029双星、多星模型 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.必备知识

1．双星模型

(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即

＝m1ωr1，

＝m2ωr2。

②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。

⑤双星的运动周期T＝2π。

⑥双星的总质量m1＋m2＝。

2．三星模型

(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。

(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。

(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。

①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。

3.四星模型：

(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。

×2×cos 45°＋＝ma，

其中r＝ L。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。

×2×cos 30°＋＝ma。

其中L＝2rcos 30°。

外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。

5.解题要诀：

(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

(3)星体的角速度相等。

(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。

6．多星模型的解题步骤

(1)明确各星体的几何位置，画出示意图；

(2)明确各星体的转动方式，找出各星体做圆周运动的共同的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径；

(3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源；

(4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点，列式解题

二.典型例题讲解

例1：(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积   B．质量之和

C．速率之和   D．各自的自转角速度

答案　BC

解析　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

＝m1ω2r1①

＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．

质量之积和各自自转的角速度无法求解．

例2：（2015·安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图6示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

（1）A星体所受合力大小FA；

（2）B星体所受合力大小FB；

（3）C星体的轨道半径RC；[来源:Z&xx&k.Com]

（4）三星体做圆周运动的周期T。

【答案】（1）； （2）； （3）； （4）

【解析】（1）A星体受B、C两星体的引力大小相等，，合力  ①；

（2）B星体受A星体的引力，B星体受C星体的引力，三角形定则结合余弦定理得，  ②；

（3）由对称性知，OA在BC的中垂线上，．对A星体：  ③，对B星体：  ④，联立解得，在三角形中，，解得，即  ⑤；

（4）把⑤式代入④式，得，即．

三.举一反三，巩固练习

1.(多选)如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则(　　)

A．A的质量一定大于B的质量

B．A的线速度一定大于B的线速度

C．L一定，M越大，T越大

D．M一定，L越大，T越大

答案　BD

解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：G＝mAω2RA, G＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：＝，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝，联立可得周期为：T＝2π，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．

2.“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

A．B星球的轨道半径为L

B．A星球运行的周期为2πL

C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2

D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零

[解析]　由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，根据牛顿第二定律，对A星球有：G＝m1ω2r1，对B星球有：G＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝L，r2＝L，A错误；根据G＝m1r1，r1＝L，解得周期T＝2πL·，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比＝＝，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝＝，受到A星球的万有引力FA＝＝，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。

[答案]　B

3.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)

A．两颗恒星相距

B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1

C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3

D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1

答案　A

解析　两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝L，根据牛顿第二定律有：MrA＝G，解得L＝，选项A正确；由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．

4.　(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)

A．三颗星的质量可能不相等

B．某颗星的质量为

C．它们的线速度大小均为

D．它们两两之间的万有引力大小为

答案　BD

解析　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Gcos 30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．

5.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R，并绕其中心O做匀速圆周运动。如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法中正确的是(　　)

A．每颗星做圆周运动的角速度为3

B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关

C．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍

D．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则线速度大小不变

答案　D

解析　任意两星之间的万有引力为F0＝G，则任意一星所受合力为F＝2F0cos30°＝2×G×＝G，任意一星运动的轨道半径r＝Rcos30°＝×R×＝R，万有引力提供向心力，有F＝G＝Mω2r，解得每颗星做圆周运动的角速度ω＝＝ ，A错误；万有引力提供向心力，有F＝G＝Ma，解得a＝，则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B错误；根据题意可知ω′＝＝ ＝ω，C错误；根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为v＝ωr＝·R＝ ，则变化后为v′＝ ＝v，D正确。

6.　（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是              (　　)

A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为

B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π

C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2

D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为

答案　BD

[解析]　在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π ，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝ ，C项错误；由2Gcos 30°＝ma得a＝，D项正确。

7．引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常量为G，求：

(1)P、Q两颗星的线速度之差Δv；

(2)Q、P两颗星的质量之差Δm。

答案　(1)　(2)

解析　(1)设P、Q两颗星的轨道半径分别为rP、rQ，P星的线速度大小vP＝

Q星的线速度大小vQ＝

则P、Q两颗星的线速度大小之差为Δv＝vP－vQ＝－＝。

(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有

G＝mPrPω2＝mQrQω2

解得mP＝，mQ＝

则Q、P两颗星的质量差为

Δm＝mQ－mP＝＝。

8. 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是              (　　)

A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B．四颗星的轨道半径均为

C．四颗星表面的重力加速度均为

D．四颗星的周期均为2πa

答案：B

[解析]　四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m，解得T＝2πa ，故D正确。

9.宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比T1/ T2．

【解析】第一种形式：四颗星稳定地分布在边长为L的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，每颗星做圆周运动的半径为L/2，

每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G+2Gcos45°=，

由=m·L/2·,

解得：T1=2πL。

第二种形式：有三颗星位于边长为L的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星刚好位于三角形的中心不动．轨道半径为r=L/3。

每颗星做圆周运动的向心力为其它三颗星对它万有引力的合力，即为F=G+2Gcos30°=，

由= m·L/3·,

解得：T2=2πL。

星体运动的周期之比T1/ T2=。