北师大版九年级上册1 认识一元二次方程练习

这是一份北师大版九年级上册1 认识一元二次方程练习，共9页。

【例1】某养殖专业户因扩大养殖规模，他计划用现有的35m长的篱笆围一个面积为150m2的长方形鸭舍，鸭舍的一边靠着原有的一面墙．
（1）该专业户该怎样建鸭舍？
（2）若墙的长度只有19m，那么鸭舍又该怎样建？
【分析】设鸭舍的宽为xm，则长为（35－2x）m，利用面积这个等量列出方程．
【解答】（1）设鸭舍的宽为xm，则长为（35－2x）m，根据题意得x（35－2x）=150．
解之得x1=10，x2=7.5．
当x=10时，35－2x=15；
当x=7.5时，35－2x=20．
（2）∵墙长只有19m，∴35－2x≤19，
∴x=10，35－2x=15<19符合题意．
∴该专业户可建成宽为10m，长为15m或宽为7.5m，长为20m的鸭舍；如果墙的长度只有19m长，那么鸭舍只能建成宽为10m，长为15m的鸭舍．
想一想
1．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
2．某旅游区每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对旅游区的景点会产生不利影响，但同时考虑旅游区的管理和改善问题，还要保证一定的门票收入．因此，旅游区采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该办法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果要确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
3．某大学为改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地的中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的人行步道，求人行步道的宽度．
4．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
探究点2 数形结合问题
【例2】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒后，△PBQ的面积等于8cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B点后又继续在BC边上前进，Q到C点又继续在CA边上前进，经几秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2？
【分析】（1）利用Rt△BPQ的面积等于8cm2这个等量关系列出方程．
（2）作出△PCQ的边CQ边上的高PD，利用△CDP∽△ABC，求出CD的长，再利用△PCQ的面积等于12.6cm2列出方程．
【解答】（1）设经过x秒后，点P在AB上，点Q在BC上，且△PBQ面积为8cm，根据题意得
（6－x）·2x=8．
解之得x1=2，x2=4．
∴经过2秒或4秒，△PBQ面积为8cm2．
（2）如图，设y秒后，点P移动到BC上，且CP=（14－y）cm．
点Q移到CA上，且CQ=（2y－8）cm，过点P作PD⊥CA于D，则△CPD∽△CAB，
∴．
∵AB=6，BC=8，则AC==10．
∴PD==（14－y）．
根据题意得（2y－8）·（14－y）=12．6，
解之得y1=7，y2=11．
当y=7时，CP=7cm，CQ=6cm；
当y=11时，CP=3cm，CQ=14cm>CA不合题意，舍去．
∴经过7秒，△PCQ的面积为12.6cm2．
【方法技巧】在每一次运动后画出相应的图形，利用数形结合能够比较直观地分析问题．
做一做
5．已知关于x的方程x2－（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．
6．如图，甲，乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B，C同时出发，甲由C点向D点运动，乙由B点向C点运动，甲的速度为1米/秒，乙的速度为2米/秒，若正方形的周长为400米，问几秒后，两人每一次相距20米？
探究点3 新思维新题型
【例3】已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2－1=0 ①
x2+x－2=0 ②
x2+2x－3=0 ③
…
x2+（n－1）x－n=0 （n）
（1）请解上述一元二次方程①，②，③，…，（n）．
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【分析】先解方程①，②，③的根，从中分析规律，再找出第（n）个方程的根．
【解答】（1）方程①的解为x1=－1，x2=1；
方程②的解为x1=－2，x2=1；
方程③的解为x1=－3，x2=1；
…
方程（n）的解为x1=－n，x2=1．
（2）比如：共同点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．
【点评】本例从教材要求的基本知识点出发，探索具有某种特点的方程的解题规律，注意对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
试一试
7．如下表，方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程．
（1）解方程1，并将它的解填在表中的空白处；
（2）若方程=1（a>b）的解是x1=6，x2=10，求a，b的值，该方程是不是表中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程．
（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写的解适合第n个方程？
参考答案
1．设这种药品平均每次降价百分率为x．
根据题意有200（1－x）2=128．
解之得x1=0.2，x2=1.8（舍去）．
答：这种药品平均每次降价的百分率是20%．
2．设一次函数y=kx+b，则有
∴k=－500，b=1200．∴y=－500x+12000．
xy=x·（－500x+12000）=40000．
∴x1=20，x2=4．
当x=20时，y=2000；x=4时，y=10000．
答：每周应限定参观人数2000人，门票价格是20元．
3．设人行步道的宽度为x米，根据题意有
（80－2x）（60－2x）=3500，整理得x2－70x+325=0．
解之得x1=5，x2=65（不合题意，舍去）．
答：人行步道的宽为5米．
4．设将每千克小型西瓜降低x元，列方程得
（3－2－x）（200+）－24=200．
解这个方程得x1=0.2，x2=0.3．
∴每千克小型西瓜售价可降低0．2元或0．3元．
5．（1）△=b2－4ac=（k+2）2－4×2k=k2+4k+4－8k
=k2－4k+4=（k－2）2．
∵（k－2）2≥0，即△≥0．
∴无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）分两种情况讨论．
①若b=c时，则△=（k－2）2=0，
∴k=2，得b+c=k+2=4．
且符合三角形三边的关系，故△ABC周长为5．
②若b，c中有一个与a相等时，设b=a=1，则
12－（k+2）×1+2k=0，∴k=1，b+c=3，c=2．
这与a+b>c矛盾，故a不能为腰．
∴△ABC的周长为5．
6．设x秒后两人第一次相距20米，设CF=x，CE=100－2x，EF=20．
由勾股定理CF2+CE2=EF2得方程：
x2+（100－2x）2=4000．
整理得x2－80x+1200=0．
解之得x1=20，x2=60（舍去）．
答：20秒后两人第一次相距20米．
7．（1）－=1，整理得x2－7x+12=0，
解之得x1=3，x2=4．
经检验知：x1=3，x2=4是原方程的根．
（2）将x1=6，x2=10分别代入=1，得
消除a，整理得b2－17b+60=0，
解得b1=5，b2=12．
当b1=5时，a1=12；当b2=12时，a2=5．
因a>b，故，经检验知：适合分式方程组，所得方程为=1，它是表中所给方程的第4个．
（3）设这列方程的第n个方程为=1（n≥1，n为正整数），它的解为x1=n+2，x2=2（n+1）．
检验：当x1=n+2时，左边==2－1=1=右边；当x2=2（n+1）时，左边==1=右边，所以x1=n+2和x2=2（n+1）是方程=1的解．序号
方程
方程的解(x11
－=1
x1=______,x2=_______
2
=1
x1=4,x2=6
3
=1
x1=5,x2=8
…
…
…