重庆市开州区开州区德阳初级中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份重庆市开州区开州区德阳初级中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题10个小题，每题4分，共40分）下面每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卷上将各题的正确答案标号．
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．x=0B．x=-1C．x1=0，x2=-1D．x1=0，x2=1
3．点P的坐标是，则点P关于原点对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．98B．100C．109D．110
7．某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若的周长是17，，则等边的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．对于多项式，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行“加负运算”，得到：．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）
①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
11．已知二次函数，则其图像的开口向 ．（填“上”或“下”）
12．已知m是一元二次方程一个根，则的值为 ．
13．如图，将绕点O按逆时针方向旋转55°后得到，若，则的度数是 ．

14．二次函数和一次函数的图象，如图所示，则当时，x的取值范围是 ．

15．如图，为的弦，直径，交于点H，连接，若，的半径为2，则的长度为 ．
16．如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．

17．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
18．对于各个数位均不为0的三位数，将的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做的“强化数”，例如：，则的强化数字是25、52、23、32、53、35，的所有“强化数”之和与11的商记为，若， ；若和是两个三位数，它们都有“强化数”，，（，、、均为整数），若的值能被5整除，记，则的最小值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
19．计算：
(1)解方程：；
(2)化简：．
20．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．
(1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标；
(2)以点为旋转中心，画出把逆时针旋转90°得到的，并写出点的坐标；
(3)若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请确定旋转中心D的坐标以及旋转角度．
21．为进一步实现云端教学的增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用表示，共分为四个等级：A：，：，：，：），下面给出部分信息：
甲组学生的作业完成时长在等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78
乙组30名学生的作业完成时长中，，两等级的数据个数相同，A，两等级的全部数据为：55，58，
58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：______；______；______，并补全条形统计图；
(2)根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？
22．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
23．如图，在矩形中，，，点E和F分别为与边的中点，动点P从B点出发，沿折线运动，当到达D点时停止运动．设P点的运动路程为x，连接、，设的面积为y．

(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，当函数y满足，写出x的取值范围．
24．今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为米．
(1)求阻燃带的长度（精确到个位）；
(2)若救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，受热浪影响，火源头到来前分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带？（参考数据：，）
25．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；
(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在中，，把边绕点旋转到．
(1)如图1，连接，使，，求到的距离；
(2)如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
(3)如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
参考答案与解析
1．C
【分析】将图形旋转后，能够与原图重合，这样的图形即为中心对称图形．
【详解】解： 旋转后能够与原图重合，故为中心对称图形，其他图形旋转后均不能与自身重合．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解决本题的关键是正确理解中心对称图形的概念．
2．C
【分析】此题考查了学生用降次的方法解一元二次方程的思想，此题可以化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得．
【详解】解：∵x（x+1）=0
∴x=0，x+1=0
∴x1=0，x2=-1．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，要抓住降次的思想．
3．B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴关于原点的对称点的坐标为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标点的变化特点．
4．B
【分析】由抛物线顶点式直接求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．B
【分析】根据同弧上圆心角与圆周角的关系，求得∠A=60°，利用圆的内接四边形对角互补求解即可.
【详解】∵∠BOD=120°，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠C=180°，
∴∠C=120°，
故选B.
【点睛】本题考查了圆心角和圆周角关系定理，圆内接四边形的性质，熟记两个定理是解题的关键.
6．C
【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为，把10代入计算，进而得出答案．
【详解】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为，
所以第9个图形共有小正方形的个数为：10×10+9=109．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
7．D
【分析】设2、3月份销售量的月增长率为x，则2月份的利润为，3月份的利润为，再根据一季度共销售万件，即可列出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设2、3月份销售量的月增长率为x，则2月份的利润为，3月份的利润为，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解： A．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合；
B．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：，符合题意；
C．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合；
D．由二次函数图像可知，，由一次函数图像可知：矛盾，故不符合．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
9．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等，再利用等量代换求出等边三角形的边长，利用面积公式求解即可．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转，
∴，，，
∴为等边三角形．
∴，
∵的周长是17，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵是等边三角形，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】①乙同学第一次对a和d，第二次对a和e进行加负运算，可得①正确；若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：，可得其相反的代数式为，则甲同学对c、d、e进行加负运算，可得与之相反的代数式，同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，可得②正确；若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；若固定改变b，乙同学可改变字母或或；固定改变c，乙同学可改变字母或；固定改变d，乙同学可改变字母，可得③错误，即可．
【详解】解：①乙同学第一次对a和d进行加负运算得
；
第二次对a和e进行加负运算得
，故①正确；
②若乙同学对a和ｂ进行加负运算得：
，
则其相反的代数式为，
∵甲同学对c、d、e进行加负运算得：，
同理乙同学可改变字母或或或或或或或或，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式，故②正确；
若固定改变a，乙同学可改变字母或或或；
若固定改变b，乙同学可改变字母或或；
固定改变c，乙同学可改变字母或；
固定改变d，乙同学可改变字母，
所以一共有4+3+2+1=10种，故③错误．
故选：C
【点睛】本题主要考察逻辑分析，注意甲乙同学可改变字母个数的不同是解题的关键．
11．上
【分析】根据二次项系数得出抛物线的开口方向．
【详解】，
∵，
∴该二次函数的图像开口向上，
故答案为上．
【点睛】此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
12．2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由m是一元二次方程一个根得，然后代入所给代数式求解即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2023．
13．
【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．或
【分析】根据函数图像在上方部分的x的取值范围即可解答．
【详解】解：由函数图像可得：的解集为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了函数图象与不等式的关系，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
15．##
【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而可得，是等腰直角三角形，据此求出，进而即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，，
，
故答案为：．
16．
【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：连接，交于点，如下图：

