2021学年3 角的度量角的度量教案

第3讲  角的度量

一、思维导图

二、知识梳理

知识点一：线段、直线、射线和角

1.线段有两个端点，可以测量出长度；
2.射线有一个端点，不能测量出长度；
3.直线没有端点，不能测量出长度；
4.线段和射线都是直线的一部分。

知识点二：角的认识和度量

1. 角的认识

从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，用符号“∠”表示。

2.角的度量

用量角器量角的步骤：“两重合、一对应”   
两重合：把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。
一对应：角的另一条边所对的量角器上的刻度 ，就是这个角的度数。
知识点三：角的分类与画角

1.角的分类

角之间的关系：1直角＝90° ，1平角＝180°， 1周角＝360°
锐角直角钝角平角周角

1周角＝2平角＝4直角

2.画角

用量角器画角的步骤：
（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合0°刻度线和射线重合。
（2）在量角器角度刻度线的地方点一个点。
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。
（4）标出所画角的度数。

三、精讲精练

考点一：线段、直线、射线和角

典例分析

【例1】在中，一共有（　　）条线段．

A．5 B．8 C．10

【思路分析】每两个点都可以组成一条线段，所以从左向右分别能组成4、3、2、1条线段，然后相加即可．

【规范解答】解：4+3+2+1＝10（条）

答：一共有10条线段．

故选：C．

【名师点评】此题主要考查通过数线段找规律，线段上的端点为n，线段中共有线段的条数为：1+2+3+…+（n﹣1）．

举一反三

1．“有始有终”常用来形容一个人做事有头有尾、不半途而废．在数学上可以用这个词表示我们本单元所学的（　　）的特征．

A．射线 B．直线 

C．线段 D．以上三个都可以

【思路分析】有头有尾，说明长度是有限的，只有线段的长度是有限的，射线和直线都是无线的，据此选择．

【规范解答】解：“有始有终”这个词表示的是线段的特征．

故选：C．

【名师点评】熟练掌握线段的特征是解题关键．

2．（2019秋•沈阳期末）“中国天眼”是世界上最大单口径的射电望远镜，它可以搜索、接收字宙中的信号．宇宙中的天体发射出的信号可以近似看成（　　）

A．线段 B．射线 C．直线 D．垂线

【思路分析】直线上一点和它一旁的部分叫做射线．依此即可求解．

【规范解答】解：宇宙中的天体发射出的信号可以近似看成射线．

故选：B．

【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．

3．（2020春•怀宁县期末）一个正方形剪去一个角，还剩下（　　）个角．

A．3 B．4 C．5 D．都有可能

【思路分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．由此可知，一个正方形剪去一个角，有3种不同的剪法，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．据此解答．

【规范解答】解：一个正方形剪去一个角，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．

如图：

故选：D．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义及应用．

考点二：角的认识和度量

典例分析

【例2】（2020春•周村区期末）直角是90°，平角是　180　°，周角是　360　°．

【思路分析】依据角的概念及分类就可以作答．小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角；据此解答即可．

【规范解答】解：平角是180°，

周角是360°．

故答案为：180，360．

【名师点评】熟练掌握平角及周角的含义是解题的关键．

举一反三

1．（2019秋•武川县期末）如图中有　3　个锐角，　1　个直角，还有　钝　角，有　2　个．

【思路分析】大于0°、小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°，小于180°的角叫做钝角，据此即可解答．

【规范解答】解：观察图形可知：

锐角有：3个

直角有：1个

钝角有：2个

所以如图中有3个锐角，1个直角，还有钝角，有2个．

故答案为：3，1，钝，2．

【名师点评】熟练掌握锐角、直角、钝角的概念，是解答本题的关键．

2．一般用　量角器　来测量角的大小．把圆分成360等份，每一份所对的角的大小是　1°　．

【思路分析】测量角的大小，一般用量角器．量角器是把一个圆周角平均分成360°，每一份所对应的角的大小就是1°．

【规范解答】解：一般用量角器来测量角的大小．把圆分成360等份，每一份所对的角的大小是1°．

故答案为民：量角器，1°．

【名师点评】此题主要是考查量角器的认识．

3．∠1的度数如图所示，∠2和∠1组成了一个直角，那么∠2＝　25　°．

【思路分析】观察可知，∠1的度数是65度，因为∠1与∠2组成一个直角，而直角等于90°，于是用90°﹣65°即可求出∠2的度数．

【规范解答】解：90°﹣65°＝25°

所以已知，∠2和∠1组成了一个直角，那么∠2＝25°

故答案为：25．

【名师点评】此题主要依据直角的定义解决实际问题．

考点三：角的分类与画角

典例分析

【例3】周角的度数是平角的　2　倍，直角的一半是　45　度．

【思路分析】根据直角、平角和周角的含义解答：等于90°的角是直角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角，用周角的度数除以平角的度数，用直角的度数除以2，解答即可

