北京市朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版） (1)

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北京市朝阳区中国人民大学附属中学朝阳学校2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题
一．选择题(共8小题)
1.抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（　　）
A. 直线x＝1 B. 直线x＝﹣1 C. 直线x＝2 D. 直线x＝﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，即可得到答案.
【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线x＝1，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
2.“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断．
【详解】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式.
【详解】，
.
故选：.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
4.抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是；由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移2个单位所得的抛物线的表达式.
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
5.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为(　　)

A. 35° B. 55° C. 65° D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】
由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
【详解】∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
7.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）

A ﹣4 B. ﹣2 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
详解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．

点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：
8.两位同学在足球场上游戏，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB，小王从点A出发沿线段AB运动到点B，小林从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示，结合图象分析，下列说法正确的是（ ）

A. 小王的运动路程比小林的长
B. 两人分别在秒和秒的时刻相遇
C. 当小王运动到点D的时候，小林已经过了点D
D. 在秒时，两人的距离正好等于的半径
【答案】D
【解析】
【分析】
利用图象信息一一判断即可解决问题．
【详解】A、小王的运动路程比小林的短，故本选项不符合题意；
B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；
C、当小王运动到点D的时候，小林还没有经过了点D，故本选项不符合题意；
D、当小王运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t==4.84，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查动点问题函数图象、解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
二．填空题(共8小题)
9.方程x2﹣2x＝0的根是_____．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【详解】因式分解得x（x﹣2）＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
故答案x1＝0，x2＝2．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
10.如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．
【详解】解：如图，

∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝．
故答案为2
【点睛】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．
11.如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的方程的解为_______________ .

【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【解析】
【分析】
关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到答案．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=﹣3，x2=1．
故答案为x1=﹣3，x2=1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
12.一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是_____．

【答案】24
【解析】
【分析】
设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，证明△AEC∽△BFA，利用相似比得到BF＝x，CE＝x，在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+（x）2＝82，则x2＝，然后根据三角形面积公式计算Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和．
【详解】设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，
∵AE∥BD，
∴∠CAE＝∠B，
而∠AEC＝∠AFB＝90°，
∴△AEC∽△BFA，
∴＝＝，即＝＝，
∴BF＝x，CE＝x，
在Rt△ACE中，x2+（x）2＝82，
∴x2＝，
∴Rt△AEC和Rt△AFB面积之和＝•x•x+•x•x＝x2＝×＝24．
故答案为24．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了正方形的性质．
13.如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验结果.

那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 _________“凹面向上”的可能性.（填“大于”，“等于”或“小于”）.
【答案】小于
【解析】
【分析】
根据图形中的数据即可解答本题．
【详解】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，
∴凸面向上”的可能性 小于“凹面向上”的可能性．，
故答案为小于．
【点睛】本题考查模拟实验，可能性的大小，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
14.若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a_____b（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【答案】＜．
【解析】
【分析】
先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系.
【详解】的对称轴为，开口方向向上，顶点坐标为（0，-5）．
∵对于开口向上的函数，点距离对称轴越近，函数值越小，2比3距离对称轴更近，
∴
故填：<.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键.
15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是　_____________________ 　．

【答案】②④
【解析】
【分析】
①根据图像开口即可判断a的正负；②根据a的正负和对称轴在y轴右侧可判断b的正负；③根据图像可知当x=2时，y的正负；④根据点b的坐标即可判断.
【详解】①因为图像开口向下，所以a<0，所以①错误；
②因为a<0，对称轴在y轴右侧，根据左同右异原则，所以b>0，所以②正确；
③因为点B的坐标为（4,0），所以x=2的图像在y轴右侧与B点之间，所以4a+2b+c>0,所以③错误；
④因为ED是对称轴，所以AD=BD，所以AD+CE=BD+CE=OB，因为点B的坐标为（4,0），所以OB=4，即AD+CE=4，所以④正确；
综上答案为②④
【点睛】本题考查的是二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键.
16.如图，一段抛物线：y＝x(x﹣2)(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形．
(1)请写出抛物线C2的解析式：_____．
(2)若点P(4037.5，a)在图形G上，则a＝_____．

【答案】 (1). (2). 0.75
【解析】
【分析】
（1）利用交点式得到A1（2，0），利用旋转的性质得A2（4，0），然后利用交点式写出抛物线C2的解析式；
（2）利用4037.5＝2018×2+1.5可判断点P在抛物线C2019上，而它的解析式为y＝（x﹣4036）（x﹣4038），然后计算把x＝4037.5对应的函数值即可．
【详解】（1）抛物线C1的解析式为y＝x（x﹣2），则A1（2，0），
根据旋转的性质得A1A2＝OA1＝2，则A2（4，0），
抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；
（2）∵4037.5＝2018×2+1.5，
∴点P（4037.5，a）在抛物线C2019上，而抛物线C2019的解析式为y＝（x﹣4036）（x﹣4038）
把x＝4037.5代入得a＝（4037.5﹣4036）（4037.5﹣4038）＝0.75．
故答案为；0.75．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三．解答题(共12小题)
17.解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
【答案】x1＝5，x2＝﹣1
【解析】
【分析】
用配方法解一元二次方程即可.
【详解】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，
即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解决此题的关键.
18.下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：直线l．