∵将沿着翻折到，
∴垂直平分
∴，
∵四边形为矩形
∴，，
∴为的中位线
∴
设，则
由勾股定理可得：
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
17．
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得m的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得m的范围；综上所述，求得m的范围．根据m为整数，求出m的值，最后求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，
解得：，
∵分式方程的解是整数，
∴或或或，
∵，
∴的值为，3，0，，，，
a为偶数，
∵分式要有意义，
∴，即，
∴，即，
∴符合条件的所有整数m的数有3，0，，，
∴符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验．
18． 12 ##
【分析】根据题目所给定义即可求出的结果；根据题意可知三位数是“强化数”，则，可得，由，，，得，根据的值能被5整除，可知，即，要求的最小值，则只需满足题意的取最小（越小），取最大（越大），再根据从大到小逐一判断是否符合题意即可求解．
【详解】解：，则的强化数字是32、23、31、13、21、12，
则，
设三位数是“强化数”，
则，
∵，（，、、均为整数），都有“强化数”，
∴，
∵，，，
∴，，则
又∵的值能被5整除，
∴，即
要求的最小值，则只需满足题意的取最小（越小），取最大（越大），
则当时，此时不符合题意；
当时，此时不符合题意；
当时，此时不符合题意；
当时，此时，即
当越小，则最小，则，，不符合题意；
，，不符合题意；
，，不符合题意；
，，符合题意；
即：最小为，最大为，
∴的最小值为．
【点睛】题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式的混合运算，按照解方程的方法和分式混合运算法计算即可．
（1）利用公式法求解即可
（2）先计算括号内减法、除法转化为乘法，再计算乘法即可．
【详解】（1）解：
∵，，
∴，
故，
则
（2）
20．(1)图见详解，
(2)图见详解，
(3)，
【分析】此题考查中心对称的性质及旋转的性质，
（1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形；
（2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形及对应点的坐标．
（3）连接对应点并做对应的垂直平分线即可求得旋转中心，再即可求得旋转角度．
【详解】（1）解：如图，
根据中心对称的性质可得点；
（2）如图，
点；
（3）旋转中心，旋转角度为．
21．(1)75；75；80；见解析
(2)乙；乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比大于乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比
(3)估计八年级共有480名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟
【分析】（1）根据中位数的定义、众数的定义求出a、b的值；求出乙组同学时长低于80分钟的百分比即可求出m；先求出甲组同学D等级人数，在补全条形统计图即可；
（2）根据平均数、中位数、众数、作业时间低于80分钟的百分率进行解答即可；
（3）用640乘以平均每日作业完成时长低于80分钟的百分比，估计出总量即可．
【详解】（1）解：根据条形统计图可知，甲组同学作业完成时长排在第15和第16的在C等级中，且排在第15和第16的都是75，
∴甲组同学的中位数；
乙组30名学生的作业完成时长中，A，两等级的总人数为18人，则B，D两等级的总人数为（人），
∵，两等级的数据个数相同，
∴，两等级的数据个数为，
∴，两等级的数据中出现次数最多的不可能超过6次，
∴乙组同学中出现次数最多的数据一定为75，
∴乙组同学的众数；
乙组同学中作业时长低于80分钟的人数为（人），
∴乙组同学中作业时长低于80分钟所占百分比为：；
甲组同学D等级人数为：（人），补全条形统计图，如图所示：
故答案为：75；75；80．
（2）解：乙组的学习效率更高；理由：乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比大于乙组同学作业完成时间低于80分钟的百分比．
（3）解：（人），
答：估计八年级共有480名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，中位数、众数，解题的关键是数形结合，熟练掌握众数、中位数的定义．
22．(1)A型设备每小时铺设的路面110米
(2)18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；
（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．
【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得
，
解得，
米，
所以A型设备每小时铺设的路面110米；
（2）根据题意得：，
解得，（舍去），
答：m的值是18．
【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
23．(1)
(2)函数图象见解析，该函数的一条性质为：函数的最大值为3
(3)
【分析】（1）分两种情况：当点在上运动时，当点在上运动时，结合梯形、三角形面积公式即可求解；
（2）结合（1）中解析式即可画出函数图象，然后根据图象得出函数的性质；
（3）求出时对应的x的值，然后观察图象找出时所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，点和分别为与边的中点，
∴，，，
设点的运动路程为，
当点在上运动时，即时，，
∴的面积
，
当点在上运动时，即时，如图，，

