数学九年级上册3.7 正多边形与圆教学设计

这是一份数学九年级上册3.7 正多边形与圆教学设计，共4页。

教学目标
知识与能力
1．正多边形和圆的有关概念。
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系。
3．正多边形的画法。
过程与方法
把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题的方法。
情感态度价值观
培养学生动手操作的能力。
教学重点
正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
教学难点
理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
（一）激情导入
（二）自主探究

（三）激情互动
（四）拓展应用
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上。
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
我们以圆内接正六边形为例证明。
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长。正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距。
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形。
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形。
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径。
解：正五边形的中心角∠AOB==72°，如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）
画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；
（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA。
（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA。
则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示。
教师引导学生解决有关问题。
指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题。
点评：
①正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距。
②正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系。
③画正多边形的方法。
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）。
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）。
A．36° B．60° C．72° D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______。
5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________。
6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB//CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________。
学生独立回顾。

理解有关概念。
根据提示做出正六边形。
理解有关概念。
师生共同分析例题。
组内交流自学中的困惑问题，全组达成一致意见。
有困惑的组由科代表提出本组困惑问题，寻求其他组帮助，各组选派代表说明解法。