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初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件练习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件练习题，共25页。试卷主要包含了3探索三角形全等的条件尺规作图等内容，欢迎下载使用。
1.3探索三角形全等的条件尺规作图
一、选择题
1．如图，在中，尺规作图如下：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使；分别以点D和点E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连结CE、下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，，
3．作一个角等于已知角，以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；以D为圆心为半径作圆弧与中所作圆弧交于点E；作射线OE，则为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
4．如图中所示的步骤，具体描述了利用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行的过程，则其依据是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 对顶角相等
5．在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案如图：
在角的两边OM、ON上分别取；
过点A作于点A，交ON于点D；过点B作于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；
作射线OC．
小阳接着解释说：“此时，≌，所以射线OC为的平分线．”小阳的方案中，≌的依据是
A. SASB. ASAC. HLD. AAS
6．如图网格中有及线段DE，在网格上找一格点必须在网格的交点处，使与全等，这样的点有．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
7．如图，在，，，按以下步骤作图：
以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
作射线AG，交BC边于点D，则的度数为______．
8．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图所示：
用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．
所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确”请回答：小凡的作图依据是______．
9．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点A作已知直线l的平行线”．
小云的作法如下：
在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；
分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确”请回答：小云的作图依据是______．
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
小天利用直尺和三角板进行如下操作：
如图所示：
用三角板的一条边与已知直线l重合；
用直尺紧靠三角板一边；
沿着直尺平移三角板，使三角板的一条边通过已知点A；
直线重合的斜边通过已知点A；
沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
老师说：“小天的作法正确．”
请回答：小天的作图依据是______．
11．如图，直线，直线AB分别与MN，PQ相交于点A、B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点分别以C，D为圆心，以大于，长为半径作弧，两弧在内交于点E；作射线AE交PQ于点F，若，则______，
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
在直线l上任取两点B，C；
以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______ ．
三、解答题
13．尺规作图，已知线段a、线段c和，用直尺和圆规作，使，，要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法
14．已知：过点A的射线，在射线l上截取线段，过A的直线m不与直线l及直线AB重合，过点B作于点D，过点C作于点E．
依题意补全图形；
求证：≌．
15．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，求作：一个角，使它等于．
作法：如图2：
在的两边上分别任取一点A，B；
以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
连结AC，BC．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下列证明．
证明：连结AB，
，______，______，
≌______填推理依据．
．
16．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及．
求作：，使得线段m，n及分别是它的两边和一角．
作法：如图，
以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交的两边于点M，N；
画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；
画射线AD；
以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
连接BC，则即为所求作的三角形．
请回答：
步骤得到两条线段相等，即____________；
的作图依据是______；
小红说小明的作图不全面，原因是______．
17．已知：如图所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图图所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
第一步得到图方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时即______；
第二步得到图参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：______，并求的度数；
第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明．
18．下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：射线OP，使它平分．
作法：如图2，
以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
作射线OP．
所以射线OP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接MP，NP．
在和中，
≌______填推理的依据．
______全等三角形的______相等．
即射线OP平分角平分线定义．
苏科版数学新八年级暑假预习培优训练(教师卷)
1.3探索三角形全等的条件尺规作图
一、选择题
1．如图，在中，尺规作图如下：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使；分别以点D和点E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连结CE、下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
答案：A
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：根据作图过程可知：
，
，
≌
．
所以B、C、D选项都成立．
所以A选项不成立．
故选：A．
根据作角的平分线的过程即可判断．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握作角的平分线的过程及原理．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，，
答案：D
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：当，，时，根据“ASA”可判断的唯一性．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
3．作一个角等于已知角，以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；以D为圆心为半径作圆弧与中所作圆弧交于点E；作射线OE，则为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
答案：C
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：连接，DE．
由作图可知：，，
≌，
故选：C．
由作图可知：，，根据SSS即可判断两个三角形全等．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图中所示的步骤，具体描述了利用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行的过程，则其依据是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 对顶角相等
答案：B
【知识点】平行线的判定、平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：【分析】
本题考查的是作图复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】
解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故选B．
5．在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案如图：
