2021学年第五章 曲线运动综合与测试导学案

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[核心速填]
1．曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件：它所受的合力的方向与其速度方向不在同一条直线上．
(2)速度方向：物体运动轨迹上某点的切线方向．
(3)运动性质：曲线运动的速度方向时刻在变，故曲线运动一定是变速运动．
2．平抛运动
(1)特点．
①初速度不为零，且沿水平方向．
②只受重力作用，加速度为自由落体加速度．
(2)运动规律．
①速度：vx＝v0，vy＝gt，
合速度大小v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))，方向tan α＝eq \f(vy,v0).
②位移：x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，合位移大小s＝eq \r(x2＋y2)，方向tan β＝eq \f(y,x).
3．圆周运动
(1)几个物理量的关系．
①v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T)，ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T)，v＝ω·r.
②T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(1,f).
(2)向心加速度：a＝eq \f(v2,r)＝ω2r.
(3)向心力：F＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mreq \f(4π2,T2)＝ma.
4．竖直面内圆周运动的轻绳模型
(1)在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr).
(2)当v5．竖直面内圆周运动的轻杆模型
(1)该类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.此时小球受向上的支持力N＝mg.
(2)0(3)v＝eq \r(gr)时，小球只受重力．
(4)v>eq \r(gr)时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．
【例1】 2015年6月1日21时30分，隶属于重庆东方轮船公司的东方之星轮船，在从南京驶往重庆途中突遇龙卷风，在长江中游湖北监利水域沉没，如图所示．搜救人员驾驶快艇救人，假设江岸是平直的，江水流速为v1，快艇在静水中的航速为v2，搜救人员开快艇从沉船上接到伤员后想在最短时间内将人送上岸，已知沉船到岸边的最近处O的距离为d，则快艇登陆的地点离O点的距离为( )
A.eq \f(dv2,\r(v\\al(2,2)－v\\al(2,1))) B．0 C．eq \f(dv1,v2) D．eq \f(dv2,v1)
C [当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，所用时间t＝eq \f(d,v2).由于合运动和分运动具有等时性，因此被水冲下的分运动时间也为t，登陆地点离O的距离为l＝v1t＝v1·eq \f(d,v2)＝eq \f(dv1,v2).]
1．(多选)在一次抗洪抢险战斗中，一位武警战士驾船把群众送到河对岸的安全地方．设河水流速为3 m/s，河宽为600 m，船相对静水的速度为4 m/s.则下列说法正确的是( )
A．渡河的最短时间为120 s
B．渡河的最短时间为150 s
C．渡河的最短航程为600 m
D．渡河的最短航程为750 m
BC [当船速垂直于河岸时，渡河时间最短，t＝eq \f(d,v船)＝150 s．当船沿垂直河岸方向行驶时即合速度垂直河岸时，航程最短为600 m，故B、C正确．]
1．利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
2．利用平抛运动的偏转角解题
设做平抛运动的物体下落高度为h，水平位移为x时，速度vA与初速度v0的夹角为θ，由图可得：tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2h,x)①
将vA反向延长与水平位移相交于O点，设A′O＝d，则有：tan θ＝eq \f(h,d)
解得d＝eq \f(1,2)x，tan θ＝2eq \f(h,x)＝2tan α②
①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系．
3．利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．图是某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，过A点作竖直线，并与过B点作的水平线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，再过E点作水平线交AC于F点，小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.由Δy＝gT2知
T＝eq \r(\f(Δy,g))＝eq \r(\f(yFC－yAF,g))，v0＝eq \f(xEF,T)＝eq \r(\f(g,yFC－yAF))·xEF.
【例2】 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3 h．不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1) ①
水平方向上有eq \f(L1,2)＝v1t1 ②
由①②两式可得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2) ③
在水平方向有eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))2＋L\\al(2,1))＝v2t2 ④
由③④两式可得v2＝eq \f(1,2)eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2.故选项D正确．]
[一语通关]
平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质．
(2)根据题意确定临界状态．
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图．
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．
2．如图所示，排球场的长度为18 m，其网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．设击球点的高度为2.5 m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(g取10 m/s2)
[解析] 如图所示，排球恰触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰出界时其轨迹为Ⅱ，根据平抛物体的运动规律x＝v0t和y＝eq \f(1,2)gt2可得，当排球恰触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)②
由①②可得v1≈9.5 m/s.
当排球恰出界时有：
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)④
由③④可得v2≈17 m/s.
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9.5 m/s[答案] 9.5 m/s1．当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界状态．出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．确定临界状态的常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的．
(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．
3．临界问题经常出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．
(1)用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图所示)．
此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝eq \f(mv\\al(2,0),R)，得临界速度v0＝eq \r(gR).当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．
(2)用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动．
此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动．
【例3】 如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？
[解析] 两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．
(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝T1sin 30°＝mωeq \\al(2,1)Lsin 30°
Fy＝T1cs 30°－mg＝0
联立解得ω1≈2.40 rad/s.
(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝T2sin 45°＝mωeq \\al(2,2)Lsin 30°
Fy＝T2cs 45°－mg＝0
联立解得ω2≈3.16 rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.
[答案] 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
[一语通关]
常见的三种临界问题
(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)．
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)．
3．如图在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．两滑块与圆盘的动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．两滑块与轴O共线且滑块1到转轴的距离为r，滑块2到转轴的距离为2r，现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：
(1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度；
(2)求当圆盘角速度为ω＝eq \r(\f(μg,r))时，滑块1受到的摩擦力．
[解析] (1)轻绳刚有拉力时，滑块2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律：μmg＝mωeq \\al(2,0)·2r
解得ω0＝eq \r(\f(μg,2r)).
(2)当圆盘角速度为ω＝eq \r(\f(μg,r))＞eq \r(\f(μg,2r))，此时滑块2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则
对滑块2：T＋μmg＝mω2·2r
对滑块1：T＋f1＝mω2·r
解得f1＝0.
[答案] (1)eq \r(\f(μg,2r)) (2)摩擦力为0
小船渡河的两类问题
方式
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位
移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
平抛运动
圆周运动中的临界问题