041多体机械能守恒问题 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.必备知识精讲

1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法

看是否有其他形式的能与机械能相互转化。

2．三种守恒表达式的比较

3．几种常见类型

类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索

类型二：轻绳连接的物体系统

(1)常见情景

(2)三点提醒

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(易错点)

②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。

类型三：轻杆连接的物体系统

(1)常见情景

(2)三大特点

①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：

a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。

类型四：几个接触的物体组成的连接体

类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体（下一节具体探讨）

二.典型例题精讲

题型一：质量均匀的链条模型

例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va、vb、vc，则关于va、vb、vc的关系，下列判断中正确的是(　　)

A．va＝vb＝vc  B.va<vb<vc

C．vc>va>vb  D.va>vb>vc

答案　C

解析　设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面，由于桌面无摩擦，对三种情况，则释放前，系统的重力势能为：图a中，Ep1＝mgL＋mg·L＝mgL，图b中，Ep2＝gL＋mg·L＝，图c中，Ep3＝mgL＋mg·L＋mg·＝mgL。释放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，Ep1′＝mg，图b中，Ep2′＝mgL＋mg·＝mgL，图c中，Ep3′＝mgL。则系统损失的重力势能ΔEp1＝mgL，ΔEp2＝mgL，ΔEp3＝mgL，而ΔEp1＝mv，ΔEp2＝(2m)v，ΔEp3＝(2m)v，解得：v＝gL，v＝gL，v＝gL，显然v>v>v，所以vc>va>vb，故C正确。

题型二：轻绳连接的物体系统

例2：如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)

A．2R  B.  C.  D.

答案　C

解析　设B球质量为m，则A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝(2m＋m)v2＋mgR，得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选C.

题型三：轻杆连接的物体系统

例3：(多选)(2015·全国课标Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则 (　　)

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地时速度大小为

C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

答案：BD

[解析]　当a物体刚释放时，两者的速度都为0，当a物体落地时，轻杆的分速度为0，由机械能守恒定律可知，a落地时速

度大小为va＝，故B正确；b物体的速度也是0，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误；杆对a作用效果为先推后拉，杆对a为拉力时，a下落加速度大小会大于g，C错误，a落地前，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时杆对b作用力为0，这时，b对地面的压力大小为mg，a的加速度为g，D正确。

三.举一反三，巩固练习

1.如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中，下列说法正确的是                            (　　)

A．A球的机械能增加

B．杆对A球始终不做功

C．B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量

D．A球和B球的总机械能守恒

答案：AD

解析：A球由静止向上运动，重力势能增大，动能也增大，所以机械能增大，杆一定对A球做了功，A项正确，B项错误；由于无摩擦力做功，系统只有重力做功，A球和B球的总机械能守恒，A球机械能增加，B球的机械能一定减少，故D项正确，C项错误。

2.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．斜劈对小球的弹力不做功

B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒

C．斜劈的机械能守恒

D．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量

答案　B

解析　斜劈由静到动，动能增加，只有弹力对斜劈做功，根据动能定理，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，则斜劈对小球的弹力对小球做负功，故A错误；不计一切摩擦，小球和斜劈组成的系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，但斜劈的机械能不守恒，故B正确，C错误；小球重力势能减少量等于斜劈和小球动能的增加量之和，故D错误。

3．如图所示，倾角为30°的足够长斜面与水平面平滑相连，水平面上用轻杆连接的小球A、B以速度v0＝ 向左运动，小球质量均为m，杆长为l，当小球B到达斜面上某处P时速度为零。不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)

A．P与水平面的高度差为

B．P与水平面的高度差为

C．两球上滑过程中杆对A球所做的功为－

D．两球上滑过程中杆对A球所做的功为

答案　AD

解析　设小球B沿斜面上滑距离为x时到达斜面上某处P，不计一切摩擦，则系统机械能守恒，可得2×mv＝mgxsin30°＋mg(x＋l)sin30°，解得x＝l，则P与水平面的高度差为h＝xsin30°＝l，故A正确，B错误；设两球上滑过程中杆对A球所做的功为W，对A球，由动能定理得W－mgsin30°＝0－mv，解得W＝，故C错误，D正确。

4.如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为              (　　)

A．＝　　　B．＝

C．＝      D．＝

答案:A

[解析]　圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。

5.如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的质量为m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：

(1)A刚上升时的加速度大小a；

(2)A上升过程的最大速度大小vm；

(3)A离地的最大高度H。

 答案：　(1)g　(2) 　(3)L

解析：(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，设轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得

对A：T－mg＝ma

对B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a

联立解得：a＝g。

(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A减速上升，所以当物块C刚着地时，A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得

2mgL－mgL＝(2m)v＋v

解得vm＝ 。

(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触及地面，A和B组成的系统机械能守恒，有

mgh－mgh＝0－v

联立解得：h＝L

由于h＝L<L，B不会触地，假设正确，所以A离地的最大高度H＝L＋h＝L。

6.如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，质量为3m的小球A套在圆环上；长为2R的刚性(既不伸长也不缩短)轻杆一端通过铰链与A连接，另一端通过铰链与滑块B连接；滑块B质量为m，套在水平固定的光滑杆上。水平杆与圆环的圆心O位于同一水平线上。现将A置于圆环的最高处并给A一微小扰动(初速度视为0)，使A沿圆环顺时针自由下滑，不计一切摩擦，A、B均视为质点，重力加速度大小为g。求：

(1)A滑到与圆心O同高度时的速度大小；

(2)A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功。

[答案]　(1)　(2)mgR

[解析]　(1)当A滑到与O同高度时，A的速度沿圆环切向向下，B的速度为0，由机械能守恒定律得3mgR＝×(3m)v2，解得v＝。

(2)杆与圆环相切时，A的速度沿杆方向，设为vA，此时B的速度设为vB，根据杆不可伸长和缩短，得vA＝vBcosθ。

由几何关系得cosθ＝。

球A下落的高度h＝R(1－cosθ)＝R。

由机械能守恒定律得3mgh＝(3m)v＋mv。

由动能定理得W＝mv。

解得W＝mgR。

7.质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3 m，OB长为L2＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10 m/s2，求：

(1)小球Q的质量M；

(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力。

答案　(1)0.5 kg　(2)10.3 N

解析　(1)从OA水平释放至OB到达水平位置的过程，系统机械能守恒，有mgL1sin53°＝MgL2sin53°

代入数据解得M＝＝0.5 kg。

(2)小球Q从初始位置运动到最低点的过程，系统机械能守恒，有

mgL1cos53°＋MgL2(1－sin53°)＝mv＋Mv

两球同轴转动，角速度相同，所以

v1＝L1ω

v2＝L2ω

联立并代入数据可得ω＝ rad/s

小球Q运动到最低点时，由牛顿第二定律，有

F－Mg＝Mω2L2

代入数据解得F＝ N≈10.3 N。