第3讲 二次函数图像性质题型-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

这是一份第3讲 二次函数图像性质题型-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共11页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，答案详解等内容，欢迎下载使用。

1.看图第一步：补图（交点、对称点）-------影响“ x 的特殊值的取值”
①题目给的图形不完整的
②题目没配图的
2.看图第二步：看图得性质
（1）直接看图得性质
①a的正负性----看开口方向：开口向上a>0、开口向下a<0；
b的正负性----看对称轴“左同右异”：在y轴左侧a,b同号、在y轴右侧a,b异号；
c的正负性----看与y轴交的位置：交y轴正半轴c>0、交y轴负半轴c<0；
②△(b2-4ac)的正负性---看与x轴的交点个数：有两个交点△>0、一个交点△=0、无交点△<0；
③a,b的数量关系-----用对称轴：x=-b2a；
（2）“特殊值法”+“对称轴”+“等量代换”变形
④a,b,c正负性或数量关系；
⑤b与c、a与c数量关系的正负性；
⑥单独a、b、c的范围---换成两个字母的等量关系，利用题目条件可判别
⑦注意一种最简单的情形：利用正负性判别以上各条；
（3）“平方”还在的
⑧y1与y2(如ax2+bx+c-x>0)的大小比较时x的取值范围------看一个图像在另一个图像上(或下)方的那部分图像(即交点左侧或右侧那部分图像x的取值范围)；
⑨“am2+bm+c＜a﹣b+cm≠1”表示：“m取其它值时的y值都要比m取最大值时的y值要小”
⑩“ax2+bx+c=m”表示的意思是：“抛物线y= ax2+bx+c与直线y=m有无交点”
【强化巩固练习】
1.已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则
a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3
2.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③B．①②③C．①④D．②③④
3.已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2﹣4ac＜0D．ab＞0
4.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，
②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象经过点(1,2)，与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，其中-1A. a<-1 B. b>2
C. 2a+b>0 D. k为任意实数，关于x的方程ax2+bx+c+k2=0没有实数根
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①abc＞0；②b2－4ac＜0；③2a＞b；④(a＋c)2＜b2；⑤a－2b＋4c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x正半轴交于A,B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论，其中正确的个数有（ ）个
①abc>0；②9a+3b+c<0；③c>-1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1a.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0 B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．2a﹣b＝0 D．方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3
9.二次函数y=ax2+bx+c的图像如右图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. abc<0 B. 3a+c<0 C. 当x=t时，y>0,若x=t-4，则y<0 D. a(x2-1)+b(x-1)>0
10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：
①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1
＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．
其中正确结论的序号为 ．
11.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案详解】
1.【解析】
∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣-2a2＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．故选：D．
2.【解析】
依照题意，画出图形如下：
(1)∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①正确，
(2)∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，
故②错误；
(3)∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1 y＝ax2+bx+c，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，
故③错误；
(4)当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，
当x＝3时，y有最小值为16a+n，
故④正确，
故选：C．
3.【解析】
(1)∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x1+x22＝2，即x1+x2＝4＞0，
故选项A错误；
(2)∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，
故选项B正确；
(3)∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故选项C错误；
(4)∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣b2a＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，
故选项D错误；
故选：B．
