第12讲 圆综合压轴题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

这是一份第12讲 圆综合压轴题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共23页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，答案详解等内容，欢迎下载使用。

1.先添辅助线：圆中辅助线多建立在五大性质定理的基础上；
2.思考分析一定要建立在平面几何题型的基础上；
3.注意题中或图中出现的“四个典型”；
【强化巩固练习】
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．
（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；
（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2，若S1S2=89，求tan∠CAF的值．
2．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，csC＝35，求DN的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝513，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．
6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AE，垂足为点E，交AB的延长线于点F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为AB=8，DE=23，求AC的长；
(3)在(2)的条件下，点Q是线段DF上的一动点（不与D,F重合），点M为OQ的中点，过点Q作QG⊥OF，垂足为点G，连接MD、MG。请问当点Q在线段DF上运动时，∠DMG大小是否变化？若不变，则求出∠DMG的度数；请说明理由。
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB=513，求DG的长，
8．如图，AB是半⊙O的直径，半径CO⊥AO,点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM.
（1）若半圆的半径 为10.
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长；
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=35，求BH的长．
10．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【答案详解】
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂足为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．
（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；
（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2，若S1S2=89，求tan∠CAF的值．
【解析】先练习添辅助线，由AD是直径，则此题大概率需连接BD、CD，
（1）“拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。∠G在圆外，∠ACB是圆周角，故先把∠G往圆内拉，由DB⊥AG，便可“拉”到∠BDG=40°,由AD⊥DG，进一步“拉”得圆周角∠BDA=50°，由AB=AB便可得∠ACB=∠BDA=50°；
解：连接BD，如图，
∵DG为切线，
∴AD⊥DG，
∴∠ADG＝90°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
而∠GDB＋∠G＝90°，∠ADB＋∠GDB＝90°，
∴∠ADB＝∠G＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝50°；
(2) “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。∠BAD是圆周角，∠COF是圆心角，故先把∠COF往圆周角位置“拉”，由DC=DC便可得∠COF=2∠CAD, 由CD=CD便可得∠CAD=∠DBC,则∠COF=2∠DBC,再往等腰三角形ABE内部拉，∠DBC=90°-∠ABE,而∠ABE=(180°-∠BAE)÷2,这样∠BAD与∠COF“拉”到一起了，把上面的式子恒等变形，即可得两者的等量关系
证明：连接CD，如图，
则∠COF=2∠CAD=2∠DBC,
∵∠ABD=90°,
∴∠DBC=90°-∠ABE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE=(180°-∠BAE)÷2,
∴∠DBC=90°-(180°-∠BAE)÷2=12∠BAE，
∴∠BAD＝∠DOC；
（3）看到“面积比”就应联想到相似，而△AOB与△ACF不相似，故中间一定存在图形转换，由图易知S∆ABD=2S∆AOB，而△ABD与△ACF分处直径AD的两侧，则中间一定存在图形位置转换。由解题思路的延续性，从第（2）小题找思路“突破口”，由（2）结论∠BAD＝∠COF及∠ABD=∠OFC=90°,可得△ABD∽△OFC，这样△ABD的图形位置由直径左侧就“拉”到直径右侧了，由相似比与面积关系可得S∆ABD=4S∆OFC，而△OFC与△ACF同一条高（CF），S∆ACF:S∆OFC=AF:OF，而tan∠CAF=CF:AF，由可用勾股定理即可解答。
解：∵∠BAD＝∠FOC，∠ABD＝∠OFC，
∴△ABD∽△OFC，
∴S∆ABDS∆OFC=(ADOC)2=4，
∵S1S2=89，
设S1＝8x，S2＝9x，
则S△ABD＝2S1＝16x，
∴S△OFC＝14•16x＝4x，
∴S∆ACFS∆OFC=ADOF=94 ，
设AD=9a，
则OF=4a，OA=OC=5a，
在Rt△OFC中，CF=OC2-OF2=(5a)2-(4a)2=3a,
则tan∠CAF=CF:AF=1：3.
2．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．
【解析】先添辅助线，证切线必连OB，由CD是直径可能需连CB、CA.