在角的两边OM、ON上分别取；
过点A作于点A，交ON于点D；过点B作于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；
作射线OC．
小阳接着解释说：“此时，≌，所以射线OC为的平分线．”小阳的方案中，≌的依据是
A. SASB. ASAC. HLD. AAS
答案：C
【知识点】直角三角形全等的判定、作一条线段等于已知线段、全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：由基本作图得，，
而OC为公共边，
所以利用“HL”可证明≌，
所以，即射线OC为的平分线．
故选：C．
利用作法得到，，，则可利用“HL”判定≌．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了全等三角形的判定．
6．如图网格中有及线段DE，在网格上找一格点必须在网格的交点处，使与全等，这样的点有．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案：D
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：【分析】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握全等三角形的判定方法：首先根据线段长度可得DE与BC是对应边，然后画出图形即可．
【解答】
解：如图所示：这样的点有4个．
故选D．
二、填空题
7．如图，在，，，按以下步骤作图：
以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
作射线AG，交BC边于点D，则的度数为______．
答案：
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：解法一：连接EF．
点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
；
是等腰三角形；
又分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
是线段EF的垂直平分线，
平分，
，
；
在中，，，
直角三角形中的两个锐角互余；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是的平分线，
，
；
在中，，，
直角三角形中的两个锐角互余；
故答案是：．
根据已知条件中的作图步骤知，AG是的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
本题综合考查了作图--复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG是平分线是解答此题的关键．
8．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图所示：
用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．
所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确”请回答：小凡的作图依据是______．
答案：解：内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：如图所示：
两块形状、大小相同的三角尺，将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，
，
直线内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】
根据平行线的判断方法即可解决问题；
本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现是解题的关键．
9．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点A作已知直线l的平行线”．
小云的作法如下：
在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；
分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确”请回答：小云的作图依据是______．
答案：四边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：
连接CD．
由作图可知：，
四边形ABCD是菱形．
故答案为四边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；
【分析】
根据菱形的判定和性质即可解决问题；
本题考查菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判断方法，属于中考常考题型．
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
小天利用直尺和三角板进行如下操作：
如图所示：
用三角板的一条边与已知直线l重合；
用直尺紧靠三角板一边；
沿着直尺平移三角板，使三角板的一条边通过已知点A；
直线重合的斜边通过已知点A；
沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
老师说：“小天的作法正确．”
请回答：小天的作图依据是______．
答案：同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：如图：
，
同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
根据同位角相等，两直线平行即可判断；
本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．
11．如图，直线，直线AB分别与MN，PQ相交于点A、B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点分别以C，D为圆心，以大于，长为半径作弧，两弧在内交于点E；作射线AE交PQ于点F，若，则______，
答案：
【知识点】平行线的性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：，
，
由题意得：AF平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质、角平分线的定义得，再结合三角形外角的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
在直线l上任取两点B，C；
以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______ ．
答案：解：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．此题答案不唯一，能够完整地说明依据且正确即可
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．本题答案不唯一．
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【分析】
利用菱形的性质得出作出以A，B，C，D为顶点的四边形，进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确把握菱形的性质与作法是解题关键．
三、解答题
13．尺规作图，已知线段a、线段c和，用直尺和圆规作，使，，要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法
答案：解：如图，为所作．
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：先作，再分别截取，，然后连接AC得到满足条件的．
本题考查了作图法则作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．已知：过点A的射线，在射线l上截取线段，过A的直线m不与直线l及直线AB重合，过点B作于点D，过点C作于点E．
依题意补全图形；
求证：≌．
答案：解：如图所示．
证明：直线，
，
，
，
，
，
，
于点D，于点E，
，
在和中，
≌．
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形、全等三角形的判定与性质
解析：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据要求画出图形即可．
根据AAS证明即可．
15．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，求作：一个角，使它等于．
作法：如图2：
在的两边上分别任取一点A，B；
以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
连结AC，BC．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下列证明．
证明：连结AB，
，______，______，
≌______填推理依据．
．
答案：BC SSS
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形、全等三角形的判定与性质
解析：解：如图2，即为补全的图形；
证明：连结AB，
，，，
≌．
．
故答案为：BC，，边边边．
利用直尺和圆规，补全图形即可；
根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
16．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及．
求作：，使得线段m，n及分别是它的两边和一角．
作法：如图，
以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交的两边于点M，N；
画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；
画射线AD；
以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
连接BC，则即为所求作的三角形．
请回答：
步骤得到两条线段相等，即____________；
的作图依据是______；
小红说小明的作图不全面，原因是______．
答案：BD MN 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：，MN．