4.【解析】
(1)∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故①错误；
(2)对称轴为x＝﹣＜1，
得2a＞﹣b，
即2a+b＞0，
故②错误；
(3)如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故③正确；
(4)∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，
即3a+c＞0．
故④正确．
综上所述，有2个结论正确．故选：B．
5. 【解析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
（1）∵图象经过点(1,2)，
∴当x=1时，a+b+c=2①．
∵当x=-1时，y<0，
∴a-b+c＜0②，
∵当x=2时，y<0，4a+2b+c＜0③，
由①+②得到2a+2c＜2，
由③-①×2得到2a-c＜-4，
即4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
即A选项是正确的；
（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)经过点(1,2)，代入则有a+b+c=2，
∴a+c=2-b，
∵当x=-1时，则a-b+c＜0，
∴2-b-b<0，
解得b>1．
即B选项错误；
（3）∵对称轴x=-b2a<1（不管抛物线与x轴的交点横坐标处于哪个极端值，对称轴满足0<-b2a<1），
且a<0，
∴-b>2a，
即2a+b<0，
所以C选项错误；
（4）由方程ax2+bx+c+k2=0，
得ax2+bx+c=-k2，
令y1=ax2+bx+c，y2=-k2，
即方程ax2+bx+c+k2=0根的情况可转化为抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=-k2的交点情况．
∵y2=-k2≤0
，∴抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=-k2一定有两个交点，
即方程ax2+bx+c+k2=0有两个不相等的实数根．
所以D选项错误．
故选A．
6． 【解析】
由开口方向可知a<0，由对称轴“左同右异”可知b<0，与y轴交于下半轴可知c>0
（1）则abc>0,①正确；
（2）图像与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，②错误；
（3）对称轴y=-b2a>-1可得b2a<1可得b>2a，③错误；
（4）原式可变形为(a+c)2-b2<0，即(a+b+c)(a-b+c)<0；
由图可知当x=1时a+b+c<0，
当x=-1时，a-b+c>0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,
④正确；
（5）a-2b+4c=2(a-b+c)-a+2c,
∵a-b+c>0, -a >0, 2c>0,
∴2(a-b+c)-a+2c>0，
⑤正确
综上所述，正确结论是①④⑤，选C
7.【解析】
(1)由抛物线开口朝下可知a<0，依对称轴“左同右异”可知b>0，抛物线与y负半轴相交可知c<0，
∴abc>0,
①正确；
(2)当x=3时y=9a+3b+c>0，
②错误；
(3)由0∴-1③正确；
(4)假设④正确，
把x=-1a代入方程中可得1a-ba+c=0，
则1-b+ac=0，
即ac2-bc+c=0，
即x=-c也是方程的一个根，
由OA=OC=-c，
假设成立，
④正确；
综上所述，正确的有①③④，故选C
8．【解析】
（1）由抛物线开口向下可得a<0，
由抛物线与y轴交于正半轴可得c>0,
∴ac<0，
选项A错误；
（2）0x>1时y随着x的增大而减小，
选项B错误；
（3）由对称轴x=-b2a=1
可得2a+b=0，
选项C错误；
（4）由对称轴x=1可得抛物线于x轴的另一个交点为(-1,0)，
选项D正确，
故选D
9.【解析】
(1)由抛物线开口方程可得a<0，
由对称轴“左同右异”可得b>0，
抛物线交y轴正半轴可得c>0，
则abc<0；
(2)由抛物线的对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点在0到-1之间，
故当x=-1时a-b+c<0，
由对称轴x=1可得b=-2a，
代入可得3a+c<0；
(3) 当x=t时，
y>0,结合图像可得t在抛物线与x轴的两交点之间，
则t-4<-1,
则x=t-4时y<0；
(4) a(x2-1)+b(x-1)>0可变形为ax2+bx>a+b，
可变形为ax2+bx+c>a+b+c，
由对称轴及抛物线最值可知ax2+bx+c≤a+b+c，
故选D
10.【解析】
①抛物线的对称轴在y轴右侧，
则ab＜0，
而c＞0，
故abc＜0，
①正确，符合题意；
②△ABC的面积＝12AB•yC＝12AB×2＝2，
解得：AB＝2，
则点A（0，0），即c＝0与图象不符，
故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，
若x1+x2＞2，
则12（x1+x2）＞1，
则点N离函数对称轴远，
故y1＞y2，
故③错误，不符合题意；
④方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，
即y=ax2+bx+c与y=-1的两个交点的横坐标为﹣1，3．
由题可知，其中一个交点为（3，﹣1），
由抛物线的对称性可知另一个交点为（1，-1），
故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，
故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
11. 【解析】
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，
故①正确；
该抛物线的对称轴为直线x＝2+(-4)2＝﹣1，
函数图象开口向下，
若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，
则y1＞y2，
故②错误；
当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，
故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，
即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，
故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，
则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，
故p的值有三个，
故④错误；
故答案为：①③．