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第9讲 几何填选压轴题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）
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这是一份第9讲 几何填选压轴题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共18页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，答案详解，思路分析等内容，欢迎下载使用。
《重点题型针对复习》第9讲 几何填选压轴题
【方法梳理】
这类题的核心是“几何构造”，不会有统一固定的解题方法，但有一点一定是考查内容：“四个典型”（典型模型、典型题型、典型解题方法、重点知识点的典型用法），抓住这点分析思考及添加辅助线。
【强化巩固练习】
1.如图，等腰△ABC中，BC=85,tan∠ABC=12,D为边AC上一动点（不与C点重合），作DE⊥BD于点D，使得DEBD=23,连接CE，则△CDE面积的最大值为_____________
2．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
3. 已知矩形ABCD，AB=8,AD=6,E是BC边上一点且CE=2BE,F是CD边的中点，连接AF,BF,DE相交于M,N两点，则△FMN的面积是________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF= ．
4．如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为________．
5．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=52，则矩形ABCD的面积为 ．
6.如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP`，连接CP`，则线段CP`的最小值为_____________
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______________．
9．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．54 B．154 C．4 D．92
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
11．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．123 B．133 C．143 D．153
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（ ）
A．522 B．352 C．453 D．523
13．如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点
C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．3 B．5 C．5136 D．13
【答案详解】
1.如图，等腰△ABC中，BC=85,tan∠ABC=12,D为边AC上一动点（不与C点重合），作DE⊥BD于点D，使得DEBD=23,连接CE，则△CDE面积的最大值为_____________
【解析】代数方法求最值问题（即二次函数配方法）
作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=45,
由tan∠ABC=12
可得AF=25,AB=AC=10,
由△CAF∽△CBQ，
可得CFCQ=CACB=1085，
可得CQ=16,
设CD=x，则QD=16-x，
易证∠EDG=∠QBD，
则sin∠EDG=sin∠QBD,
则GEQD=DEBD=23，
可得GE=23(16-x)，
∴S∆CDE=12x∙23(16-x)=-13(x-8)2+643，
∴△CDE面积的最大值为643
2．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
【解析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+25，
3. 已知矩形ABCD，AB=8,AD=6,E是BC边上一点且CE=2BE,F是CD边的中点，连接AF,BF,DE相交于M,N两点，则△FMN的面积是________．
【解析】
如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH⊥FG，过点N作PN⊥FG，根据题意及中位线性质，解得CE、BE的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明△FNG∽△BNE，△ADM∽△FGM，然后结合相似三角形对应边成比例，分别解得N到FG的距离、M到FG的距离，继而根据三角形面积公式解题即可．
解：如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH⊥FG，过点N作PN⊥FG，
在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，CE=2BE,
∴CE=23BC=23AD=4 ,BE=13BC=13AD=2,
∵FG//BC，F是CD边的中点，
∴FG=12EC=12×4=2，
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△FNG∽△BNE，
∵FG:BE=1，
∴N到FG的距离h1=12FC=14DC=14AB=14×8=2，
S∆FNG=12FG∙h1=12×2×2=2，
同理可得，
∵∠DAF=∠AFG,∠ADM=∠DGF,
∴△ADM∽△FGM，∴FG:AD=2:6=1:3，
∴M到FG的距离h2=14DF=18AB=18×8=1，
S∆FMG=12FG∙h2=12×2×1=1，
S∆FMN=S∆FNG+S∆FMG=2+1=3，
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF= ．
【解析】根据题意设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC＝3x，根据△A′EF∽△BCF，得到AE'BC=A'FBF=13．
解：∵∠C＝90°，cosA=45，
∴ACAB=45，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，
∵AE⊥AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC＝3x，
∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，
∴A'EBC=A'FBF=x3x=13，
4．如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为________．
【解析】数学典型题型：折叠问题.
（一）代数方法（解方程）：折叠性质+方程思路+勾股定理或相似.
由折叠性质及方程思路可表示出如图各边，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：32+(3a)2=(6+9+3a2)2.
方程看似复杂，其实很好解，过程如下：
去平方得：9+9a2=36+129+3a2+9+3a2，
化简得29+3a2=a2-6
两边平方得：36+12a2=a4-12a2+36,
得a2=24，
得a=26，
则BC=66
（二）几何方法（相似）题目条件中出现“AE＝13AD”,即AE:AD=1:3,相似典型题型：“线段比问题”，构
造三角形相似，利用相似性质解题.
作EN⊥BC于点N，交BF于点M，
由MN//CF可得BMBF=MNFC=BNBC=AEAD=13,
∵CF=3,∴MN=1，
由BN=AE=EG，∠BMN=∠EMG,∠BNM=∠EGM
可得△BNM≌△EGM，
则MG=MN=1，
则BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5，
由BMBF=13
可得FB=15，
在Rt△BCF中由勾股定理可得BC==66.