（1）已知条件中“∠PBD＝∠DAB”是“弦切角定理”，利用该条件及等量代换，即可证明BP是切线；
证明：如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB，
∴∠CBO＝∠PBD，
∴∠OBP＝∠CBD＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）数学典型题型“求线段长问题”，由于PN不是弦，故排除垂径定理，首选相似知识来解答。在已知线段OA=5,AM=4的图形位置附近去寻找图中的相似典型图形即可，不难发现：△OPN内由AM//PN而形成的相似典型图形“A字模型”及△OAP内的 “双垂模型”，组合它们的相似性质，即可求解PN的长度。
解：∵CD⊥AB，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴由勾股定理可得OM＝3，
∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴OA:OP=OM:OA，
即5：OP=3:5，
∴OP＝253，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC＝∠AMO＝90°，∴AM//PN，
∴AM:PN=OM:OP，
即4：PN=3: 253，
∴PN＝1009．
（3）相似数学典型题型“乘积式”，解题方法是转化成比例式，利用相似知识论证。此题在把“AH•OP＝HP•AP”，转化成比例式：AHHP=APOP，AH与HP不能组成一个三角形，即便利用PD=PH，转化成“AHDP=APOP”AH与DP也不能组成一个三角形，故需转换思维，发现APOP中AP、OP在△AOP中，且△AOP在相似典型图形“双垂模型”中，即Rt△OPN中，由△OPA∽△PNA可得APOP=ANPN，则ANPN一定与AH、HP、PD有关联，AH与AN处于Rt△AHN中，PN与PD处于Rt△DPN中，由PD=PH可得∠PDH=∠PHD=∠AHN,∠HAN=∠DPN=90°可得Rt△AHN∽Rt△PDN，便有ANPN=AHPD，这样一条完整的思路分析线就形成了。
证明：∵PD＝PH，
∴∠PDN＝∠PHD＝∠AHN，
∵∠HAN=∠DPN=90°
∴△NAH∽△NPD，
∴AH:PD=NA:NP，
∵∠APN＝∠POA，∠PAN＝∠PAO＝90°，
∴△PAN∽△OAP，
∴PN:OP=AN:AP，
∴AN:NP=AP:OP，
∴AH:PD=AH:PH=AP:OP，
∴AH•OP＝HP•AP．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，csC＝35，求DN的长．
【解析】（1）证切线，连OD，需证OD⊥MN，由数学典型模型“角平分线（AD平分∠BAC）+等腰（△ODA）=平行线（OD//AC）”可证明；
证明：如图，连接OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）由AB=AC可转化结论为“DN2＝BN•AN”,相似典型题型“乘积式”，转化成比例式“DNBN=ANDN”，需证△BDN∽△DAN，相似典型图形“共角模型”，共角为∠N，只需证∠BDN=∠NAD，恰好是“弦切角定理”，利用等量代换及相应性质即可证明。
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴BN:DN=DN:AN，
∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；
（3）先选挖挖条件，由BC=6可得BD=DC=3，由csC=35可得AC=5=AB,AD=4,CM=95,DM=125,即已知条件全集中在△ABC这块，而所求结论DN在圆外，必须用相似性质把DN的图形位置往△ABC的位置“拉”，由（2）中的△BDN∽△DAN恰好包含有“DN”，则有BN:DN=DN:AN=BD:DA=3:4,即BN=34DN,AN=43DN，由AB=AN-BN=43DN-34DN=712DN=5,则DN=607
解：∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵csC＝35＝CDAC，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝AB2-BD2=25-9＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴BN:DN=DN:AN=BD:DA=3:4,，
∴BN=34DN,AN=43DN，，
∴AB=AN-BN=43DN-34DN=712DN=5，
∴DN=607．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝513，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB•AF．
【解析】证切线，则连OD，AE是直径，必连DE或EF；
（1）证切线，连OD，需证OD⊥BC，由数学典型模型“角平分线（AD平分∠CAB）+等腰（△ODA）=平行线（OD//CA）”可证明；
解：如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BDO中，由sinB即可求出半径长；
解：∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝ODOB=ODBE+OD=513，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）相似典型题型“乘积式”，转化成比例式“ADAB=AFAD”,需证△DAB∽△FAD，已有一组等角“∠DAB=∠FAD”，只需证∠B=∠FDA，由EF//BC可得∠B=∠FEA，由同弧所对的圆周角相等可得∠FEA=∠FDA，问题就解决了
证明：连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴AD:AB=AF:AD，
∴AD2＝AB•AF．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）．
【解析】解：（1）如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD=CD，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴AC:AH=AF:AB，
∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∴BD=CD，
∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cs∠BAD＝AQ:AD，
∴AD＝AQcsα，
∴AB+ACAD=2AQAQcsα＝2csα．
6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AE，垂足为点E，交AB的延长线于点F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为AB=8，DE=23，求AC的长；
(3)在(2)的条件下，点Q是线段DF上的一动点（不与D,F重合），点M为OQ的中点，过点Q作QG⊥OF，垂足为点G，连接MD、MG。请问当点Q在线段DF上运动时，∠DMG大小是否变化？若不变，则求出∠DMG的度数；请说明理由。
【解析】
（1）连OD，出现数学典型数学“角平分线+等腰三角形=平行线”，由AD是角平分线，△OAD是等腰三角形，可得OD//AE，可得OD⊥EF，可论证结论；
证明：连接OD，则OA=OD,
∴∠2=∠3,
