第5讲 三角函数应用题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

这是一份第5讲 三角函数应用题-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共7页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，答案详解等内容，欢迎下载使用。

1..总体解题思路→→不管是勾股定理的运用、还是三角函数的运用，都离不开直角三角形，所以当把题目条件落实到图上去后，此类应用题一个最大的解题关键是：寻找已知条件与所求条件存在的直角三角形，如果没有，作辅助线构造。
2.具体解题思路→→一个已知角、确定一个Rt△、用一次三函数；
3.计算注意→→为避免计算误差，把握一个原则：只在最后的计算结果上取近似值，计算过程中尽管保留根号或分数，遇到到除不尽时，小数点后保留几位，要参照题目所提供参数的近似取值标准，不要按题目要求的精确方法取近似值，另也可通过列综合式，把计算留到最后，也可避免计算误差。
【强化巩固练习】
1.如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竹竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8米，∠CBF记作α，则下列式子正确的是（ ）
A. sinα=2728 B. csα=2728 C. sinα=2128 D. csα=2128

2.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端端点A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A. tan55°=6x-1 B. tan55°=x-16 C. sin55°=x-16 D. cs55°=x-16
3．如图所示，游客到某知名景区大门后，需要先在大门口A处乘坐缆车从空中索道行走约2000米到达B处，再沿
坡度为1：4的水泥路从B处步行约1000米到C处才能到达景区的景点．已知该索道与地面的夹角是37°，求景点
C比景区大门A高约多少米．（注：结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.601，cs37°≈0.7997，tan37°≈0.7536，5≈2.236，15≈3.873，17≈4.123）
4.如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53º，从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45º，已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米?（参考数据sin53º≈45，cs53º≈35，tan53º≈43）
5．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高2米的测角仪测得古树顶端H的仰
角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走6米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠
GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
6.今年深圳经济特区成立40周年，为纪念这一伟大的历史时刻，不少市民纷纷来到福田莲花山公园的邓小平雕像前送鲜花。小明所在的兴趣小组站在广场的A，B处用一定高度的测角仪分别于D，E处测得雕像顶部 C 的仰角为30 ，45 ，（如图 ）已知A，B的距离约为27.3 m ，雕像下的基座GH 约为4 m ，求邓小平雕像CH 的高度。（取31.73 ）
7.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）
8.如图，AB是一座高为60(3+3)米的办公大楼，快递小哥在AB的D处操作无人机进行快递业务，这时在另外一座楼房的C处有人要寄快递，已知C与D在同一水平线上，从A看C的仰角为30°，从B看C 的俯角为45°，
（1）请求出C与D的水平距离CD ；
（2）已知D出信号发射器的信号只能覆盖周围150米范围内，若无人机以10米每秒的速度沿着AC飞向C处取快递，请问当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号）
9.深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC间的距离为57米，求教学楼BC的高度（3≈1.7）
10.某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
【答案详解】
1. 【解析】
作CF⊥AB于点F，则ADDE=ACCF,即，∴CF=2.7m,∴sinα=CFBC=，故选A
2.【解析】由题可知：BE=CD=1,BC=DE=6,AB=x，则AE=x-1，则tan55°=x-16，故选B
3．【解析】
作BD⊥AM于点D，作CE⊥AM于点E，作BF⊥CE于点F，得Rt△ABD，Rt△BCF，矩形BDEF.则AB=2000米，BC=1000
米，CF:BF=1:4,∴BD=AB•sin37°≈2000×0.6018≈1203.6米，∴EF=BD≈1203.6米，设CF=x，则BF=4x，∵CF2+
BF2=BC2,∴x2+16x2=10002,∴1000÷17≈242.5米，即CF≈242.5米，∵CE=CF+EF,∴CE≈1446.1米
∴景点C比景区大门A高约1446.1米.
4.【解析】
作AE⊥CD于E点，由题意可知:∠DAE=45º,∠DBC=53º,AB=3,
设BC=AE=DE=x，则DC=3+x，∵tan53º=DCBC≈43，即： 3+xx≈43，∴x≈9,则DC≈3+9≈12，答:旗杆CD的高度约为12米，
5．【解析】
（1）由题可知AD=BE=2米，DE=6米，△EDH是等腰直角三角形，则EH=DE=6米，∴BH=8米；
（2）设GF=x米，在Rt△EFG中，由tan60º=xEF可得EF=33x，由EH//CG可得DEDF=EHGF，即66+33x=6x，解得：x=9+33,∴CG=9+33+2=11+33
6.【解析】如图所示，在Rt△CGD中,∠CDG=30º；Rt△CGE中, ∠CEG=45º；令CG=x，则DG=3x，EG=x； ∴DE=AB=3x+x=27.3．∴CG=x≈10． ∴CH=10-4=6．
答：邓小平雕像高约6米．
7.【解析】
求无人机的飞机高度，必作辅助线BH⊥CH于点H，出现一个直角三角形，可以用三角函数求边的长度；但是题目已知线段AB=4×8=32米不在这个直角三角形中，说明必须把AB的位置往下转移。由∠ACH=75°，∠BCH=30°，可得∠ACB=45°，出现45°角又需作辅助线的，依第九条解题经验，便易知该作AD⊥BC于D，利用Rt△ACD、Rt△ADB，把AB边的长度转移到Rt△BCH中，便可解决问题。
解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH ，∴∠ABC=30°, ∠ACB=45°
∵AB=4×8=32m，∴AD=CD=AB·sin QUOTE 30°=16m，BD=AB·cs30° QUOTE =16 EQ \R(,3) m，∴BC=CD+BD=16+16 EQ \R(,3) m，
∴BH=BC·sin QUOTE 30°=（8+8 EQ \R(,3) ）m
8.【解析】
（1）由已知得∠DAC=60°,∠DBC=45°,∠ADC=90°,∴设AD=xm,在Rt△ADC中，∵tan∠DAC=CDAD,∴CD=ADtan∠DAC=xtan60°=3x，在Rt△BCD中，∵∠BCD=90°-∠DBC=45°=∠DBC,∴BD=CD=3x,∵AB=AD+BD,∴x+3x=60(3+3),解得x=603,∴CD=3x=180m
答：C与D的水平距离CD为180m
（2）过点D作DE⊥AC于点E，设无人机飞到F处时出现接收不到信号的危险，连接DF，则DF=150，在Rt△ADE中，∵sin∠DAC=DEAD,cs∠DAC=AEAD,∴DE=ADsin∠DAC=603sin60°=90, AE=ADcs∠DAC=603cs60°=303,在Rt△DEF中，EF=DF2-DE2=1502-902=120，∴AF=AE+EF=303+120,∴t=AF10=303+12010=33+12
答：当无人机飞行(33+12)秒后会出现接收不到信号的危险
9.【解析】
如图，作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由题可知：AB=57米，DE=30米，∠A=30°,∠DCF=45°,在Rt△ADE中，由tanA=tan30°=DEAE=30AE=33可得AE=303米,由题易得四边形CFEB是矩形，则CF=EB=AB-AE=57-303,在Rt△CFD中，由tanDCF=tan45°=DFCF=1可得DF=CF=(57-303)米,∴BC=EF=DE-DF=303-27≈24米
10.【解析】
如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×12=810，
∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF，∴EF=3BF，在Rt△AEF中，
∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=AFEF，∴AF=EF•tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，
答：雕像AB的高度为95尺．