2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

这是一份2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化，共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化
一、选择题（共8小题）
1．（2021•河南）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到△，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，
2．（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是　　

A． B． C． D．
3．（2020•河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是　　
A． B． C． D．
4．（2019•河南）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点的坐标为　　

A． B． C． D．
5．（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是　　

A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
6．（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是　　

A．图①的主视图和图②的主视图相同
B．图①的主视图与图②的左视图相同
C．图①的左视图与图②的左视图相同
D．图①的俯视图与图②的俯视图相同
7．（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于，，三点，则等于　　

A． B． C． D．
8．（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是　　

A． B．
C． D．
二、填空题（共6小题）
9．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 　　．

10．（2019•河南）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为　　．

11．（2018•河南）如图，在矩形中，点为的中点，点为射线上一动点，△与关于所在直线对称，连接，分别交、于点、，，．若与相似，则的长为　　．

12．（2017•河南）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若△为直角三角形，则的长为　　．

13．（2017•河南）如图，在等边三角形中，，点为边的中点，点为边上的任意一点（不与点，重合），若点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上，则的长为　　．

14．（2017•河南）如图，在中，，，为的中点，点为上一点，若四边形为正方形（其中点，分别在，上），则的面积为　　．

三、解答题（共10小题）
15．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，．

16．（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为．
（1）求观星台最高点距离地面的高度（结果精确到．参考数据：，，，；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
17．（2019•河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

18．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像在高的小山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求炎帝塑像的高度．
（精确到．参考数据：，，，

19．（2018•河南）探究
（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、
填空：
①线段、的数量关系为　　．
②线段、的位置关系为　　．
推广：
（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

20．（2018•河南）2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长约，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，，请计算舰岛的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，

21．（2018•河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上，两点间的距离为．低杠上点到直线的距离的长为，高杠上点到直线的距离的长为，已知低杠的支架与直线的夹角为，高杠的支架与直线的夹角为．求高、低杠间的水平距离的长．（结果精确到，参考数据，，，，，

22．（2017•河南）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

23．（2017•河南）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为，的倾斜角为，，支撑角钢，与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点，到地面的垂直距离相同），均为，点到地面的垂直距离为，求支撑角钢和的长度各是多少（结果保留根号）．

24．（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船，此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向，已知船的航速为30海里小时，船的航速为25海里小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，


2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021•河南）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到△，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】坐标与图形性质；旋转的性质；平行四边形的性质
【专题】运算能力；多边形与平行四边形
【分析】延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，利用点的坐标可求得线段，，的长，由题意：△，可得对应部分相等；利用，平分，可得△为等腰三角形，可得，；利用，得到比例式可求线段，则点坐标可得．
【解答】解：延长交轴于点，延长，由题意的延长线经过点，如图，

，
，，
．
由题意：△，
，，，，．
则，平分，
△为等腰三角形．
，．
，，
．
．
．
．
，．
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
2．（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是　　

A． B． C． D．
【答案】
【考点】简单组合体的三视图
【专题】投影与视图；空间观念
【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的．
故选：．
【点评】本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象能力．
3．（2020•河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】简单几何体的三视图
【专题】投影与视图；几何直观
【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
【解答】解：、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；
、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；
、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；
、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键．
4．（2019•河南）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第70次旋转结束时，点的坐标为　　

A． B． C． D．
【考点】：规律型：点的坐标；：坐标与图形变化旋转
【专题】558：平移、旋转与对称
【分析】先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第70次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转2次，每次旋转，此时旋转前后的点关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点的坐标．
【解答】解：，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转2次，每次旋转，
点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
5．（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是　　

A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】
【考点】平移的性质；简单组合体的三视图
【专题】投影与视图
【分析】根据三视图解答即可．
【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：．
【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6．（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是　　

A．图①的主视图和图②的主视图相同
B．图①的主视图与图②的左视图相同
C．图①的左视图与图②的左视图相同
D．图①的俯视图与图②的俯视图相同
【答案】
【考点】简单组合体的三视图；平移的性质
【专题】投影与视图
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图①、图②的三视图即可．
【解答】解：找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形，
可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同．
故选：．
【点评】本题主要是从比较图①、图②来考查物体的三视图，难度一般．
7．（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于，，三点，则等于　　