5．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=52，则矩形ABCD的面积为 155 ．
【解析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF=52，设BF=5x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB=5BF，则可得出答案．
解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF=52，
设BF=5x，BE＝2x，
∴EF=BF2+BE2=3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB=5BF．
∴S矩形ABCD＝AB•AD=5BF•AD=5×15＝155．
6.如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP`，连接CP`，则线段CP`的最小值为_____________
【思路分析】：点D是定点，点P`是动点，抓住动点P`运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P与B重合时，点P`的初始位置就是在AB边上的位置P0；
②任意位置： 题目给的原图即是点P`的任意位置；
③结束（特殊）位置：取P点与D点这个结束位置，点P`位于点位置P1；将P0P1连接，可知P`点在直线EF上运动，；如图。
结论： 设EF与AC交于点G，作DQ⊥EF，
当P`与Q重合时，DP`有最小值，即DQ的长，
由△AGP0是等腰直角三角形，且△AGP0与△DQP0构成“8字模型”，
可得△DQP0也是等腰直角三角形，
由BC=CA=4
可得BA=42，
则BD=22，
由BC=BP0=4
可得DP0=4-22，
∴DQ=22-2，
即DP`的最小值为22-2.
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为 ．
【解析】“费马问题”，如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP＝BM=2，∠PBM＝90°，
∴PM=2PB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝23，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝23+1，
∴AB2＝AH2+BH2＝（23+1）2+12＝14+43，
∴正方形ABCD的面积为14+43．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______________．
【解析】数学典型题型“折叠问题”，解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理或相似
图中出现数学典型模型“一线三垂直模型”，如图1，
由△ABP∽△PCE，
设BP=a，则PC=2-a，
由相似性质可
得CE=a(2-a),
由折叠性质可得EF=CE=a(2-a)，PF=PC=2-a，
已知条件逐渐往上转移，在图形的上方，又出现数学典型模型“一线三垂直的二垂模型”，
故作PM⊥AD于点M，
则△ABP∽△PCE，
由相似性质可得DF=a，
在Rt△PMF中，PM=AB=1,PF=2-a，MF=AD-AM-DF=2-2a，
由勾股定理可得：
12+(2-a)2=(2-2a)2，
解得a=1或13,
即BP的长为1或13
9．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．54 B．154 C．4 D．92
【解析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x=154，
∴CE的长为154，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
【解析】题目没有别的已知的线段长度，无法判断求BC的长，是用相似还是勾股定理，那就从唯一的数据条件“△DFE的面积为1”进行条件挖掘：由△DFE的面积为1可得DE•DF=2,由题易知BC=2DE，由DE•BC=4,结合面积公式，由此我们联想到了数学典型模型“双垂模型”的等面积法，故作AH⊥BC，由D是中点DF//AH可知AH=2DF，则AH•BC=8=AB•AC，由DE是中位线可知AE=EC，由条件AB=CE可得AC=2AB，由AC•AC=16，可得AC=4,AB=2,由勾股定理可得BC=25.
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝12BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝12AH，
∵△DFE的面积为1，
∴12DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，
∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝12AC，
∴AC•AC＝16，
∴AC＝4，AB=2
∴BC＝AB2+AC2＝25．
故选：A．
11．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．123 B．133 C．143 D．153
【解析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
解：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
由折叠的性质可得A′M＝2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG=22-12=3，
∴BE＝OF＝MG=3，
∴OF：BE＝2：3，
解得OF=233，
∴OD=3-233=33．
故选：B．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（ ）
A．522 B．352 C．453 D．523
【解析】由AB是直径由必连BC，求AC长，即是求线段长，由CF=1,EF=2可知CE=3，由CF=1,BF=2可知BC=5,Rt△CFB知三边长、Rt△ACE知一边长且含有AC，故从相似角度思考解题；
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴AC:BC=CE:BF,
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝CF2+BF2=5，
∴，AC: 5=3:2,
∴AC＝352，
故选：B．
13．如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点
C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．3 B．5 C．5136 D．13
【解析】求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出EDBD=EMAB，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，得出x5=4-x3，解得x=52，同理△DNF∽△DCB，得出DFBD=NFBC，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，则y5=3-y4，解得y=53．由勾股定理即可求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴EDBD=EMAB，
设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，