∵AD是∠EAB的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE//OD,
∵AE⊥EF,
∴OD⊥EF,
∴DE是⊙O的切线；
（2）解决几何题，看图有一条基本要求：找出已知条件、未知条件的图形位置；审图也有一条基本要求：想办法拉近已知条件与未知条件的图形位置，这其实是几何推理思路在图形上的表现，如此题，已知条件DE、AB与未知条件AC所处位置如图2，其中AC与AB在同一个Rt△ACB内，暂时可不理，而DE的位置却远离这个图形，所以，要想办法把DE的图形位置往下“挪”---通过几何性质或等量代换进行线段转移，这样一个矩形型的图形DECN就呈现在我们的注意中，易证四边形DECN是矩形，即CN=DE=2√3,这样已知条件“DE=2√3”的位置与其余条件的位置更近了，但还不够，CN、AC、AB没组成一个完整的三角形，还需要进一步转化，这时你的注意力就集中在△ACB这块位置，这样一个“圆的垂径定理”就会呈现在你的思路中，OD垂直平分BC，这样由CN的长就可得出BC的长，这时，即可利用勾股定理求出AC的长；一条完整的解题思路线就通过“拉近已知条件与未知条件的图形位置”一步步串联在一起，问题也就解决了。
解：由题可知∠ACB=90º,
∵OD//AE,
∴∠ONC=90º,
∵∠ODE=90º, ∠E=90º,
∴四边形DECN是矩形，
∴CN=DE=2√3,
∵OD⊥BC,
∴CB=2CN=4√3,
在Rt△ACB中，
∵AB=8,由勾股定理可得AC=4；
（3）我们仍按上面的审图思路来展开对第（3）小题的分析推导，如图3，已知条件集中在图形的左侧的△ACB中，而未知条件∠DMG却在这个图形之外，故我们要想办法拉近它们之间的图形位置，将∠DMG的位置往左“挪”，通过外角定理可做到这点，由图易知M分别是Rt△DOQ、Rt△OQG斜边上的中点，故DM=OM=MG，则∠MDO=∠DOM,∠MOG=∠MGO,利用外角定理可得：∠DMG=∠DMQ+∠QMG=2∠DOM+2∠MOG=2∠DOG，这样未知条件“∠DMG”的图形位置就“挪”到了∠DOG的位置，这时我们的思路注意点就集中在△ABC中，不难发现由于AB=2AC，可得出∠CBA=30º、∠CAB=60º,进而得出∠DAB=30º,它与∠DOB是外角与内角的关系，这样一条完整的解题思路线就清晰了。
解：不变，∠DMG=120º.理由是：
在Rt△ACB中，∵AB=8, AC=4，
∴∠CBA=30º，
∴∠CAB=60º,
∴∠DAB=30º,
∴∠DOG=2∠DAO=60º,
∵∠ODQ=∠OGQ=90º,M是OQ的中点，
∴DM=OM=MG,
∴∠MDO=∠DOM,∠MOG=∠MGO,
∴∠DMG=∠DMQ+∠QMG=2∠DOM+2∠MOG=2∠DOG=120º.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB=513，求DG的长，
【解析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF，
∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴ABAD=ADAF，即AD2＝AB•AF＝xy，
则AD=xy；
（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，进而求出DG的长即可．
解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB=ODOB=513，
设圆的半径为r，可得rr+8=513，
解得：r＝5，
∴AE＝10，AB＝18，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF=AFAE=513，
∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×513=5013，
∵AF∥OD，
∴AGDG=AFOD=50135=1013，即DG=1323AD，
∴AD=AB⋅AF=18×5013=301313，
则DG=1323×301313=301323．
8．如图，AB是半⊙O的直径，半径CO⊥AO,点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM.
（1）若半圆的半径 为10.
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长；
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
【解析】
（1）①当∠AOM=60°时，
∵OM=OA,
∴△AMO是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∵CO⊥AO，
∴∠MOD=30°,∠D=30°,
∴DM=OM=10.
②如图1，过点M作MF⊥OA于点F，
设AF=x，则OF=10-x，
∵AM=12,OA=OM=10,
由勾股定理得122-x2=102-(10-x)2，
解得x=365，
∵MF⊥OA,CO⊥OA,
∴MF//OD，
∴AM:AD=AF:OA，
即12：AD=365:10,
∴AD=503,
∴DM=AD-AM=143.
(2)当点M位于AC之间时，如图1，连接BC，
∵C是AB的中点，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°；
当点M位于BC之间时，如图2，连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=12∠AOC=45°。
综上所述，∠CMD=45°，是定值。
9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=35，求BH的长．
【解析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出BE=CE，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例CE:EH=EA:CE，即可得出结论；
证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CE:EH=EA:CE，
∴CE2=EH•EA；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=35，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×35=6，
∴EA=AB2-BE2=102-62=8，
∵BE=CE，
∴BE=CE=6，
∵CE2=EH•EA，
∴EH=628=92，
在Rt△BEH中，BH=BE2+EH2=62+(92)2=152．
10．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【解答】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，
理由如下：
如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝34CD2，
∴S＝34x2；
（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，
则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵点D，点F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝12EC，PE＝3PC＝32EC，
∴EF＝2PE＝3EC＝3CD＝t，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值4，
∴t的最大值为43．