042与弹簧相关的机械能守恒问题 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.必备知识精讲

1．弹簧类问题的突破要点

(1)弹簧的弹力大小由形变大小决定，解题时一般应从弹簧的形变分析入手，确定原长位置、现长位置、平衡位置等，再结合其他力的情况分析物体的运动状态。

(2)因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。因此，在分析瞬间变化时可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

(3)在求弹簧的弹力做功或弹簧的弹性势能时，通常可以根据系统的机械能守恒或功能关系进行分析。

2．弹簧类问题的注意事项

(1)弹簧处于相同状态时弹性势能相等；

(2)在不同的物理过程中，弹簧形变量相等，则弹性势能的变化量相等。

(3)弹簧的弹性势能增加或减少时，弹簧与其它物体发生了能量的转移或转化。

二.典型例题精讲

题型一：弹簧与一物体相连

例1：(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是 (　  　)

A．小球的机械能守恒

B．小球的机械能减少

C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒

答案:BD

[解析]　小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

题型二：弹簧与多物体相连

例2：(多选)如图所示，带有挡板的光滑斜面固定在水平地面上，斜面的倾角为θ＝30°。质量均为1kg的A、B两物体用轻弹簧拴接在一起，弹簧的劲度系数为5N/cm，质量为2kg的物体C用细线通过光滑的轻质定滑轮与物体B连接。开始时A、B均静止在斜面上，A紧靠在挡板处，用手托住C，使细线刚好被拉直，现把手拿开，让C由静止开始运动，从C开始运动到A刚要离开挡板的过程中，下列说法正确的是(g取10m/s2) (　　)

A．初状态弹簧的压缩量为1cm

B．末状态弹簧的压缩量为1cm

C．物体B、C与地球组成的系统机械能守恒

D．物体C克服绳的拉力所做的功为0.2J

答案：AD

[解析]　初状态时，细线拉力为零，对B受力分析，弹簧处于压缩状态，弹簧弹力F＝mgsinθ＝kx，解得x＝1cm，A正确；末状态时，对A进行受力分析，弹簧处于伸长状态，弹簧弹力F＝mgsinθ＝kx，解得x＝1cm，B错误；B、C与地球组成的系统，在运动过程中弹簧对系统做功，机械能不守恒，C错误；对A、B、C、弹簧和地球组成的系统由机械能守恒定律得2Mgx－2mgxsinθ＝(M＋m)v2，对C由动能定理得2Mgx－W＝Mv2，解得W＝0.2J，D正确。

二.举一反三，巩固练习

1．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，则以下说法正确的是 (　　)

A．物体落到O点后，立即做减速运动

B．物体从O点运动到B点，物体机械能守恒

C．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒

D．物体在最低点时的加速度大于g

答案：CD

[解析]　在O点时，重力大于弹力，物体继续向下加速，A错误；物体从O到B过程中，弹簧的弹性势能增加，物体的机械能减小，B错误；在整个过程中，只有重力势能、弹性势能、动能的相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，C正确；在最低点，由简谐运动的对称性知加速度大于g，D正确。

2．(多选)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中 (　　)

A．弹力对小球先做正功后做负功

B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度

C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

答案：BCD

[解析]　小球在从M点运动到N点的过程中，弹簧的压缩量先增大，后减小，到某一位置时，弹簧处于原长，再继续向下运动到N点的过程中，弹簧又伸长。弹簧的弹力方向与小球速度方向的夹角先大于90°，再小于90°，最后又大于90°，因此弹力先做负功，再做正功，最后又做负功，A项错误；弹簧与杆垂直时，小球的加速度等于重力加速度，当弹簧的弹力为零时，小球的加速度也等于重力加速度，B项正确；弹簧长度最短时，弹力与小球的速度方向垂直，这时弹力对小球做功的功率为零，C项正确；由于在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，根据动能定理可知，小球从M点到N点的过程中，弹簧的弹力做功为零，重力做功等于动能的增量，即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D项正确。

3．(2015·天津理综)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中 (　　)