【规范解答】解：360°÷180°＝2

90°÷2＝45°

故答案为：2、45．

【名师点评】此题应根据直角、平角和周角的含义进行解答．

举一反三

1．（2019秋•丹江口市期末）在如图中一共有　4　个角，其中钝角有　1　个，锐角有　1　个，直角有　2　个．

【思路分析】依据角的概念，及有公共端点的两条射线所围成的图形叫做角，即可数清图中角的数量；再分别依据直角、钝角、锐角的概念，即可将图中的角进行分类．

【规范解答】解：在如图中一共有4个角，其中钝角有1个，锐角有1个，直角有2个；

故答案为：4，1，1，2．

【名师点评】此题考查了角的认识，理解和掌握锐角、直角、钝角的含义，是解答此题的关键．

2．连线．

【思路分析】依据角的概念及分类就可以作答．小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角．

【规范解答】解：

【名师点评】此题主要考查角的概念及分类．

3．画出一个比周角小200°的角．

【思路分析】周角＝360°，画一个比周角小225°的角是：360°﹣200°＝160°，然后根据角的画法：

①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；

②对准量角器160°的刻度线点一个点（找点）；

③把点和射线端点连接，然后标出角的度数；

【规范解答】解：周角＝360°，画一个比周角小200°的角是：360°﹣200°＝160°，

．

【名师点评】此题考查了画指定度数的角，知道周角是等于360°是解答此题的关键．

四、巩固提升

一．选择题（共6小题）

1．（2019•娄底模拟）下面的角中，能用一副三角尺画出来的是（　　）

A．10度 B．15度 C．20度 D．25度

【思路分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，可得到的角有60°﹣45°＝15°，60°+45°＝105°，60°+90°＝150°，90°+45°＝135°，90°+30°＝120°，30°+45°＝75°，据此解答．

【规范解答】解：因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，可得到的角有60°﹣45°＝15°，60°+45°＝105°，60°+90°＝150°，90°+45°＝135°，90°+30°＝120°，30°+45°＝75°；

所以给出的角度中只能拼出15度的角．

故选：B．

【名师点评】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，关键是明确三角板上的角的度数．

2．（2019秋•无棣县期末）下面说法错误的是（　　）

A．一条直线长100米 

B．手电筒照出来的光线是射线 

C．钟面上5时整，分针和时针成钝角 

D．角的两边又开的越大角越大

【思路分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．

【规范解答】解：A、一条直线长100米，说法错误，因为直线无限长，不可以度量；

B、手电筒照出来的光线是射线，说法正确；

C、钟面上5时整，分针和时针成150度，是钝角，说法正确；

D、角的大小和两边叉开的大小有关，角的两边张开越大，角越大，说法正确；

故选：A．

【名师点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累．

3．（2019秋•西城区期末）把一张圆形纸对折三次，展开后得到的最小角的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【思路分析】把这张圆形纸片对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角＝180°，再对折1次，就是把平角平均分成2分，每份是90°，再对折1次，就是把90°的角再平均分成2份，每份是45°．

