高中数学人教版新课标A必修12.2.2对数函数及其性质同步测试题

第一章 集合与函数概念

函数的性质同步训练

第I卷（选择题）

1．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）．

A． B． C． D．

2．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知定义在R上的函数是奇函数且是增函数，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． C．     D．

4．已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（    ）

①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数.

A．2 B．3 C．4 D．5

5．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

6．设函数,则（    ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

7．函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知二次函数，且是偶函数，若满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．由的范围决定 D．由，的范围共同决定

9．若函数的单调递减区间是,则实数a的值是________.

10．函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．

11．若函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是        ．

12．函数的单调递增区间为________．

13．如果二次函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

14．已知是定义在上的奇函数，当时，，

（1）求的解析式；  （2）求不等式的解集.

15．

(1)已知在上是单调函数,求的取值范围；

(2)求的解集.

16．已知函数，

（1）判断的奇偶性，并加以证明；

（2）讨论在上的单调性，并证明你的结论.

参考答案

1．D

【解析】

选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；

选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；

选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；

选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确．

综上所述，故选．

2．D

【详解】

，

如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，

，即，解得或.

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，画出函数图像确定单调性是解题的关键.

3．A

【详解】

由不等式得，

是奇函数，，

，

在R上是增函数，

，

不等式的解集为.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值.

4．C

【详解】

定义在R上的函数，

①令，

则是偶函数；

②令，

则是奇函数；

③令，

则是偶函数；

④令，

则是偶函数；

⑤令，

则和的关系不确定，不能判断奇偶性.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

5．C

【详解】

解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．

6．A

【详解】

因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．

7．C

【详解】

因为对任意的，有，

所以对任意的，与均为异号，

所以在上单调递减，

又函数为偶函数，即，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性的定义及应用，考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.

8．B

【详解】

是偶函数，

，函数关于对称，

，，

或，

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

9．

【详解】

因为函数的单调递减区间是，

而函数的图象的对称轴为直线，所以，即.

故答案为:.

【点睛】

本题考查二次函数的单调性，注意“函数的单调减区间是”与“函数在区间上是单调减函数”的区别，本题属于基础题.

10．

【详解】

函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，，

.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据函数单调性求参数的取值，根据函数解析式求解函数值，属于简单题目.

11．（﹣2，）

【解析】

f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，

令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2<x< .

12．

【详解】

令，解得或，

函数的定义域为.

内层函数的减区间为，增区间为.

外层函数在上为增函数，

由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.

故答案为.

【点睛】

本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

13．

【详解】

解：∵函数的图象对称轴为且在区间上是增函数，

∴，即．实数的取值范围为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次函数的单调性，一般根据对称轴与区间的位置关系来讨论，本题属于基础题.

14．（1）；（2）.

【详解】

（1）∵是定义在上的奇函数，∴.

又当时，，∴.

又为奇函数，∴，∴，

∴.

（2）当时，由得，解得；

当时，无解；

当时，由得，解得.

综上，不等式的解集用区间表示为.

【点睛】

本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

15．(1) 或；(2) 当时,不等式的解集为空集；

当时, 不等式的解集为；

当时, 不等式的解集为.

【详解】

(1)函数 的对称轴为：

因为在上是单调函数,所以有：或,解得

或；

(2)方程的两个根为：.

当时,不等式的解集为空集；

当时, 不等式的解集为；

当时, 不等式的解集为.

【点睛】

本题考查了已知函数单调性求参数问题,考查了求解一元二次不等式的解集,考查了分类讨论思想.

16．（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析.

【详解】

（1）为偶函数.

证明如下：∵，

当时，，则，，

所以；

当时，，则，，

所以；

综上所述，对于定义域内任意，都有，所以为偶函数.

（2）在上单调递减，在上单调递增.

任取，，，

因为，，所以，，

所以，当时，，，，

当时，，，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定证明，注意利用定义法证明函数单调性的步骤，属于中档题.