_重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年重庆市开州区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的对称轴是(    )

A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线

4. 的值介于(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

5. 下列命题中，真命题是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 四条边相等的四边形是矩形
D. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

6. 小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

7. 已知一元二次方程的一个解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，点、分别是、上的中点，连接、，若，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，线段是的直径，弦，，则等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 函数与的图象如图所示，有以下结论：
    ；
    ；
    ；
    当时，．
    其中正确的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

11. 使得关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的一元二次方程有实数根的所有整数的值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 有个依次排列的整式：第项是，用第项加上得到，将乘以得到第项，再将第项加上得到，将乘以得到第项，，以此类推，下面四个结论中正确的个数为(    )
    方程的实数解为；；第项；当时，则的值为．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算：______．
14. 如图，在中，，将将绕点逆时针旋转得到，连接、，若，则的度数为______．

15. 如图所示，点与点是两个四分之一圆的圆心，且两个圆的半径分别为和，则图中阴影部分的面积是______．

16. 某小区为了优化环境，计划在小区内甲、乙两块面积相同的空地上种植矮牵牛、金盏菊和三色堇三种花卉．现有名工人参与种植，且每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积之比为：：已知每名工人固定种植一种花卉，所有工人花费天的时间完成了甲地的花卉种植．在乙地进行花卉种植时，为了加快乙地的种植进度，基于甲地的工人分配方案进行了调整，从种植金盏菊和三色堇的工人中分别抽调人种植矮牵牛，这样乙地花卉种植的天数比甲地少且恰好为整数，则乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 解下列方程：
    ；
    ．
18. 如图，在四边形中，且，连接．
    用尺规完成以下基本作图：作，使，与交于点保留作图痕迹，不写作法，不下结论
    若，求证：四边形为菱形．
    证明：，
    ______．
    ，
    ，．
    又，
    ______．
    ．
    ．
    ，
    ______．
    ，
    四边形是平行四边形．
    ______，
    四边形是菱形．

19. 化简下列各式：
    ．
20. 某校为了了解八、九年级男生立定跳远情况，现从八、九年级男生中各随机抽取了名学生进行了测试，这些学生的成绩记为厘米，对数据进行整理，将所得的数据分为组：组：；组：；组：；组：；组：学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
    
    八年级被抽取的男生的立定跳远成绩在这一组的数据是：
    九年级被抽取的男生的立定跳远成绩在这一组的数据是：
    八、九年级男生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______；
若该校八年级有男生人、九年级有男生人，估计这两个年级男生立定跳远成绩不低于的人数一共多少人；
根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的男生立定跳远成绩更优异，请说明理由．写出一条理由即可

21. 春节期间，某水果店购进了千克水蜜桃和千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，水蜜桃以每千克元的价格出售，苹果以每千克元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利元．
    求水蜜桃的进价是每千克多少元？
    第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克元的价格出售，售出了千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克元的基础上还降低了元，到了晚上关店时，还剩千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为元，求的值．
22. 已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
    求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
    根据函数图象，直接写出不等式的解集；
    若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．

23. 对任意一个三位数，如果其个位数上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称为“明亮数”现将的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，规定，例如是一个“明亮数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，所以．
    当时，______；
    一个三位数，当其百位上的数字比个位上的数字少时，______；
    若是的倍数，则称这样的为“幸运明亮数”，求出所有的“幸运明亮数”．
24. 如图，抛物线交轴于点和点，与轴交于点，连接．
    
    求抛物线的解析式；
    点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
    将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线的对称轴上的一点，是新抛物线一动点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
25. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
    如图，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度；
    如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
    如图，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数等于．
故选：．
根据相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．寻找轴对称图形的关键是寻找对称轴，整个图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能完全重合；寻找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，整个图形绕对称中心旋转度后能与自身完全重合．
结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，顶点坐标为，
故选：．
将二次函数的解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
先写出的范围，再写出的范围即可．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真，符合题意；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图中可以看出：上坡速度为：百米分，下坡速度为：百米分，
返回途中，上下坡的路程正好相反，所用时间为：分．
故选：．
根据图表可计算出上坡的速度以及下坡的速度．又已知返回途中的上、下坡的路程正好相反，故可计算出共用的时间．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，应先求出上坡速度和下坡速度，注意往返路程上下坡路程的转化．
 