A． B． C． D．
【考点】：平行线分线段成比例
【专题】551：线段、角、相交线与平行线
【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出，
【解答】解：如图所示：过点作平行线的垂线，交点分别为，，

可得：，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造是解题关键．
8．（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是　　

A． B．
C． D．
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．
【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，
不符合，
故选：．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大．
二、填空题（共6小题）
9．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 　 或　．

【答案】 或．
【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形
【专题】操作型；等腰三角形与直角三角形；运算能力
【分析】分两种情形解答：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：△△，则，；垂直平分线段；利用，可求得，则，解直角三角形可求线段；②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：△△，则，，；在△中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点，如图，

由题意：△△，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
，
．
．
在△中，
，
，
．
②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图，

由题意：△△，；
则，．
，，
，
．
综上，线段的长为： 或．
故答案为： 或．
【点评】本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论．
10．（2019•河南）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为　或　．

【考点】：翻折变换（折叠问题）；：矩形的性质
【专题】558：平移、旋转与对称
【分析】分两种情况：①点落在边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出的值；②点落在边上，证明△，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．
【解答】解：分两种情况：
①当点落在边上时，如图1．
四边形是矩形，
，
将沿折叠，点的对应点落在边上，
，
，
，
；
②当点落在边上时，如图2．
四边形是矩形，
，．
将沿折叠，点的对应点落在边上，
，，，
，．
在与△中，
，
△，
，即，
解得，（舍去）．
综上，所求的值为或．
故答案为或．


【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
11．（2018•河南）如图，在矩形中，点为的中点，点为射线上一动点，△与关于所在直线对称，连接，分别交、于点、，，．若与相似，则的长为　1或3　．

【考点】矩形的性质；相似三角形的性质；轴对称的性质
【专题】矩形 菱形 正方形
【分析】分两种情形①当时，．②当时，，分别求解．
【解答】解：①当时，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
②当时，，
可得，
故答案为1或3．

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2017•河南）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若△为直角三角形，则的长为　或1　．

【考点】：等腰直角三角形；：翻折变换（折叠问题）
【分析】①如图1，当，与重合，是的中点，于是得到结论；②如图2，当，推出是等腰直角三角形，得到，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当，与重合，是的中点，
；
②如图2，当，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
沿所在的直线折叠，使点的对应点，
，
，
，
，
，
综上所述，若△为直角三角形，则的长为或1，
故答案为：或1．


【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
13．（2017•河南）如图，在等边三角形中，，点为边的中点，点为边上的任意一点（不与点，重合），若点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上，则的长为　或　．

【考点】：轴对称的性质
【专题】558：平移、旋转与对称
【分析】如图1，当点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，于是得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，如图2，当点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边，上时，则，四边形是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论．
【解答】解：如图1，当点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边上时，
则，，
是等边三角形，
，，
点为边的中点，
，
，
如图2，当点关于直线的对称点恰好落在等边三角形的边，上时，
则，四边形是菱形，
，点为边的中点，
，
故答案为：或．

【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
14．（2017•河南）如图，在中，，，为的中点，点为上一点，若四边形为正方形（其中点，分别在，上），则的面积为　18　．

【考点】：正方形的性质；：相似三角形的判定与性质
【专题】556：矩形 菱形 正方形；：图形的相似
【分析】由题意可得：，，，即可证，可得，即，可求，即可求的面积．
【解答】解：四边形是正方形
，
点是中点








故答案为：18
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题（共10小题）
15．（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，．

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；推理能力；运算能力
【分析】根据，列出方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意可知：，
，
在中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
16．（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为．
（1）求观星台最高点距离地面的高度（结果精确到．参考数据：，，，；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识
【分析】（1）过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答】解：（1）过作于，延长交于，
则四边形，四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，即，
，
，
答：观星台最高点距离地面的高度约为；
（2） “景点简介”显示，观星台的高度为，
本次测量结果的误差为，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17．（2019•河南）在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　1　，直线与直线相交所成的较小角的度数是　　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值．

