2022版高考数学大一轮复习作业本34《基本不等式及其应用》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本34《基本不等式及其应用》(含答案详解)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A.y=x＋eq \f(1,x) B.y=cs x＋eq \f(1,cs x)(0＜x＜eq \f(π,2))
C.y=eq \f(x2＋3,\r(x2＋2)) D.y=ex＋eq \f(4,ex)－2
设正实数a，b满足a＋b=1，则( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最大值4 B.eq \r(ab)有最小值eq \f(1,2)
C.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2) D.a2＋b2有最小值eq \f(\r(2),2)
已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy=8，则x＋2y的最小值是( )
A.3 B.4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
已知x，y∈(0，＋∞)，且lg2x＋lg2y=2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，则代数式eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A.24 B.25 C.26 D.27
设0A.a 已知x，y为正实数，且x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=5，则x＋y的最大值是( )
A.3 B.eq \f(7,2) C.4 D.eq \f(9,2)
已知f(x)=eq \f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在[eq \f(1,2),3]上的最小值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3) C.－1 D.0
已知a＋b=t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t=( )
A.2 B.4 C.2eq \r(2) D.2eq \r(5)
若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[－2,0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
不等式x2＋2x＜eq \f(a,b)＋eq \f(16b,a)对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A.(－2,0)
B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C.(－4,2)
D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)
设a＞0，b＞1，若a＋b=2，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b－1)的最小值为( )
A.3＋2eq \r(2) B.6 C.4eq \r(2) D.2eq \r(2)
二、填空题
已知实数x，y均大于零，且x＋2y=4，则lg2x＋lg2y的最大值为________.
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是 万元.
设x，y∈R，且xy≠0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为________.
已知x，y为正实数，则eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)的最小值为 .
\s 0 参考答案
答案为：D
解析：当x＜0时，y=x＋eq \f(1,x)≤－2，故A错误；因为0＜x＜eq \f(π,2)，所以0＜cs x＜1，
所以y=cs x＋eq \f(1,cs x)＞2，故B错误；因为y=eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))=eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2，
当且仅当x2＋2=1时取等号，此时x无解，故C错误；
因为ex＞0，所以y=ex＋eq \f(4,ex)－2≥2eq \r(ex·\f(4,ex))－2=2，
当且仅当ex=eq \f(4,ex)，即ex=2时等号成立，故选D.
答案为：C
解析：由于a>0，b>0，由基本不等式得1=a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a=b时，等号成立，
∴eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，答案为：B错误；∵eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，∴ab≤eq \f(1,4)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)=eq \f(a＋b,ab)=eq \f(1,ab)≥4，
因此eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为4，A错误；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=1－2ab≥1－eq \f(1,2)=eq \f(1,2)，D错误；
(eq \r(a)＋eq \r(b))2=a＋b＋2eq \r(ab)=1＋2eq \r(ab)≤1＋1=2，所以eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2).故选C.
答案为：B
解析：由题意得x＋2y=8－x·2y≥8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2，当且仅当x=2y时，等号成立，
整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，
又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.
答案为：D
解析：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=eq \f(x＋y,xy)≥eq \f(2\r(xy),xy)=eq \f(2,\r(xy))，当且仅当x=y时取等号.
∵lg2x＋lg2y=lg2(xy)=2，∴xy=4.∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥eq \f(2,\r(xy))=1.
答案为：B
解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，所以2a＋3b－1=0，
即2a＋3b=1，所以eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(3,b)))(2a＋3b)=4＋9＋eq \f(6b,a)＋eq \f(6a,b)≥13＋2eq \r(\f(6b,a)·\f(6a,b))=25，
当且仅当eq \f(6b,a)=eq \f(6a,b)，即a=b=eq \f(1,5)时取等号，所以eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为25.故选B.
答案为：B
解析：因为0b－eq \f(a＋b,2)=eq \f(b－a,2)＞0，故b>eq \f(a＋b,2)；由基本不等式知eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab).
综上所述，a 答案为：C.
解析：∵x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)=5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]=(x＋y)·(eq \f(1,x)＋eq \f(1,y))=2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2=4，
∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4，
∴x＋y的最大值是4，当且仅当x=y=2时取得.
答案为：D.
解析：f(x)=eq \f(x2－2x＋1,x)=x＋eq \f(1,x)－2≥2－2=0，当且仅当x=eq \f(1,x)，即x=1时取等号.
又1∈[eq \f(1,2),3]，所以f(x)在[eq \f(1,2),3]上的最小值是0.
答案为：C.
解析：∵a>0，b>0，∴ab≤eq \f(a＋b2,4)=eq \f(t2,4)，当且仅当a=b=eq \f(t,2)时取等号.
∵ab的最大值为2，∴eq \f(t2,4)=2，t2=8.又t=a＋b>0，∴t=eq \r(8)=2eq \r(2).
答案为：D.
解析：∵1=2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)=2eq \r(2x＋y)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当2x＝2y＝\f(1,2)，即x＝y＝－1时等号成立))，
∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2.
答案为：C
解析：不等式x2＋2x＜eq \f(a,b)＋eq \f(16b,a)对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，
等价于x2＋2x＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(16b,a)))min，由于eq \f(a,b)＋eq \f(16b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(16b,a))=8
(当且仅当a=4b时等号成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故选C.
答案为：A
解析：∵a＋b=2，∴a＋b－1=1，∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b－1)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b－1)))(a＋b－1)
=2＋eq \f(2b－1,a)＋eq \f(a,b－1)＋1≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(2b－1,a)=eq \f(a,b－1)，
即a=2－eq \r(2)，b=eq \r(2)时取等号.
答案为：1
解析：因为lg2x＋lg2y=lg2xy=lg2eq \f(2xy,2)=lg2(2xy)－lg22=lg2(2xy)－1
≤lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2y,2)))2－1=2－1=1，
当且仅当x=2y=2，即x=2，y=1时等号成立，所以lg2x＋lg2y的最大值为1.
答案为：8.
解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)=18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，而x>0，
故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)=8，当且仅当x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元.
答案为： 9
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))=5＋eq \f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2eq \r(\f(1,x2y2)·4x2y2)=9，
当且仅当x2y2=eq \f(1,2)时等号成立.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为9.
答案为：eq \f(5,2).
解析：∵x，y为正实数，则eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)=eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(y,x)＋1=eq \f(2,1＋\f(2y,x))＋eq \f(y,x)＋1，
令t=eq \f(y,x)，则t>0，∴eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)=eq \f(2,1＋2t)＋t＋1
=eq \f(1,\f(1,2)＋t)＋t＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(1,\f(1,2)＋t)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2))))＋eq \f(1,2)=eq \f(5,2)，当且仅当t=eq \f(1,2)时取等号.
∴eq \f(2x,x＋2y)＋eq \f(x＋y,x)的最小值为eq \f(5,2).