作业20－圆与椭圆小题（含答案解析）学案

这是一份作业20－圆与椭圆小题（含答案解析）学案，共11页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2020·山东日照模拟)已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sin2θ的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
答案 B
解析 设直线l的斜率为k，∵直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，∴k＝eq \f(－1,－\f(1,2))＝2，即tanθ＝2，∴sin2θ＝2sinθcsθ＝eq \f(2sinθcsθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tanθ,tan2θ＋1)＝eq \f(4,5).故选B.
2．过坐标原点O作圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，直线AB被圆截得的弦的长度为( )
A.eq \f(2\r(6),5) B.eq \f(4\r(6),5)
C.eq \r(6) D.eq \f(3\r(6),5)
答案 B
解析 设圆的圆心为P，则P(3，4)，由切线长定理可知|OA|＝|OB|，且OA⊥PA，OB⊥PB，因为|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，圆的半径r＝1，所以|OA|＝|OB|＝2eq \r(6)，易知AB⊥OP，所以S四边形OAPB＝eq \f(1,2)|OP|·|AB|＝2S△OAP，所以|AB|＝eq \f(4S△OAP,|OP|)＝eq \f(4×\f(1,2)×2\r(6)×1,5)＝eq \f(4\r(6),5).
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T.若PT＝eq \r(2)PB，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2－14x＋18＝0
B．x2＋y2＋14x＋18＝0
C．x2＋y2－10x＋18＝0
D．x2＋y2＋10x＋18＝0
答案 C
解析 设P(x，y)，由圆的切线的性质知，PT2＋AT2＝PA2.因为PT＝eq \r(2)PB，所以2PB2＋AT2＝PA2，即2[(x－3)2＋y2]＋1＝(x－1)2＋y2，整理，得x2＋y2－10x＋18＝0，故选C.
4．(2020·山东四县市联考)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“a＝eq \r(5)”是“eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋a＝0，,x2＋y2＝2，))化为5y2－4ay＋a2－2＝0，
直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，
∴Δ＝16a2－20(a2－2)>0，解得a20，
则“a＝eq \r(5)”是“eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0”的充分不必要条件，故选A.
5．(2020·山东省高考统一模拟试卷)设曲线x＝eq \r(2y－y2)上的点到直线x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．2
答案 C
解析 将x＝eq \r(2y－y2)化为：x2＋(y－1)2＝1，x≥0，
∴圆心(0，1)，半径r＝1，
∵圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq \f(3\r(2),2)，
∴圆上的点到直线的最小距离b＝eq \f(3\r(2),2)－1，
最大值为(0，2)到直线的距离，即a＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，
则a－b＝eq \f(\r(2),2)＋1.故选C.
6．点P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x＋y＋m≥0，则实数m的取值范围是( )
A．(－8，－eq \r(2)] B．[eq \r(2)－1，＋∞)
C．(eq \r(2)，＋∞) D．[1－eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 方法一：由题意可设x＝csθ，y＝1＋sinθ，θ∈[0，2π)．由x＋y＋m≥0，得m≥－(x＋y)．而－(x＋y)＝－csθ－(1＋sinθ)＝－(csθ＋sinθ)－1＝－eq \r(2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－1，则[－(x＋y)]max＝eq \r(2)－1.故m≥eq \r(2)－1.故选B.
方法二：画图易知若x＋y＋m≥0，则圆在直线的右侧．所以圆心(0，1)到直线x＋y＋m＝0的距离不小于半径1，即eq \f(1＋m,\r(2))≥1，∴m≥eq \r(2)－1.选B.
7．(2020·广州市高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为( )
A.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)R B.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(e,1－e)R
C.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(2e,1＋e)R D.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(e,1＋e)R
答案 A
解析 设该卫星远地点离地面的距离为r′，则由题意分析可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－c＝r＋R，,a＋c＝r′＋R，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(r＋r′＋2R,2)，,c＝\f(r′－r,2)，))所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(r′－r,r＋r′＋2R)，解得r′＝eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)R，故选A.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，若F到直线2bx－ay＝0的距离为eq \f(\r(2),2)c，则E的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),3)
答案 A
解析 由F到直线2bx－ay＝0的距离为eq \f(\r(2),2)c，得直线2bx－ay＝0的倾斜角为45°，所以eq \f(2b,a)＝1，即4(a2－c2)＝a2，解得e＝eq \f(\r(3),2).故选A.