7.【答案】 

【解析】解：把代入，得：
，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入得到的一次方程，然后解此一次方程即可．
本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是上的中点，
，
，
点是上的中点，
，
，
故选：．
根据三角形的中线的性质计算即可．
本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．
利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】
解：线段是的直径，弦，
，
，
，
．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：函数与轴无交点，
；
故错误；
当时，，
故错误；
当时，，
；
正确；
当时，二次函数值小于一次函数值，
，
．
故正确．
故选：．
由函数与轴无交点，可得；当时，；当时，；当时，二次函数值小于一次函数值，可得，继而可求得答案．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系．关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式组，得，
关于的不等式组有且只有个整数解，
，
解得，
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
为整数，
，，，，，
所有整数的值之和，
故选：．
解不等式组得到，由关于的一元二次方程有实数根，得到，于是得到结论．
本题主要考查了根的判别式，解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、不等式组的解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，用第项加上得到，将乘以得到第项，
，
，
将第项加上得到，将乘以得到第项，
，
，
，以此类推，
，，
，
解方程，得，，
方程的实数解为，，故结论错误；
，故结论正确；
，
第项，故结论正确；
，
，
，
当时，，故结论正确．
故正确的结论为：，一共个．
故选：．
根据题意可以得出规律，，，根据规律逐项求解判断即可．
本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较大．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质求出，，则可求出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
，，，
，
，
，


．
故答案为：．
如图，连接，
本题考查了扇形的面积、解直角三角形，解此题的关键是能正确运用扇形面积公式进行计算．
 

16.【答案】： 

【解析】解：设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为、、，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为人，人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为人、人、人，在乙地种植的天数比甲地少天，
根据题意得，
整理得，
，
、、都是正整数，且，，，
，，，
乙地种植金盏菊和三色堇的工人人数之比为：，
故答案为：：．
设每名工人每天种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的面积为、、，在甲地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为人，人，人，在乙地种植矮牵牛、金盏菊和三色堇的人数分别为人、人、人，在乙地种植的天数比甲地少天，根据甲乙两地的种植面积相等列出不定义方程，并求出其整数解，便可解决问题．
本题考查了方程的应用，关键是读懂题意，找出等量关系列出方程，正确求出不定解方程的整数解．
 

17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：如图，即为所求．

证明：，
．
，
，．
又，
．
．
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
故答案为：；；；．
作线段的垂直平分线，交于点，再作射线即可．
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法、平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

原式



． 

【解析】根据多项式乘多项式、完全平方公式计算，再去掉括号、合并同类项即可得；
根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查整式和分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握掌握整式和分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】 

【解析】解：由中的直方图和中的数据可得，，
故答案为：；
由题意可得，



人，
答：估计这两个年级男生立定跳远成绩不低于的人数一共人；
九年级的男生立定跳远成绩更优异，
理由：九年级的男生立定跳远成绩的平均数高于八年级的男生立定跳远成绩，故年级的男生立定跳远成绩更优异．
根据中的直方图和中的数据可以计算出的值；
根据题目中的数据，可以得到算式，然后计算即可得到这两个年级男生立定跳远成绩不低于的人数一共多少人；
先判断，然后根据题目中的数据说明理由即可，本题答案不唯一，可以从平均数、中位数或者众数进行说明．
本题考查中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用统计的知识解答．
 

21.【答案】解：设水蜜桃的进价是每千克元，则苹果的进价是每千克元，
依题意得：，
解得：．
答：水蜜桃的进价是每千克元；
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值是． 

【解析】设水蜜桃的进价是每千克元，则苹果的进价是每千克元，利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出水蜜桃的进价；
利用销售利润销售单价销售数量进货成本，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的图像过点，，
，；
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不不等式的解集为：；
由图知中边上的高为，，
． 

【解析】根据二次函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
根据对称求出点坐标，根据点、点和点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系等，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】  或或 

【解析】解：，
，
，
故答案为：；
设这个三位数的百位数字是，则个位数字是，十位数字是，
这个三位数是，
，
，
，
，
或或，
故答案为：或或；
设这个“明亮数”的百位数字是，个位数字是，则十位数字是，
，，
，
是的倍数，
是的倍数，
，，
，
的值为，，，，，
或或或或或，
所有的“幸运明亮数”为，，，，，．
根据定义直接求解即可；
设这个三位数的百位数字是，则个位数字是，十位数字是，则，再由，求出，即可求解；
设这个“明亮数”的百位数字是，个位数字是，则十位数字是，则，再由题意可得是的倍数，根据，，求出，从而确定的值为，，，，，再分别列举出满足条件的、的值即可求解．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握整式的加减运算法则，弄清定义，根据数的特点能够列举出符合条件的值是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点和点代入，
得，
解得，
；
如图，过点作于，交于，

抛物线的图象与轴的交点为点，
点，
点，
直线的解析式为：，
设点，
点，
，
的面积，
当时，的面积的最大值为，
点；
将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
，
新抛物线的对称轴为直线，
设点，点，
当为边时，若四边形是平行四边形，
，，
，，
点；
若四边形是平行四边形，
，，
，，
点；
若为对角线时，则四边形是平行四边形，
，，
，，
点；
综上所述：点的坐标为或或． 

【解析】将点和点代入，即可求解；
设点，求出的长，由二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，并能分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
，，
，
点为中点，
，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
；
证明：如图，过点作交于点，

，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
≌，
，，
，
又，，
≌，
，
，
；
解：如图，在上截取，连接，

平分，
，
又，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，
如图，

，，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
折叠，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，，由“”可得≌，可得，可得结论；
先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．