江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末数学试题（含答案）

2020-2021学年第一学期期末调研考试

高二数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“，”的否定是（    ）．

A．，                   B．，

C．，                   D．，

2．函数，的最小值是（    ）．

A．4                 B．6                  C．8                 D．16

3．“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件                           B．必要不充分条件

C．充要条件                                 D．既不充分也不必要条件

4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（    ）．

A．             B．              C．            D．

5．已知空间三点，，，向量，且向量分别与，垂直，则（    ）．

A．4                 B．               C．2                D．

6．某港口在一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：；）的变化近似满足关系式，则17点时潮水起落的速度是（    ）．

A．           B．          C．        D．

7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（    ）．

A．              B．               C．              D．

8．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）．

A．             B．            C．            D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．已知曲线，则下列说法正确的是（    ）．

A．若，，则曲线是椭圆

B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆

C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线

D．曲线可以是抛物线

10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ）．

A．的最小值是                   B．的最小值是

C．的最小值是                     D．的最小值是

11．据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（    ）．

A．2006年底人类知识总量是               B．2009年底人类知识总量是

C．2019年底人类知识总量是              D．2020年底人类知识总量是

12．下列曲线中，与直线相切的是（    ）．

A．曲线                        B．曲线

C．曲线                      D．曲线

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．函数的最小值是________．

14．以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是________．

15．已知数列满足，且，则数列的前100项和为________．

16．在正方体中，，，，，，分别是，，，，，各棱的中点，则直线与平面所成角的大小为________；若，是六边形边上两个不同的动点，设直线与直线所成的最小角为，则的值为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．

问题：已知等差数列的前项和为，，________，若数列满足，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）已知，函数的单调递减区间，区间．

（1）求和的值；

（2）“”是“”的充分条件，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知直线与抛物线交于，两点．

（1）若直线的斜率为-1，且经过抛物线的焦点，求线段的长；

（2）若点为坐标原点，且，求证：直线过定点．

20．（本小题满分12分）在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求平面与平面所形成的锐二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，求面积的最大值．

22．（本小题满分12分）已知函数，．

（1）令，求函数的单调递增区间；

（2）当，时，求证：与函数，图象都相切的直线有两条．

高二数学试题参考答案及评分建议

1．D  2．B  3．B  4．A  5．D  6．B  7．A  8．C

9．BC  10．AC  11．BCD  12．ABD

13．    14．    15．    16．；（2分+3分）

17．解：（1）选择①，设公差为

由，得，所以，

解得，所以，          5分

又因为，所以，

所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以．          10分

（2）选择②，设公差为

因为，所以可得

又因为，所以，所以，所以．          5分

又因为，所以，

所以数列是以16为首项，2为公比的等比数列，

所以          10分

（3）选择③，设公差为

因为，可得，即，所以，

又因为，所以．所以．          5分

又因为，所以，

．          10分

18．解：（1）          2分

由，有，得

又的单调递减区间为，所以，．          6分

（2），有得．

又是的充分条件，可知，

有，得，故实数的取值范围为          12分

19．解：（1）抛物线为，所以焦点坐标为，直线斜率为-1，则直线方程为：，设，，由得：，          2分

可得          4分

由抛物线定义可得，所以          6分

（2）证明：设直线方程为：，设，，因为，所以．所以，由得：          8分

所以，；；所以，解得，或          10分

当时，直线过原点，不满足题意；当时，直线过点

故当时，直线过定点          12分

20．解：如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，∵，，，，，，．

（1）∵为的中点，∴，∴，，，          2分

设平面的一个法向量为，

由，可取，          4分

设直线与平面所成角为，，

∴直线与平面所成角的正弦值为          6分

（2），，，设平面的法向量为

则可得，，由，得：

，令，可得，，故，          9分

由（1）得平面的一个法向量为，，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．          12分

21．解：（1）由题意可得

解得：，，故椭圆的方程          3分

（2）由题意可得直线，斜率均存在

设的斜率为，斜率为，设，

直线的方程为，由得：

，则，

可得点的横坐标为，代入，得点的纵坐标为，

故点坐标为，          6分

则

将换为，得，          8分

故面积          10分

令，，故，

，当时，，故在单调递减，故，，所以面积的最大值          12分

22．解：（1）由

得          1分

若，，恒成立，为上的单调增函数．

若，时，恒成立，为上的单调增函数．

时，由，得和          3分

综上，时，的单调增区间为．

时，的单调增区间为和          4分

（2）记直线分别切，的图象于点，，

由，得的方程为，

即：．

由，得的方程为，即．

所以．（*）          6分

消去得（**）

令，则，．

由，解得．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且．由，．

下面验证存在两个不等的正数解：

取，，

故方程（**）在上存在唯一解；          8分

令，由于，故在上单调递减，

故当时，，即，

从而．

取，则

故方程（**）在上存在唯一解．

综上，时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．

即与函数，的图象都相切的直线有且只有两条．          12分