A．圆环的机械能守恒

B．弹簧弹性势能变化了mgL

C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零

D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

答案：B

[解析]　圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误。

4.(2017·江苏高考)(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中(　　)

A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg

B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg

C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下

D．弹簧的弹性势能最大值为mgL

答案　AB

解析　取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于mg，A正确；A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－Lsin30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL，D错误。

5.如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端

固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块 (　　)

A．最大速度相同

B．最大加速度相同

C．上升的最大高度不同

D．重力势能的变化量不同

答案：C

[解析]　本题考查了弹性势能与重力势能及动能的变化。解题关键是各物理量所对应弹簧所处的状态及受力情况。开始压缩量相同，弹力相同，释放瞬间两球加速度最大，由牛顿第二定律，kx0－mgsinθ＝mam，am＝－gsinθ，由于两物块质量不同，因此最大加速度不同，因此B选项错误；当物块加速为零时，速度最大，则kx＝mgsinθ，由能量转化与守恒定律，有kx＝kx2＋mv，所以v＝－，m越大，vm越小，两物块质量不同，最大速度不同，选项A错误；达到最大高度时速度为零，弹性势能转化为重力势能，则kx＝mgh，h＝，两物块质量不同，上升的最大高度不同，选项C正确；弹簧相同，开始压缩量相同，全过程释放的弹性势能完全转化为重力势能，即ΔEPG＝EPO，重力势能的变化量相同，选项D错误。

6.(多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(　　)

A．B受到细线的拉力保持不变

B．A、B组成的系统机械能不守恒

C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量

D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大

答案　BD

解析　对A有FT－kx＝mAa，对B有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中，B的加速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度最大，A的速度也达到最大，则动能最大，D正确。

7. (2021·八省联考河北卷)(多选)如图，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是(　　)

A．金属环的最大加速度为 g

B．金属环的最大速度为g

C．金属环与细杆之间的最大压力为mg

D．金属环达到最大速度时重力的功率为mg2

答案　BC

解析　根据对称性可知，在金属环运动过程中，弹簧始终水平，刚释放时，弹簧处于原长，弹力为0，金属环的加速度最大，金属环的最大加速度为am＝gsin45°＝g，故A错误；设弹簧的伸长量为x1时金属环速度最大，根据平衡条件，沿杆方向有mgcos45°＝kx1cos45°，由机械能守恒定律得2mg·tan45°＝kx＋×(2m)v，联立解得金属环的最大速度为v0＝g ，金属环达到最大速度时重力的功率为P＝mgv0cos45°＝ ，故B正确，D错误；当金属环下落到最低点时，金属环速度为0，金属环与细杆之间的压力最大，设此时弹簧的形变量为x2，由机械能守恒定律得2mgtan45°＝kx，对金属环进行受力分析，垂直于杆方向有FN＝mgsin45°＋kx2sin45°，可解得金属环与细杆之间的最大压力为FN＝mg，故C正确。

8.如图所示，质量均为m的小滑块P、Q通过铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的竖直光滑杆上，Q放在光滑水平地面上，轻杆与竖直方向夹角α＝30°，原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆O点上。P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中(　　)

A．P、Q组成的系统机械能守恒

B．P、Q的速度大小始终相等

C．弹簧弹性势能最大值为mgL

D．P达到最大动能时，Q受到地面的支持力大小为mg

答案　C

解析　在P下滑的过程中，对P、Q组成的系统，弹簧弹力做负功，则系统机械能减小，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如图所示，可得vPcosα＝vQsinα，即有vP＝vQtanα，仅当α＝45°时，vP＝vQ，故B错误；当P下降到最低点时，弹簧的弹性势能最大，对P、Q及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律，可得Epmax＝mg(Lcos30°－Lcos60°)＝mgL，故C正确；P达到最大动能时，P的加速度为零，则P、Q、轻杆组成的系统在竖直方向的加速度为零，对系统受力分析可得，此时Q受到地面的支持力大小等于P、Q的总重力，即2mg，故D错误。