∴的面积
，
综上，；
（2）函数图象如图所示，

由图象可知：函数的最大值为3；
（3）当时，即或，
解得：或，
由图象可知：当函数满足，的取值范围为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确理解题意，利用梯形、三角形的面积公式列出函数关系式是解本题的关键．
24．(1)米
(2)能，计算见解析
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，依题意，，，，分别解，，根据，即可求解；
（2）分别求得火源头到达点的时间为小时，火源头到达点的时间为小时，救援队赶造阻燃带的时间为小时，加上分钟，进而比较即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
依题意，，，
在中，，
在中，
∴（米）
（2）解：由（1）可得米，米
火源头到达点的时间为：小时，
火源头到达点的时间为：小时，
救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，则救援队赶造阻燃带的时间为，
∵火源头到来前分钟无法工作，
∴允许的时间为小时，
∵，
∴救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
25．(1)
(2)当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为
(3)存在，、、、
【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；
（2）设点P的坐标为，即可由求得答案；
（3）分别从当，，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）设点P的坐标为
∵
∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为
（3）∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴
设点M的坐标为，则：
，，，
设的中点为Q，则点Q的坐标为即，
∴，
当时，则
∴
解得，
∴、；
当时，则，
∴
解得，
∴、；舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形
当AC为对角线时则有：
∴
解得，
∴
∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、、
【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作于点G，先求出的长，进而求出的长，再求出结果；
（2）延长至K，使,连接，可证得是平行四边形，从而证明，，推出，从而得到，进一步得到结论；
（3）可推出，点N在以为直径的圆上运动，即当点N在与圆的交点时，取最小，进而求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴到的距离为；
（2）证明：如图，延长至K，使,连接，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴,
又∵，
∵
∴，
∴
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴,
即,
∴；
（3）如图，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当点N在与圆的交点时，取最小，
∵，,
，
∴，
∴,
作于点M,
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．
甲、乙两组学生平均每日作业完成时长统计表
组名
平均数
中位数
众数
时长低于80分钟所占百分比
甲组
74．1
78
70%
乙组
74．1
73
甲组学生平均每日作业完成时长条形统计图