∴x5=4-x3，
解得x=52，
∴DE=52，
同理△DNF∽△DCB，
∴DFBD=NFBC，
设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，
∴y5=3-y4，
解得y=53．
∴DF=53．
∴EF=DE2+DF2=(52)2+(53)2=5136．
故选：C．
《重点题型针对复习》第9讲 几何填选压轴题
【方法梳理】
这类题的核心是“几何构造”，不会有统一固定的解题方法，但有一点一定是考查内容：“四个典型”（典型模型、典型题型、典型解题方法、重点知识点的典型用法），抓住这点分析思考及添加辅助线。
【强化巩固练习】
1.如图，等腰△ABC中，BC=85,tan∠ABC=12,D为边AC上一动点（不与C点重合），作DE⊥BD于点D，使得DEBD=23,连接CE，则△CDE面积的最大值为_____________
2．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
3. 已知矩形ABCD，AB=8,AD=6,E是BC边上一点且CE=2BE,F是CD边的中点，连接AF,BF,DE相交于M,N两点，则△FMN的面积是________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF= ．
4．如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为________．
5．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=52，则矩形ABCD的面积为 ．
6.如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP`，连接CP`，则线段CP`的最小值为_____________
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______________．
9．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．54 B．154 C．4 D．92
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
11．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．123 B．133 C．143 D．153
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（ ）
A．522 B．352 C．453 D．523
13．如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点
C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．3 B．5 C．5136 D．13
【答案详解】
1.如图，等腰△ABC中，BC=85,tan∠ABC=12,D为边AC上一动点（不与C点重合），作DE⊥BD于点D，使得DEBD=23,连接CE，则△CDE面积的最大值为_____________
【解析】代数方法求最值问题（即二次函数配方法）
作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=45,
由tan∠ABC=12
可得AF=25,AB=AC=10,
由△CAF∽△CBQ，
可得CFCQ=CACB=1085，
可得CQ=16,
设CD=x，则QD=16-x，
易证∠EDG=∠QBD，
则sin∠EDG=sin∠QBD,
则GEQD=DEBD=23，
可得GE=23(16-x)，
∴S∆CDE=12x∙23(16-x)=-13(x-8)2+643，
∴△CDE面积的最大值为643
2．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 ．
【解析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+25，
3. 已知矩形ABCD，AB=8,AD=6,E是BC边上一点且CE=2BE,F是CD边的中点，连接AF,BF,DE相交于M,N两点，则△FMN的面积是________．
【解析】
如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH⊥FG，过点N作PN⊥FG，根据题意及中位线性质，解得CE、BE的长，再根据相似三角形的判定方法，可证明△FNG∽△BNE，△ADM∽△FGM，然后结合相似三角形对应边成比例，分别解得N到FG的距离、M到FG的距离，继而根据三角形面积公式解题即可．
解：如图，过点F作FG//BC，交DE于点G，过点M作MH⊥FG，过点N作PN⊥FG，
在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，CE=2BE,
∴CE=23BC=23AD=4 ,BE=13BC=13AD=2,
∵FG//BC，F是CD边的中点，
∴FG=12EC=12×4=2，
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴△FNG∽△BNE，
∵FG:BE=1，
∴N到FG的距离h1=12FC=14DC=14AB=14×8=2，
S∆FNG=12FG∙h1=12×2×2=2，
同理可得，
∵∠DAF=∠AFG,∠ADM=∠DGF,
∴△ADM∽△FGM，∴FG:AD=2:6=1:3，
∴M到FG的距离h2=14DF=18AB=18×8=1，
S∆FMG=12FG∙h2=12×2×1=1，
S∆FMN=S∆FNG+S∆FMG=2+1=3，
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=45，则A'FBF= ．
【解析】根据题意设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC＝3x，根据△A′EF∽△BCF，得到AE'BC=A'FBF=13．
解：∵∠C＝90°，cosA=45，
∴ACAB=45，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，
∵AE⊥AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC＝3x，
∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，
∴A'EBC=A'FBF=x3x=13，
4．如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为________．
【解析】数学典型题型：折叠问题.
（一）代数方法（解方程）：折叠性质+方程思路+勾股定理或相似.
由折叠性质及方程思路可表示出如图各边，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：32+(3a)2=(6+9+3a2)2.
方程看似复杂，其实很好解，过程如下：
去平方得：9+9a2=36+129+3a2+9+3a2，
化简得29+3a2=a2-6
两边平方得：36+12a2=a4-12a2+36,
得a2=24，
得a=26，
则BC=66
（二）几何方法（相似）题目条件中出现“AE＝13AD”,即AE:AD=1:3,相似典型题型：“线段比问题”，构
造三角形相似，利用相似性质解题.
作EN⊥BC于点N，交BF于点M，
由MN//CF可得BMBF=MNFC=BNBC=AEAD=13,
∵CF=3,∴MN=1，
由BN=AE=EG，∠BMN=∠EMG,∠BNM=∠EGM
可得△BNM≌△EGM，
则MG=MN=1，
则BM=BG-MG=AB-MG=6-1=5，
由BMBF=13
可得FB=15，
在Rt△BCF中由勾股定理可得BC==66.