9．(2020·课标全国Ⅰ，文)已知圆的方程为x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22|PF2|，则eq \f(|PF1|,|PF2|)＝( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(7,3)
C．2 D.eq \f(1,2)
答案 AC
解析 因为椭圆方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝5，所以|F1F2|＝2eq \r(5)，|PF1|＋|PF2|＝6.由题意知，|PF1|>|PF2|，所以∠PF1F2不可能为直角．若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，解得|PF1|＝eq \f(14,3)，所以|PF2|＝eq \f(4,3)，所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(7,2)；若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4或|PF1|＝2(舍去)．
所以|PF2|＝2，所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝2.故选AC.
12．(2020·济宁萌山高级中学模拟)已知圆：(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是( )
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为2eq \r(3)
D．直线与圆可以相切
答案 AC
解析 由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，半径r＝2，
直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点A(2，1)，
∵|CA|＝eq \r(（2－1）2＋（1－1）2)＝10)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1
B．椭圆E的离心率为eq \f(1,2)
C．曲线y＝lg3x－eq \f(1,2)经过E的一个焦点
D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点
答案 ACD
解析 设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，eq \f(x02,4)＋eq \f(y02,m)＝1，eq \f(x12,4)＋eq \f(y12,m)＝1，所以y02＝m－eq \f(m,4)x02，y12＝m－eq \f(mx12,4)，k1k2＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y02－y12,x02－x12)＝－eq \f(m,4).于是|k1|＋|k2|≥2eq \r(|k1|·|k2| )＝2eq \r(|k1k2| )＝2eq \r(－\f(m,4) )＝eq \r(m)，依题意得eq \r(m)＝1，解得m＝1，故E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，A正确；椭圆E的离心率为eq \f(\r(3),2)，B错误；椭圆E的焦点为(±eq \r(3)，0)，曲线y＝lg3x－eq \f(1,2)经过焦点(eq \r(3)，0)，C正确；直线2x－y－2＝0过点(1，0)，且点(1，0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选ACD.
14.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在此圆锥中，圆锥的母线与轴的夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1，下面有关所得截口曲线的说法正确的是( )
A．曲线为椭圆
B．点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点
C．该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为eq \f(3,2)，最短的距离为eq \f(2\r(3),3)
D．该曲线的离心率为eq \f(\r(3),2)
答案 AB
解析 由题意易知曲线为椭圆，故A正确．
画出轴截面的示意图如图所示，设A，B为截面与圆锥的两条母线的交点．
因为∠AMO＝∠BMO＝30°，MA⊥AB，MO＝1，所以AO＝eq \f(1,2)MO＝eq \f(1,2)，∠OMB＝∠OBM＝30°，所以BO＝MO＝1，所以eq \f(AO,BO)＝eq \f(1,2).
因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB，
所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点，所以B正确．
因为曲线是一个封闭的曲线，所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离，故C错误．
易知cs∠AOM＝cs60°＝eq \f(1,2)，cs∠AMO＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，则椭圆的离心率e＝eq \f(cs∠AOM,cs∠AMO)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),3).故D错误．
三、填空题
15．(2020·浙江)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________．
答案 eq \f(\r(3),3) －eq \f(2\r(3),3)
解析 方法一：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1，得k＝eq \f(\r(3),3)，b＝－eq \f(2\r(3),3).
方法二：因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1都相切，所以直线y＝kx＋b必过两圆心连线的中点(2，0)，所以2k＋b＝0.设直线y＝kx＋b的倾斜角为θ，则sinθ＝eq \f(1,2)，又k>0，所以θ＝eq \f(π,6)，所以k＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，b＝－2k＝－eq \f(2\r(3),3).
