江苏省无锡市普通高中2020-2021学年高二上学期期末数学试题（含答案）

江苏省无锡市普通高中2020-2021学年高二上学期期末

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1. 命题“”的否定是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

2. 已知数列是等差数列，若，，则等于（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 若，都是正整数，则成立的充要条件是（　　）

A.  B.

C. 且 D. ，至少有一个为

【答案】D

4. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（　　）

A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m

【答案】C

5. 在三棱锥P-ABC中，已知是PC的中点，且，则（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

6. 若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.令，数列的前n项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

8. 若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，且，则的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 下列命题正确的是（　　）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若则

【答案】CD

10. 如图，已知为正方体，E，F分别是BC，的中点，则（　　）

A.  B.

C. 向量与向量的夹角是 D. 异面直线与所成的角为

【答案】ABD

11. 某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始，每年年底上缴资金t万元（），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元.则（　　）

A.  B.

C.  D. 当时，

【答案】BC

12. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　）

A. 曲线是黄金双曲线

B. 如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距）

C. 如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一

D. 过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线

【答案】BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13. 已知空间向量，，若，则____________.

【答案】

14. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为60，房屋正面每平方米的造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1000元，屋顶的造价为6000元.如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为___________m时，能使房屋的总造价最低（结果用根式表示）.

【答案】

15. 已知点在抛物线上，过其焦点F且倾斜角为直线l与C交于M，N两点，则的面积为______________.

【答案】

16. 将正奇数按如图所示的规律排列：

………………………

则在第_____________行，从左向右第_____________个数.

【答案】    (1).     (2).

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设，命题，命题.

（1）若p为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）

18. 已知函数

（1）解关于x的不等式；

（2）若对，都有成立，求a的最大值.

【答案】（1）见详解；（2）.

19. 已知是各项均为正数的等比数列，若，的等比中项是，且，数列的前n项和满足，且.

（1）求的通项公式；

（2）求证：是等差数列，并求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）证明见详解；.

20. 已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，.

（1）求双曲线的方程；

（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为.

21. 如图，已知ABCD为正方形，平面ABCD，且，且，.

（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；

（2）设M为FG中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当平面BEF时，求线段MN的最小值.

【答案】（1），（2）

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率为且过定点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示）.

①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；

②若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点，记M，N的横坐标为m，n，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）①不存在，证明见解析；②定值等于，证明见解析.