北京市中国人民大学附属中学丰台学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023-2024学年度第一学期初三年级练习2

数学

考生须知

1．本练习共三道大题28小题，共6页，满分100分．练习时间120分钟．

2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号．

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．

5．考试结束，将答题卡交回．

一、单选题（每题2分，共16分）

1．抛物线的顶点坐标是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．若是一元二次方程的两个根．则的值为（    ）

A．3    B．10    C．    D．

6．下列关于二次函数的说法正确的是（    ）

A．它的图象经过点              B．它的图象的对称轴是直线

C．当时，随的增大而减小       D．当时，有最大值为0

7．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如下表所示：

则表格中的值应为（    ）

A．    B．0    C．1    D．3

8．如图，在中，，动点、分别从两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为，点之间的距离为的面积为，则与与满足的函数关系分别是（    ）

A．正比例函数关系，一次函数关系         C．一次函数关系，正比例函数关系

B．正比例函数关系，二次函数关系         D．一次函数关系，二次函数关系

二、填空题（每题2分，共16分）

9．一元二次方程的解为____________．

10．请写出一个开口向下，且与轴的交点坐标为的抛物线的表达式：____________．

11．抛物线的对称轴是直线，则的值为____________．

12．已知抛物线经过点，则与的大小关系为____________．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为____________．

14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为____________．

15．下图是，二次函数的图象，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是____________．

16．如图，一条抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点的坐标分别为，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为____________．

三、解答题（本题共68分．第17题8分，第18-25题每小题5分，第26题每6分，第27-28题每题7分．）

17．解方程：（1）    （2）

18．计算：

19．解不等式组

20．已知是方程的一个根，求的值．

21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得成立？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．

22．北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为的彩带紧紧围在一块面积为的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠），设矩形展板的一边长为．

（1）另一边的长为____________（用含的式子表示）；

（2）求矩形展板的两条边长；

（3）以同样的方式，用长为的彩带能紧紧围在-块䤄积为的矩形展板四周吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．

23．已知二次函数．

（1）将二次函数化成的形式；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象

（3）当时，直接写出的取值范围．

24．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求的长．

25．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的鉦，直接写出的取值范围．

26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

（1）直接写出的值和此抛物线的对称轴；

（2）若此抛物线与直线没有公共点，求的取值范围；

（3）点在此抛物线上，且当时，都有．直接写出的取值范围．

27．矩形中，点是对角线上的一个动点（点不与点重合），分别过点向射线作垂线，垂足分别为点，点为的中点．

     图1                         图2

（1）如图1，当点与点重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明；

（2）当点运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，并加以证明．

28．点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为．特别的，当点在的边上时，．

在平面直角坐标系中，．

    图1              图2                   备用图

（1）如图1，若，则____________，____________；

（2）在正方形中，点．

①如图2，若点在直线上，且，求点的坐标；

②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象，若点在图象上，且满足的点有且只有两个，请直接写出的取值范围．

参考答案

1．A  2．B  3．A  4．A   5．D  6．C  7．A  8．D

9．     10．（答案不唯一）    11．-4    12．>    13．

14．       15．               16．-5