三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
根据作图步骤一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
17．已知：如图所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图图所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
第一步得到图方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时即______；
第二步得到图参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：______，并求的度数；
第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明．
答案：90 过点P折叠纸片，使得点D落在边DE上，落点记为，折痕交原AC边于点F
【知识点】三角形内角和定理、平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：根据折叠可知：；
故答案为90；
过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
由折叠过程可知：
．
，P，D三点共线，
．
，
．
故答案为：过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
完成操作中的说理：
，，
．
．
根据折叠过程即可得结论；
根据的操作指令即可写出第二步；
根据的操作过程即可证明结论．
本题考查了作图复杂作图、平行线的判定和性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是理解操作过程．
18．下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：射线OP，使它平分．
作法：如图2，
以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
作射线OP．
所以射线OP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接MP，NP．
在和中，
≌______填推理的依据．
______全等三角形的______相等．
即射线OP平分角平分线定义．
答案：补全的图形如图所示；
，， ， 对应角
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：见答案；
；
；
，对应角．
故答案为：SSS，，对应角．
【分析】根据题意补全图形图形即可；
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
1.3探索三角形全等的条件尺规作图
一、选择题
1．如图，在中，尺规作图如下：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使；分别以点D和点E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连结CE、下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，，
3．作一个角等于已知角，以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；以D为圆心为半径作圆弧与中所作圆弧交于点E；作射线OE，则为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
4．如图中所示的步骤，具体描述了利用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行的过程，则其依据是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 对顶角相等
5．在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案如图：
在角的两边OM、ON上分别取；
过点A作于点A，交ON于点D；过点B作于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；
作射线OC．
小阳接着解释说：“此时，≌，所以射线OC为的平分线．”小阳的方案中，≌的依据是
A. SASB. ASAC. HLD. AAS
6．如图网格中有及线段DE，在网格上找一格点必须在网格的交点处，使与全等，这样的点有．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
7．如图，在，，，按以下步骤作图：
以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
作射线AG，交BC边于点D，则的度数为______．
8．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图所示：
用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．
所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确”请回答：小凡的作图依据是______．
9．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点A作已知直线l的平行线”．
小云的作法如下：
在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；
分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确”请回答：小云的作图依据是______．
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
小天利用直尺和三角板进行如下操作：
如图所示：
用三角板的一条边与已知直线l重合；
用直尺紧靠三角板一边；
沿着直尺平移三角板，使三角板的一条边通过已知点A；
直线重合的斜边通过已知点A；
沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
老师说：“小天的作法正确．”
请回答：小天的作图依据是______．
11．如图，直线，直线AB分别与MN，PQ相交于点A、B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点分别以C，D为圆心，以大于，长为半径作弧，两弧在内交于点E；作射线AE交PQ于点F，若，则______，
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
在直线l上任取两点B，C；
以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______ ．
三、解答题
13．尺规作图，已知线段a、线段c和，用直尺和圆规作，使，，要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法
14．已知：过点A的射线，在射线l上截取线段，过A的直线m不与直线l及直线AB重合，过点B作于点D，过点C作于点E．
依题意补全图形；
求证：≌．
15．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，求作：一个角，使它等于．
作法：如图2：
在的两边上分别任取一点A，B；
以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
连结AC，BC．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下列证明．
证明：连结AB，
，______，______，
≌______填推理依据．
．
16．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及．
求作：，使得线段m，n及分别是它的两边和一角．
作法：如图，
以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交的两边于点M，N；
画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；
画射线AD；
以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
连接BC，则即为所求作的三角形．
请回答：
步骤得到两条线段相等，即____________；
的作图依据是______；
小红说小明的作图不全面，原因是______．
17．已知：如图所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图图所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
第一步得到图方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时即______；
第二步得到图参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：______，并求的度数；
第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明．
18．下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：射线OP，使它平分．
作法：如图2，
以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
作射线OP．
所以射线OP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接MP，NP．
在和中，
≌______填推理的依据．
______全等三角形的______相等．
即射线OP平分角平分线定义．
苏科版数学新八年级暑假预习培优训练(教师卷)
1.3探索三角形全等的条件尺规作图
一、选择题
1．如图，在中，尺规作图如下：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使；分别以点D和点E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点C；作射线OC，连结CE、下列结论不一定成立的是
