中，若是直角三角形，直接写出此时线段的长度．

【考点】：三角形综合题
【专题】552：三角形
【分析】（1）根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定解答即可；
（3）根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）全等三角形有：；；；
（2）全等，以为例，理由如下：
为等边三角形，
，，
点，分别为，的中点，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
；
（3）当是直角三角形时，当时，；
当时，，
故综上所述，的值为或．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
29．（2017•河南）如图，在中，，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【考点】：等腰三角形的性质；：切线的性质
【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据切线的性质得出，求出，根据角平分线性质得出即可；
（2）求出，，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，，
切于，
，
，
，，
，
，
，
，，
；

（2）解：，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
3．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
5．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
8．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
9．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
14．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
15．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

19．三角形综合题
三角形综合题．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
22．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

23．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

26．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
27．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
28．四边形综合题
四边形综合题．
29．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
30．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
31．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
32．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
33．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
34．圆的综合题
圆的综合题．
35．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．　　（3）作已知线段的垂直平分线．　　（4）作已知角的角平分线．　　（5）过一点作已知直线的垂线．
36．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
37．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
38．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
39．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
40．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
41．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．