【考点】相似形综合题
【专题】几何综合题
【分析】（1）如图1中，延长交的延长线于，设交于点．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设交于点，交于点．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图中，当点在线段上时，延长交的延长线于．证明即可解决问题．
②如图中，当点在线段上时，同法可证：解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长交的延长线于，设交于点．

，
，
，，
，
，，
，
，
，直线与直线相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．

（2）如图2中，设交于点，交于点．

，
，
，
，
，，
，
，
直线与直线相交所成的较小角的度数为．


（3）如图中，当点在线段上时，延长交的延长线于．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，，
，
，设，则，，
．
解法二：在中，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，


如图中，当点在线段上时，同法可证：，设，则，，

，
．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像在高的小山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求炎帝塑像的高度．
（精确到．参考数据：，，，

【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【专题】：解直角三角形及其应用
【分析】由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：炎帝塑像的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
19．（2018•河南）探究
（1）如图①，在等腰直角三角形中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、
填空：
①线段、的数量关系为　　．
②线段、的位置关系为　　．
推广：
（2）如图②，在等腰三角形中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
（3）如图③，在等边三角形中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，连接、．当以、、为顶点的三角形与全等时，请直接写出的值．

【考点】几何变换综合题
【专题】几何综合题
【分析】（1）如图①中，只要证明，即可解决问题．
（2）结论不变．如图②中，只要证明，即可解决问题．
（3）分点在线段上，点在线段的延长线上时，两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图①中，

，，平分，
，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分线段，
．
故答案为，．

（2）结论：（1）中的结论仍然成立．
理由：如图②中，

，，平分，
，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分线段，
．

（3）如图③中，

当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
．
如图③中，当点在的延长线时，易证，．

如图③中，当时，也满足条件，此时，

综上所述，满足条件的的值为或或4．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（2018•河南）2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长约，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，，请计算舰岛的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，

【考点】：解直角三角形的应用
【专题】：解直角三角形及其应用
【分析】设．作于，则四边形是矩形．根据，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设．作于，则四边形是矩形．

，，，
，
，
解得：，
答：岛的高度为38米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，具体的关键性学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2018•河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上，两点间的距离为．低杠上点到直线的距离的长为，高杠上点到直线的距离的长为，已知低杠的支架与直线的夹角为，高杠的支架与直线的夹角为．求高、低杠间的水平距离的长．（结果精确到，参考数据，，，，，

【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题
【专题】1：常规题型
【分析】利用锐角三角函数，在和中，分别求出、的长．计算出．通过矩形得到的长．
【解答】解：在中，
，

在中，
，


，，
四边形是矩形，

答：高、低杠间的水平距离的长为．
【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．
22．（2017•河南）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

【考点】：几何变换综合题
【专题】15：综合题
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1、先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可．
【解答】解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，

（2）由旋转知，，
，，
，
，，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形，

（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．

方法2、由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，


【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大，是一道中考常考题．
23．（2017•河南）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为，的倾斜角为，，支撑角钢，与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点，到地面的垂直距离相同），均为，点到地面的垂直距离为，求支撑角钢和的长度各是多少（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】过作于，在中，求得，连接并延长与的延长线交于，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过作于，则，
在中，，
，
，
连接并延长与的延长线交于，则，
在中，，
，
在中，，
答：支撑角钢和的长度各是，．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
24．（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船，此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向，已知船的航速为30海里小时，船的航速为25海里小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，

【考点】：解直角三角形的应用方向角问题
【分析】如图作于．设，则，在中，根据，可得，求出，再求出、，分别求出、两船到的时间，即可解决问题．
【解答】解：如图作于．

在中，，
，设，则，
在中，
，
，
解得，
，
，
，
船到的时间小时，船到的时间小时，
船至少要等待0.94小时才能得到救援．
【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
4．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
5．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
6．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
8．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
10．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
11．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
12．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
13．几何变换综合题
几何变换综合题．
14．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
15．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
16．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
17．相似形综合题
相似形综合题．
18．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
19．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
20．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
21．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
22．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：
23．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
24．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．