北师大版 (2019)必修 第一册2.2 古典概型的应用习题

课后素养落实(四十二)

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)

A． B．

C． D．

D　[从盒中随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为＝.故选D.]

2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为

(　　)

A． B．

C． D．

B　[样本点的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的样本点的个数为2，所以所求概率P＝＝.故选B.]

3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.故选B.]

4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

(　　)

A． B．

C． D．

C　[从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.故选C.]

5．在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率为(　　)

A． B．

C． D．

D　[所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12个，能被4整除的数为12,32,52，共3个，故所求概率P＝＝.故选D.]

二、填空题

6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．

　[取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.]

7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

　[设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6种，所以所求概率为＝.]

8．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．

　[依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为＝.]

三、解答题

9．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

[解]　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为P＝＝.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本点有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.

10．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．

[解]　(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为＝0.4.

(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)，

第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，

所以，公司获得的平均利润为＝45(元)．

(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；

去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；

…

去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，

总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)，其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16(种)，

所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为＝.

11. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[因为甲、乙两人从五份红包中随机取两份的可能情况有10种，其中所抢到的金额之和大于等于4的情况有(0.61,3.40)，(1.49,3.40)，(2.19,3.40)，(1.31,3.40)，共4种，所以甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率为P＝＝.故选B.]

12．从集合A＝{2,4}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{1,3}中随机抽取一个数记为b，则f (x)＝ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是减函数的概率为(　　)

A． B．

C． D．0

B　[(a，b)的所有取值情况如下：(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，记“f (x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A，由条件知f (x)的图象开口一定向上，对称轴为直线x＝－，则－≥－1，即0<≤1，则事件A包含的情况如下：(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3种，则P(A)＝.故选B.]

13．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率为________．

　[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]

14．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)满足a＋b＝n”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为________．

3和4　[分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4.]

15．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：

(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．

[解]　(1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人)．

(2)从5天中任选两天的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，故所求概率为.