【规范解答】解：根据分析可得：

把一张圆形纸对折三次后展开，得到的最小角是45度．

故选：B．

【名师点评】本题是考查简单图形的折叠问题．

4．（2018秋•平泉市期末）一副三角板可以拼成不同的角，下面的角不可能拼成（　　）

A．75 B．105 C．周角 D．平角

【思路分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，把它们进行组合解答．

【规范解答】解：一副三角板中各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，

A、75°的角可由45°和30°的角拼得；

B、105°的角可由60°和45°拼得；

C、周角不能拼得；

D、平角可由90°和90°的角拼得．

故选：C．

【名师点评】本题考查了学生用三角板中的角进行拼组能成多少度角的知识．

5．（2019秋•新疆期末）下列线中，线段是（　　）

A． B． 

C． D．

【思路分析】根据直线、线段和射线的含义：线段：有两个端点、它的长度是有限的；直线：没有端点、它是无限长的；射线：有一个端点，它的长度是无限的；据此判断即可．

【规范解答】解：选项A、B、C都不是线段，C是线段；

故选：C．

【名师点评】解答此题应根据直线、射线和线段的特点进行解答即可．

6．从平角的顶点引出一条射线，把平角平均分成两个角，这时所分成的角是（　　）

A．一个锐角和一个钝角 B．两个锐角 

C．两个钝角 D．两个直角

【思路分析】从平角的顶点引出一条射线，把平角平均分成两个角，180°÷2＝90°，据直角、平角的含义解答：等于90°的角是直角；等于180°的角是平角．

【规范解答】解：180°÷2＝90°；

90°的角是直角；

故选：D．

【名师点评】此题应根据直角、平角的含义进行解答．

二．填空题（共6小题）

7．（2019秋•孝昌县期末）3时整，时针与分针夹角是　90　度，7时整，时针与分针较小的夹角是　150度　．

【思路分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．

【规范解答】解：3点整，时针指向3，分针指向12，

钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，

因此3点整分针与时针的夹角正好是3×30°＝90°；

7点整，时针指向7，分针指向12，

因此7点整分针与时针的夹角正好是5×30°＝150°．

故答案为：90；150度．

【名师点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，利用时针和分针的位置关系建立角的图形．

8．（1）一般情况下，画一个角主要可以分为　三个　步骤．

（2）画角时，先画一条射线，使量角器的中心和　射线的端点　重合，0刻度线和射线重合．

（3）按照要求的度数，在　量角器所画角刻度线的地方　点上一个点．

（4）以画出的射线的　端点　为端点，通过刚画的点，再画一条射线．

【思路分析】根据角的画法分为三个步骤：

（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，

（2）在量角器所画角刻度线的地方点一个点．

（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．

据此解答即可．

【规范解答】解：（1）一般情况下，画一个角主要可以分为三个步骤．

（2）画角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合．

（3）按照要求的度数，在量角器所画角刻度线的地方点上一个点．

（4）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．

故答案为：三个；射线的端点；量角器所画角刻度线的地方；端点．

【名师点评】解决本题关键是熟练掌握角的画法步骤．

9．（2019秋•五峰县期末）图中有　4　个锐角，　4　直角，　4　个钝角．

【思路分析】直角：90°的角；

锐角：大于0°小于90°的角，即小于直角的角叫做锐角；

钝角：大于90°小于180°的角，即大于直角且小于平角的角叫做钝角．

由此数出各种角的个数．

【规范解答】解：

图中有 4个锐角，4直角，4个钝角．

故答案为：4，4，4．

【名师点评】解决本题关键是掌握锐角、钝角和直角的含义，数角时注意数清组合角．

10．三角板上的角有　90°　、　60°　、　45°　、　30°　．

【思路分析】三角板上的角有90度，60度，45度，30度，据此解答．

【规范解答】解：三角板上的角有 90°、60°、45°、30°．

故答案为：90°，60°，45°，30°．

【名师点评】此题主要考查三角板上的角的度数，要熟记．

11．认真分一分．（填序号）

　④　是直线，　①　是射线，　②　是线段，　⑤　是直角，　⑦　是锐角，　⑧　是平角，　⑨　是周角，　⑥　是钝角．

【思路分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；根据平角、直角、锐角、钝角、周角的含义：平角：180°的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角；直角：90°的角，即线OA绕点O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；锐角：大于0°小于90°的角，小于直角的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角．周角：360°的角，即射线OA绕点O旋转，当终边与始边重合时所成的角．进而进行判断即可．

【规范解答】解：

④是直线，①是射线，②是线段，⑤是直角，⑦是锐角，⑧是平角，⑨是周角，⑥是钝角．

故答案为：④，①，②，⑤，⑦，⑧，⑨，⑥．

【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．

12．（2019秋•铜官区期末）钟面上，分钟转动360度，相应地时针转动　30　度．从7：00走到7：15，分针转动了　90　度．

【思路分析】（1）钟表上分针每转动一周，时针转动1小时，也就是1大格，钟面上一共有12个大格，用360度除以12，即可求出1大格的度数，也就是时针转动的数；

（2）分针60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°，钟面上从7：00到7：15，共经过15分钟，用每分钟转动的度数乘15分钟即可求解；

【规范解答】解：（1）360÷12＝30（度）

（2）360÷60×15

＝6×15

＝90（度）

答：分钟转动360度，相应地时针转动 30度．从7：00走到7：15，分针转动了 90度．

故答案为：30，90．

【名师点评】本题考查了钟面上的路程问题．

分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°；

时针：12小时转一圈，每小时转动的角度为：360°÷12＝30°，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．

三．判断题（共5小题）

13．把一条10厘米长的线段向两端各延长1米，得到的是一条直线．　×　（判断对错）

【思路分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长；据此解答即可．

【规范解答】解：把一条10厘米长的线段向两端各延长1米，得到的是一条线段．原题干说法错误．

故答案为：×．

【名师点评】熟练掌握直线和线段的含义是解题的关键．

14．（2019秋•天峨县期末）角两边的两条射线越长，角的度数就越大．　×　（判断对错）

【思路分析】由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关；据此判断．

【规范解答】解：角的大小与边的长短无关，所以角两边的两条射线越长，角的度数就越大说法错误；

故答案为：×．

【名师点评】本题考查角的定义．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．角的大小与边的长短无关．