A. B.
C. D.
答案：A
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：根据作图过程可知：
，
，
≌
．
所以B、C、D选项都成立．
所以A选项不成立．
故选：A．
根据作角的平分线的过程即可判断．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握作角的平分线的过程及原理．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，，
答案：D
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：当，，时，根据“ASA”可判断的唯一性．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
3．作一个角等于已知角，以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；以D为圆心为半径作圆弧与中所作圆弧交于点E；作射线OE，则为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．
A. “SSS”B. “AAS”C. “SAS”D. “SSA”
答案：C
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：连接，DE．
由作图可知：，，
≌，
故选：C．
由作图可知：，，根据SSS即可判断两个三角形全等．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图中所示的步骤，具体描述了利用三角尺和直尺画直线b与已知直线a平行的过程，则其依据是
A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 对顶角相等
答案：B
【知识点】平行线的判定、平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：【分析】
本题考查的是作图复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】
解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故选B．
5．在数学活动课上，老师提出这样一个问题：“已知，同学们只用一块三角板可以画出它的角平分线吗？”聪明的小阳经过思考设计了如下方案如图：
在角的两边OM、ON上分别取；
过点A作于点A，交ON于点D；过点B作于点B，交OM于点E，AD、BE交于点C；
作射线OC．
小阳接着解释说：“此时，≌，所以射线OC为的平分线．”小阳的方案中，≌的依据是
A. SASB. ASAC. HLD. AAS
答案：C
【知识点】直角三角形全等的判定、作一条线段等于已知线段、全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：由基本作图得，，
而OC为公共边，
所以利用“HL”可证明≌，
所以，即射线OC为的平分线．
故选：C．
利用作法得到，，，则可利用“HL”判定≌．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了全等三角形的判定．
6．如图网格中有及线段DE，在网格上找一格点必须在网格的交点处，使与全等，这样的点有．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案：D
【知识点】全等三角形的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：【分析】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握全等三角形的判定方法：首先根据线段长度可得DE与BC是对应边，然后画出图形即可．
【解答】
解：如图所示：这样的点有4个．
故选D．
二、填空题
7．如图，在，，，按以下步骤作图：
以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
作射线AG，交BC边于点D，则的度数为______．
答案：
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：解法一：连接EF．
点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
；
是等腰三角形；
又分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；
是线段EF的垂直平分线，
平分，
，
；
在中，，，
直角三角形中的两个锐角互余；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是的平分线，
，
；
在中，，，
直角三角形中的两个锐角互余；
故答案是：．
根据已知条件中的作图步骤知，AG是的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
本题综合考查了作图--复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG是平分线是解答此题的关键．
8．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图所示：
用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．
所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确”请回答：小凡的作图依据是______．
答案：解：内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：如图所示：
两块形状、大小相同的三角尺，将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，
，
直线内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】
根据平行线的判断方法即可解决问题；
本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现是解题的关键．
9．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点A作已知直线l的平行线”．
小云的作法如下：
在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；
分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确”请回答：小云的作图依据是______．
答案：四边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：
连接CD．
由作图可知：，
四边形ABCD是菱形．
故答案为四边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；
【分析】
根据菱形的判定和性质即可解决问题；
本题考查菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判断方法，属于中考常考题型．
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
小天利用直尺和三角板进行如下操作：
如图所示：
用三角板的一条边与已知直线l重合；
用直尺紧靠三角板一边；
沿着直尺平移三角板，使三角板的一条边通过已知点A；
直线重合的斜边通过已知点A；
沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行．
老师说：“小天的作法正确．”
请回答：小天的作图依据是______．
答案：同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：如图：
，
同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
根据同位角相等，两直线平行即可判断；
本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．