　9．如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放0.5 kg的小球，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，则(　　)

A．斜面的倾角θ＝60°

B．弹簧的劲度系数为12.5 N/m

C．小球最大的动能为0.25 J

D．弹簧最大弹性势能为1 J

答案　BCD

解析　由图可知，当弹簧压缩量x0＝0时，a0＝5 m/s2，则有a0＝gsinθ＝5 m/s2，解得θ＝30°，故A错误；当弹簧压缩量x1＝20 cm＝0.2 m时，a1＝0，则有mgsinθ－kx1＝0，解得k＝＝ N/m＝12.5 N/m，故B正确；在a­x图像中，图线与x轴所围成的面积表示ax的大小，当x1＝0.2 m时，a1＝0，此时小球的速度最大，由2ax＝v2可知，vm＝ m/s＝1 m/s，则小球最大的动能为Ekm＝mv＝0.25 J，故C正确；由运动的对称性可知，当弹簧的压缩量为x2＝0.4 m时，小球速度为零，此时弹簧的弹性势能最大，从最高点到弹簧压缩量为x2＝0.4 m的位置，对系统由机械能守恒定律可得，弹簧最大弹性势能为Epm＝mgx2sin30°＝0.5×10×0.4× J＝1 J，故D正确。

10. (2020·黑龙江省大庆中学高三下学期开学考试)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒

B．弹簧的劲度系数为

C．物体A着地时的加速度大小为

D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2

答案　AC

解析　由题可知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体A与地面即将接触时，物体B对地面恰好无压力，则此时弹簧的弹力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知：T＝kh，联立解得弹簧的劲度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，弹簧的弹力为T＝mg，则细绳对A的拉力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，解得a＝，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有：2mgh＝Ep＋×2mv2，解得Ep＝2mgh－mv2，故D错误。

11.如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：

(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道上的落点到B点的距离；

(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；

(3)物块在A点时弹簧的弹性势能．

答案　(1)2R　(2)6mg　(3)mgR

解析　(1)因为物块恰好能通过C点，则有：mg＝m

x＝vCt，2R＝gt2

解得x＝2R

即物块在水平轨道上的落点到B点的距离为2R；

(2)物块由B到C过程中机械能守恒，

则有mv＝2mgR＋mv

设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力为FN，

则有：FN－mg＝m，

解得FN＝6mg

由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg.

(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为

Ep＝2mgR＋mv，解得Ep＝mgR.

12．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：

(1)斜面的倾角α。

(2)球A获得的最大速度vm。

[答案]　(1)α＝30°　(2)vm＝2g

[解析]　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。物体A的加速度此时为零

由牛顿第二定律：4mgsinα－2mg＝0

则：sinα＝　α＝30°。

(2)由题意可知，A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等，故有：2mg＝kΔx

4mgΔxsinα－mgΔx＝(5m)v

得：vm＝2g。

13.一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q。一轻绳跨过O点的定滑轮，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m。初始时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N。已知物块P质量为m1＝0.8 kg，物块Q质量为m2＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2。现将物块P静止释放，求：

(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x1；

(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；

(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功。

答案　(1)0.1 m　(2)2 m/s　(3)8 J

解析　(1)物块P位于A点时，绳子张力T＝50 N，设弹簧的伸长量为x1，

对物块Q受力分析有T＝m2gsinθ＋kx1，

解得x1＝0.1 m。

(2)由几何知识可知，OB垂直于竖直杆，d＝0.3 m，则此时物块Q速度为零，下降的距离为

Δx＝ －d＝0.2 m，

则弹簧压缩量为x2＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，则P从A到B弹簧的弹性势能不变。

物块P从A到B，对系统根据机械能守恒定律有

m2g·Δx·sinθ－m1gh＝m1v，

代入数据可得vB＝2 m/s。

(3)设此过程轻绳拉力对P做的功为WT，对物块P由动能定理有WT－m1gh＝m1v－0，

代入数据得WT＝8 J。