求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图，

①在直线l上任取两点O，A；
②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；
③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：在⊙O中，AB为直径，
∴∠ACB＝90°（① 　），（填推理的依据）
连接OC
∵OA＝OC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°（②　 　），（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）①直径所对的圆周角是直角；②直角三角形两锐角互余
【解析】
【分析】
（1）根据小明设计的尺规作图过程，用直尺和圆规作图即可；
（2）证明思路为：由圆周角定理可得，再连接OC，根据等圆的半径相等可得，再根据等边三角形的性质可得，最后根据直角三角形的性质即可证.
【详解】（1）根据小明设计的尺规作图过程，用直尺和圆规作图结果如下所示：

（2）在⊙O中，AB为直径
（①直径所对的圆周角是直角）
连接OC


（②直角三角形两锐角互余）
故答案为：①直径所对的圆周角是直角；②直角三角形两锐角互余.
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
19.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：

…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…

…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，直接写出的取值范围．

【答案】(1)；(2)见解析；(3)当时，的取值范围是．
【解析】
【分析】
（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为,（-1，-4），则可设顶点式y=a（x+1）²-4，然后把点（1.-3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x=-4,-2时的函数值即可写出y的取值范围．
【详解】(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；
(2)如图所示：

(3)∵，
∴当时，，
当时，，
又对称轴为直线，
∴当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的取值范围.
20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是　 　；
(2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率(卡片名称可用字母表示)．

【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式计算即可；（2）先画树状图得出所有可能的结果，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；
（2）画树状图：

共有12种情况，其中符合题意的有8种，
∴
【点睛】简单事件的概率．
21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系
(1)点A的坐标为　 　，点C的坐标为　 　．
(2)以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标　 　，　 　．

【答案】（1）（2，8），（6，6）；（2）作图见解析，（﹣8，2），（﹣6，0）
【解析】
【分析】
（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；
（2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到△A1B1C1．
【详解】（1）如图所示，A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；
故答案为：

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1和B1的坐标分别为（﹣8，2），（﹣6，0）．
故答案为：（﹣8，2），（﹣6，0）．
【点睛】本题考查了旋转变换作图，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
22.关于x的一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.
(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值.
【详解】(1)证明：依题意，得

．
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根．
由．
可化为：
得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴ 的最小值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.
23.如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.

(1)求证:四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
【答案】(1)见解析；(2) OF =
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．
【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF=AC=.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
24.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：
刹车时车速(千米/时)
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离(米)
0
0.1
0.3
0.6
1
1.6
2.1


（1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）汽车已超速行驶．
【解析】
【分析】
（1）依题意描点连线即可．
（2）设抛物线为，解出a，b即可．
（3）当x=100时，代入函数关系式解出y，比较即可．
【详解】（1）如图所示；

（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为．
选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得
解得
∴二次函数的表达式为．
代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式．
（3）∵当x=100时，y=21<40，
∴汽车已超速行驶．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
25.如图，在△ABC中，，°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至，连接．已知AB2cm，设BD为x cm，B为y cm．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：


0.5
0.7
1.0
1.5
2.0
2.3

1.7
1.3
1.1

0.7
0.9
1.1

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段的长度的最小值约为__________；
若，则的长度x的取值范围是_____________．
【答案】（1）0.9；（2）详见解析；（3）0.7，.
【解析】
试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当取0.7和2.3时，对应的的值是相等的，而在轴上0.7和2.3这两个数是关于1.5对称的，1.0和2.0也是关于1.5对称的，由此可知当时，；
（2）把（1）中所得结果在坐标系描出点（1.0，0.9），并用平滑的曲线连接所有描出的点，即可得到该函数的图象；
（3）①观察图象可知，该函数的图象是一根抛物线，其对称轴为直线，由此可知的最小值为0.7，即线段BD′的最小值约为0.7；②观察（2）中所得函数图象、分析表格中的数据可知当BD′BD，即时，的取值范围约为：.
试题解析：
（1）∵当和时，的值都为，
∴函数图象是这两个点是对称的，对称轴为直线，
又∵也是关于直线对称的，
∴当时，；
（2）根据（1）所得结果在坐标系描出点（1.0，0.9），并顺次用平滑曲线连接图中各点得到如下图所示的函数图象：