11．如图，直线，直线AB分别与MN，PQ相交于点A、B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点分别以C，D为圆心，以大于，长为半径作弧，两弧在内交于点E；作射线AE交PQ于点F，若，则______，
答案：
【知识点】平行线的性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：，
，
由题意得：AF平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质、角平分线的定义得，再结合三角形外角的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、三角形外角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．
12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
在直线l上任取两点B，C；
以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______ ．
答案：解：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．此题答案不唯一，能够完整地说明依据且正确即可
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．本题答案不唯一．
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【分析】
利用菱形的性质得出作出以A，B，C，D为顶点的四边形，进而得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确把握菱形的性质与作法是解题关键．
三、解答题
13．尺规作图，已知线段a、线段c和，用直尺和圆规作，使，，要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法
答案：解：如图，为所作．
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：先作，再分别截取，，然后连接AC得到满足条件的．
本题考查了作图法则作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14．已知：过点A的射线，在射线l上截取线段，过A的直线m不与直线l及直线AB重合，过点B作于点D，过点C作于点E．
依题意补全图形；
求证：≌．
答案：解：如图所示．
证明：直线，
，
，
，
，
，
，
于点D，于点E，
，
在和中，
≌．
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形、全等三角形的判定与性质
解析：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据要求画出图形即可．
根据AAS证明即可．
15．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：如图，求作：一个角，使它等于．
作法：如图2：
在的两边上分别任取一点A，B；
以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；
连结AC，BC．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下列证明．
证明：连结AB，
，______，______，
≌______填推理依据．
．
答案：BC SSS
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形、全等三角形的判定与性质
解析：解：如图2，即为补全的图形；
证明：连结AB，
，，，
≌．
．
故答案为：BC，，边边边．
利用直尺和圆规，补全图形即可；
根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
16．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及．
求作：，使得线段m，n及分别是它的两边和一角．
作法：如图，
以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交的两边于点M，N；
画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点D；
画射线AD；
以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
连接BC，则即为所求作的三角形．
请回答：
步骤得到两条线段相等，即____________；
的作图依据是______；
小红说小明的作图不全面，原因是______．
答案：BD MN 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：，MN．
三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
根据作图步骤一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
17．已知：如图所示的三角形纸片内部有一点P．
任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．
阅读操作步骤并填空：
小谢按图图所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．
在小谢的折叠操作过程中．
第一步得到图方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时即______；
第二步得到图参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：______，并求的度数；
第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图，
完成操作中的说理：
请结合以上信息证明．
答案：90 过点P折叠纸片，使得点D落在边DE上，落点记为，折痕交原AC边于点F
【知识点】三角形内角和定理、平行线的判定与性质、已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：根据折叠可知：；
故答案为90；
过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
由折叠过程可知：
．
，P，D三点共线，
．
，
．
故答案为：过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F．
完成操作中的说理：
，，
．
．
根据折叠过程即可得结论；
根据的操作指令即可写出第二步；
根据的操作过程即可证明结论．
本题考查了作图复杂作图、平行线的判定和性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是理解操作过程．
18．下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：射线OP，使它平分．
作法：如图2，
以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
分别以点M，N为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；
作射线OP．
所以射线OP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接MP，NP．
在和中，
≌______填推理的依据．
______全等三角形的______相等．
即射线OP平分角平分线定义．
答案：补全的图形如图所示；
，， ， 对应角
【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
解析：解：见答案；
；
；
，对应角．
故答案为：SSS，，对应角．
【分析】根据题意补全图形图形即可；
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