15．把一个30°的角放在一个5倍的放大镜下，看到的角还是30°．　√　（判断对错）

【思路分析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关．

【规范解答】解：把一个30°的角放在一个5倍的放大镜下，看到的角还是30°，所以原题说法正确；

故答案为：√．

【名师点评】解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变边的长度，而不能改变角的大小．

16．两条线可以组成一个角．　×　（判断对错）

【思路分析】根据角的意义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角．形成角的两条线须有一个公共点，如果两线有公共点，可以形成角，否则不能形成角．

【规范解答】解：在同一平面内不平行的两条线可以组成角．

原题说法错误．

故答案为：×．

【名师点评】两条线要想组成角，必须满足两个条件：一是在同一平面内；二是相交．

17．要准确测量一个角的大小，应该用1°的角作单位来量．　√　（判断对错）

【思路分析】要准确知道一个角的大小，可以用量角器测量，度是常用的计算量单位，用符号“°”表示．

【规范解答】解：量角的大小，要用到量角器，它是把一个半圆平均分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记做1°，应该用1°的角作单位来量，原说法正确．

故答案为：√．

【名师点评】此题是考查角的计量单位的认识，属于基础知识．

四．应用题（共4小题）

18．量出如图中各角的度数，并求出它们的和．

【思路分析】用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和其中一条边重合，另一条边指向的刻度，就是这个角的度数．

【规范解答】解：

30+30+150＝180°．

【名师点评】本题考查了学生运用量角器测量角的度数的能力．

19．小熊要回家，走哪条路最近？为什么？

【思路分析】根据两点之间线段最短的性质，走先到北山再到小熊家的路最近．

【规范解答】解：走先到北山再到小熊家的路最近，因为两点之间线段最短．

【名师点评】此题主要考查两点之间线段最短的性质的灵活应用．

20．钟表上当时间为8：00时，分针与时针的夹角是多少度？

【思路分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，解答此题根据某个时刻分针与时针的夹角，则看夹了多少个时刻度数，从而可以求解．

【规范解答】解：8时整，时针指着8，分针指着12，之间有4个大格是30°×4＝120°，所以8时整时针和分针成120度角；

答：分针与时针的夹角是120度．

【名师点评】在学习角的时候，渗透了钟表的认识，解答此题的关键是看钟面上12个时刻将钟面分成了12份，每份是30度，再看要求的是什么时刻，用时刻数乘30度即可．

21．（2019秋•临漳县期中）如图，一张纸上画了一个角，不过角的顶点处被撕掉了．现在你能想办法量出这个角的度数吗？

【思路分析】根据角的意义，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，或者说，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．也就是说，角的两边是以角的顶点为公共端点的两条射线，反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器即可量出这个角的度数．

【规范解答】解：如图

反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器即可量出这个角的度数．

量得这角的度数是40°．

【名师点评】此题考查的知识点有：角的意义、用量角器度量角的方法．

五．操作题（共3小题）

22．连线．

【思路分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而进行判断即可．

【规范解答】解：解答如下

【名师点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．

23．（2018秋•金乡县期末）在方格图上画一个比直角大的角．

【思路分析】画一个比直角大的角，可以画钝角，画钝角时，先点一点，再从这点出发画两条边，要注意两边张口要比直角大．

【规范解答】解：比直角大的角，可以画钝角．画图如下：

【名师点评】考查了画钝角，是基础画图． 钝角：大于90°而小于180°的角．

24．龙一鸣要在如图的量角器上画一个50°的角，现在他已经画好了顶点和一条边，请你画出这个角的另一条边，并在图上标出度数．

【思路分析】量角器的一边指向60°，要画一个50°的角，这边的位置已确定，50°＝60°﹣10°，这个角的另一边可与10°刻度线重合；60°+50°＝110°，这个角的另一边可与110°刻度线重合．

【规范解答】解：

或

【名师点评】用量角器画已知角的方法是：先画射线，把量角器的中心与射线的顶点重合，0刻度线与射线重合，过量角器上表示与已知角度数相等的刻度画与原来射线是公共顶点的射线，两射线所成的角就是与已知角相等的角．如果量角器的0刻度线看不清，可用两个刻度之差画（如本题）．

六．解答题（共2小题）

25．（2018秋•单县期末）写出下面各角的度数．

【思路分析】用量角器进行测量，方法是：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．

【规范解答】解：如图所示：

【名师点评】此题主要是考查根据角的度量方法正确量出角的度数．

26．按要求画线，再回答问题．

（1）画出线段AB；

（2）画出射线BC；

（3）画出直线AC．

画好的图形中，有　4　个锐角，　3　个钝角．

【思路分析】（1）（2）（3）根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；据此画图即可．

（4）大于0°小于90°的角叫做锐角，大于90°小于180°的角叫做钝角．

【规范解答】解：

画好的图形中有4个锐角，3个钝角．

答：画好的图形中有4个锐角，3个钝角．

故答案为4，3．

【名师点评】本题主要考查了直线、射线、线段的画法以及角的分类．