（3）①结合（1）、（2）可知，该函数是一个二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，结合表格中的数据可知，的最小值为0.7，即线段BD′的最小值约为0.7cm；
②观察（2）中所得函数图象、分析表格中的数据可知：当BD′BD，即时，的取值范围约为：.
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n(m≠0)与x轴交于点A，B，点A的坐标为(﹣2，0)．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)直线过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）①直线所对应的函数表达式为，抛物线所对应的函数表达式为；②
【解析】
【分析】
（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；
（2）①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；
②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．
【详解】（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y＝mx2﹣2mx+n，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
（2）①∵抛物线是轴对称图形，
∴点A、B关于直线x＝1对称．
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（4，0）．
∵抛物线y＝mx2﹣2mx+n过点B，直线y＝x﹣4m﹣n过点B，
∴，
解得：，
∴直线所对应的函数表达式为，抛物线所对应的函数表达式为．
②联立两函数表达式成方程组，，
解得：，．
∵点B的坐标为（4，0），
∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．
当直线l2：y＝﹣x+b1过点B时，0＝﹣4+b1，
解得：b1＝4，
∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x+4，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，
∴点P1的坐标为（1，3）；
当直线l2：y＝﹣x+b2过点C时，﹣＝3+b2，
解得：b2＝﹣，
∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x﹣，
当x＝1时，y＝﹣x﹣＝﹣，
∴点P2的坐标为（1，﹣）．
∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为

【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时点P的坐标．
27.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=，则GE的长为_____，并简述求GE长的思路．

【答案】(1)①答案见解析；②BC=CG，理由见解析； (2) ．
【解析】
【分析】
（1）①依题意补全图形，如图1所示；
②判断出△BAD≌△CAF即可；
（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD=CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示，

②BC⊥CG，BC=CG；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CG；
∵点G是BA延长线上的点，
BC=CG
（2）如图，

∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF﹣∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BC⊥CF；
∵AB=，BC=CD=CG=GF=2，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=，
∴在Rt△AGH中，根据勾股定理的，DG=2，
∵AD=，
∴AH=，HG=，
∴GI=AD﹣HG=，
∴GE=
故答案为．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出角相等．
28.在平面直角坐标系xOy中，A(t，0)，B，对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．
(1)若，在点C(0，)，D，E中，线段AB的“等角点”是　 　；
(2)直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是(6，0)，∠OMN＝30°．
①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；
②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是　 　．

【答案】（1）C、D；（2）①，②∠AQB＝90°，③
【解析】
【分析】
（1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、D、E点是否满足“等角点”的条件即可得出结论；
（2）①画出点N在y轴正半轴时图形，通过角的计算得出∠PAB＝∠OMN，从而得出“PA＝PM，AB＝BM”，再通过解直角三角形即可得出P点的坐标，同理可得出点N在y轴负半轴时的P点的坐标；②通过角的计算找出∠BMQ＝∠MQB＝30°，再结合外角的性质得出BQ＝BM＝AB即得出△ABQ是等边三角形，从而得出结论，同理点N在y轴负半轴时，结论相同；
（3）通过构建与y轴以及与线段MN相切的圆，找出点A与点B的临界点，求出此时的t值，从而得出线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围．
【详解】（1）当t＝﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），
∵点C（0，），OC＝＝AB，且点O为线段AB的中点，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，点C是线段AB的“等角点”；
∵点D（，1），B、D横坐标相等，
∴BD⊥x轴于点B．
∵AB＝﹣（﹣）＝，BD＝1﹣0＝1，tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝60°，点D是线段AB的“等角点”；
∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，
∴AE⊥x轴于点A．
∵AB＝﹣（﹣）＝，AE＝﹣0＝，tan∠AEB＝＝，
∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．
综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．
故答案为：C、D．
（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，

∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝30°，
又∵∠OMN＝30°，
∴PA＝PM，AB＝BM．
∵AB＝，
∴BM＝，
∴PB＝1．
∴P（6﹣，1）．
当点N在y轴负半轴时，同理可得点．
②当点N在y轴正半轴时，如图2，

∵BQ⊥AP，且∠APB＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴∠ABQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠MQB＝30°，
∴BQ＝BM＝AB，
∴△ABQ是等边三角形．
∴∠AQB＝60°．
当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB＝90°．
③以AB＝做底，AO′＝BO′为腰，∠AO′B＝120°作三角形，如图3所示．

∵AO′＝BO′，AB＝，∠AO′B＝120°，
∴AO′＝1，O′O″＝．
（i）以直线y＝上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，

此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB＝1﹣，
即t＝1﹣；
（ii）以直线y＝上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．

∵M′F＝，∠OMN＝30°，
∴MF＝＝．
∵O′D＝1，∠O′M′D＝∠OMN＝30°，
∴O′M′＝＝2．
此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB＝4，
∴t+＝4，t＝4﹣．
综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、角的计算、解直角三角形、切线的性质以及等腰（等边）三角形的性质，解题的关键：（1）通过三角形的计算找出角的值；（2）①通过解直角三角形求出点P的坐标；②找出△ABQ是等边三角形；③通过相切寻找临界点．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（2）中③难度不小，在寻找A、B点的过程中，通过构建满足条件的圆，来寻找临界点，解题过程不难，但是点的寻找比较困难，此处与切线的性质联系较大，在日常练习中应加强训练．