5．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=52，则矩形ABCD的面积为 155 ．
【解析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF=52，设BF=5x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB=5BF，则可得出答案．
解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF=52，
设BF=5x，BE＝2x，
∴EF=BF2+BE2=3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB=5BF．
∴S矩形ABCD＝AB•AD=5BF•AD=5×15＝155．
6.如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP`，连接CP`，则线段CP`的最小值为_____________
【思路分析】：点D是定点，点P`是动点，抓住动点P`运动过程中的三个特殊位置点，连线确定运动路线。
①初始位置：当P与B重合时，点P`的初始位置就是在AB边上的位置P0；
②任意位置： 题目给的原图即是点P`的任意位置；
③结束（特殊）位置：取P点与D点这个结束位置，点P`位于点位置P1；将P0P1连接，可知P`点在直线EF上运动，；如图。
结论： 设EF与AC交于点G，作DQ⊥EF，
当P`与Q重合时，DP`有最小值，即DQ的长，
由△AGP0是等腰直角三角形，且△AGP0与△DQP0构成“8字模型”，
可得△DQP0也是等腰直角三角形，
由BC=CA=4
可得BA=42，
则BD=22，
由BC=BP0=4
可得DP0=4-22，
∴DQ=22-2，
即DP`的最小值为22-2.
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为 ．
【解析】“费马问题”，如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP＝BM=2，∠PBM＝90°，
∴PM=2PB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝23，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CMB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝23+1，
∴AB2＝AH2+BH2＝（23+1）2+12＝14+43，
∴正方形ABCD的面积为14+43．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______________．
【解析】数学典型题型“折叠问题”，解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理或相似
图中出现数学典型模型“一线三垂直模型”，如图1，
由△ABP∽△PCE，
设BP=a，则PC=2-a，
由相似性质可
得CE=a(2-a),
由折叠性质可得EF=CE=a(2-a)，PF=PC=2-a，
已知条件逐渐往上转移，在图形的上方，又出现数学典型模型“一线三垂直的二垂模型”，
故作PM⊥AD于点M，
则△ABP∽△PCE，
由相似性质可得DF=a，
在Rt△PMF中，PM=AB=1,PF=2-a，MF=AD-AM-DF=2-2a，
由勾股定理可得：
12+(2-a)2=(2-2a)2，
解得a=1或13,
即BP的长为1或13
9．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．54 B．154 C．4 D．92
【解析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x=154，
∴CE的长为154，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）
A．25 B．5 C．45 D．10
【解析】题目没有别的已知的线段长度，无法判断求BC的长，是用相似还是勾股定理，那就从唯一的数据条件“△DFE的面积为1”进行条件挖掘：由△DFE的面积为1可得DE•DF=2,由题易知BC=2DE，由DE•BC=4,结合面积公式，由此我们联想到了数学典型模型“双垂模型”的等面积法，故作AH⊥BC，由D是中点DF//AH可知AH=2DF，则AH•BC=8=AB•AC，由DE是中位线可知AE=EC，由条件AB=CE可得AC=2AB，由AC•AC=16，可得AC=4,AB=2,由勾股定理可得BC=25.
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝12BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝12AH，
∵△DFE的面积为1，
∴12DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，
∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝12AC，
∴AC•AC＝16，
∴AC＝4，AB=2
∴BC＝AB2+AC2＝25．
故选：A．
11．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A．123 B．133 C．143 D．153
【解析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
解：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
由折叠的性质可得A′M＝2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG=22-12=3，
∴BE＝OF＝MG=3，
∴OF：BE＝2：3，
解得OF=233，
∴OD=3-233=33．
故选：B．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（ ）
A．522 B．352 C．453 D．523
【解析】由AB是直径由必连BC，求AC长，即是求线段长，由CF=1,EF=2可知CE=3，由CF=1,BF=2可知BC=5,Rt△CFB知三边长、Rt△ACE知一边长且含有AC，故从相似角度思考解题；
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴AC:BC=CE:BF,
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝CF2+BF2=5，
∴，AC: 5=3:2,
∴AC＝352，
故选：B．
13．如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点
C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．3 B．5 C．5136 D．13
【解析】求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出EDBD=EMAB，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，得出x5=4-x3，解得x=52，同理△DNF∽△DCB，得出DFBD=NFBC，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，则y5=3-y4，解得y=53．由勾股定理即可求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴EDBD=EMAB，
设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，
∴x5=4-x3，
解得x=52，
∴DE=52，
同理△DNF∽△DCB，
∴DFBD=NFBC，
设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，
∴y5=3-y4，
解得y=53．
∴DF=53．
∴EF=DE2+DF2=(52)2+(53)2=5136．
故选：C．
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