16．(2020·广东四校期末联考)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
答案 1或－1
解析 本题考查直线与圆的位置关系．△ABC是等腰直角三角形，则圆心C到直线AB的距离等于eq \f(\r(2),2)r(r为圆C的半径)，即eq \f(|－1|,\r(a2＋1))＝eq \f(\r(2),2)，则a＝±1.
17．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为________．
答案 2eq \r(2)＋2
解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则点F1关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)．∵点P在椭圆上，∴eq \f(0,a2)＋c2＝1，则c＝b＝1，∴a2＝b2＋c2＝2，∴a＝eq \r(2).故△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2eq \r(2)＋2.
18．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点A是椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F(－c，0)是椭圆的左焦点，椭圆的长轴长为4，且BF⊥AB，则c＝________．
答案 eq \r(5)－1
解析 由题意得A(a，0)，B(0，b)，a2＝b2＋c2，由BF⊥AB及OB⊥AF(O为坐标原点)，可得|BO|2＝|OF|·|OA|，即b2＝ac，又a2＝b2＋c2，所以ac＝a2－c2，又a＝2，所以c＝eq \r(5)－1(负值已舍去)．
19．定义曲线eq \f(a2,x2)＋eq \f(b2,y2)＝1为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的“倒椭圆”．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1，它的“倒椭圆”C2：eq \f(4,x2)＋eq \f(1,y2)＝1的一个对称中心为________；过“倒椭圆”C2上的点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆C1的公共点个数为________．
答案 (0，0) 1
解析 易知“倒椭圆”C2的一个对称中心为(0，0)．
因为eq \f(4,x2)＝1－eq \f(1,y2)∈(0，1)，所以x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
设P(x0，y0)(x0y0≠0)，则eq \f(4,x02)＋eq \f(1,y02)＝1.①
A(x0，0)，B(0，y0)，
于是直线AB的方程为eq \f(x,x0)＋eq \f(y,y0)＝1，代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得关于x的方程(x02＋4y02)x2－8x0y02x＋4x02(y02－1)＝0，Δ＝64x02y04－16x02(x02＋4y02)(y02－1)＝－16x02(x02y02－x02－4y02)，
由①可得4y02＋x02＝x02y02，从而Δ＝0，所以直线AB与椭圆C1的公共点个数为1.
20．(2020·浙大附中高考全真模拟)已知点F1是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A，B两点，M，N分别是AF1，BF1的中点，若存在以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析 如图所示，当点M，N分别是AF1，BF1的中点时，OM，ON是△ABF1的两条中位线，若以MN为直径的圆过原点，则有OM⊥ON，AF1⊥BF1，
设点A(x0，y0)，则点B(－x0，－y0)，又点F1(－c，0)，
所以，eq \(AF1,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)，eq \(BF1,\s\up6(→))＝(－c＋x0，y0)，
则eq \(AF1,\s\up6(→))·eq \(BF1,\s\up6(→))＝c2－x02－y02＝0，又eq \f(x02,a2)＋eq \f(y02,b2)＝1，
所以，eq \f(c2,a2)x02＋b2－c2＝0，得x02＝eq \f(a2（c2－b2）,c2)，
即只需0b>0)的左、右焦点，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，AF2的中点P恰好落在y轴上，若eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，则椭圆C的离心率的值为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 由于AF2的中点P恰好落在y轴上，又A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，所以AB过左焦点F1且AB⊥F1F2，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a))).因为P是AF2的中点，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2a))).又F2(c，0)，
则eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(3b2,2a)))，eq \(AF2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c，－\f(b2,a))).因为eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(AF2,\s\up6(→))＝0，则2c2－eq \f(3b4,2a2)＝0，即2c＝eq \f(\r(3)b2,a).又b2＝a2－c2，
则2ac＝eq \r(3)(a2－c2)，即eq \r(3)e2＋2e－eq \r(3)＝0，解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)．