初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计

上节课我们学习了如何设未知数列方程来解决实际问题. 知道列方程解实际问题初始的两步是：

(1) 分析题意，通过圈画关键词、列表或画图，找出相等关系, 这是列方程的基础；

(2) 设未知数，并表示相关的量，根据问题中的相等关系列方程.

下面我们来看一些问题，进一步体会如何用方程模型解决问题.

根据下列问题，设未知数并列出方程.

（1）          用一根长24cm的铁丝围成一个正方形， 正方形的边长是多少？

分析：画图示分析，进一步理解题意.

 寻找相等关系：边长×4=周长.

 设未知数，表示相关的未知量.

设正方形的边长为 x cm，则周长为4x cm.

解：设正方形的边长为x cm，

    列方程         4x=24.

（2）          一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？

分析：画关键词进行分析，进一步理解题意.

   一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？

寻找相等关系：

已使用时间+再使用时间=规定检修时间

      确定未知数，表示相关的未知量.

设经过x月可达到规定的检修时间，则计算机再使用150x h.

解： 设x个月后这台计算机的使用时间达到2450 h，  

       那么在x个月里这台计算机使用了150x h.

   列方程      1700+150x=2450.

（3）某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

分析：画关键词进行分析，进一步理解题意

某校女生占全体学生的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

寻找相等关系1：女生人数=男生人数+80.

 确定未知数，表示相关的未知量.

设这个学校的学生数为x人，那么女生数为0.52x人，男生数

为 (1－0.52) x 人.

解：设这个学校有x名学生，则女生人数为0.52x，男生人数为

(1－0.52) x.

    列方程  0.52x=(1-0.52)x+80.

法2：相等关系2：女生人数=0.52×全体学生人数.

设这个学校有x名男生，则女生人数为(x+80)，

        列方程           x+80=0.52(x+80+x). 

思考：观察上面列出的三个方程有什么共同特征？

4x=24， 1700+150x=2450， 0.52x=(1-0.52)x+80

教师提示：方程中的突出特点是含有未知数，我们要注意观察未知数的特征.

学生回答：（1）只含有一个未知数，

（2）未知数的次数都是1，

教师提问：还有其他特征吗？观察等号两边是什么式子？

学生回答：整式.

教师提示：第（3）条特征是：等号两边都是整式．

归纳概括一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．

概念中的“元”是指方程中未知数的个数，“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数.

练习 下列方程是否是一元一次方程？并说明理由.

(1)              (2) 3x-4y=12  

         (4)

学生回答：选(1).

教师提示：

(2)是二元一次方程，（3）是一元二次方程，(4)的左边不是整式.

提出问题：

列方程是解决问题的重要方法. 列出方程后，还要求出符合方程的未知数的值．那么，怎样求出符合方程的未知数的值呢？

对于简单的一元一次方程，可以通过观察找出符合方程的未知数的值.

问题1. 方程 4x=24中未知数x的值是多少？

   因为4×6=24，所以当x=6时，方程4x=24左右两边的值相等.

x=6叫做方程4x=24的解. 这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6.

问题2. 方程1700＋150x＝2450中未知数x的值是多少？

 教师提示：

这个方程是由刚才第2个问题列出的方程，这个题中“设经过x个月可达到规定的检修时间”，所以这里的x应该是正整数.

当x＝1时，1700＋150x的值是：1700+150×1=1850.

当x＝2时，1700＋150x的值是：1700+150×2=2000.

当 x=3 时，1700+150x=1700+150×3=2150；

当 x=4 时，1700+150x=1700+150×4=2300.

当x=5时，1700+150x的值是2450，这时方程1700＋150x＝2450等号左右两边相等.  x=5叫做方程1700＋150x＝2450的解. 这就是说，方程1700＋150x＝2450中未知数x的值应是5.

框图梳理刚才的过程：

给出定义：

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

【解读】方程中未知数的取值不是随意的，只有使两边代数式的值相等的未知数的值才叫方程的解．

例题讲解：

x=2 和 x=-1中哪一个是方程 6x=-2(x+4) 的解?       

分析：一般地，要检验某个值是不是方程的解，就是用这个值代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等．

解：当 x=2 时，因为

    左边=6×2=12，

    右边=-2×(2+4)=-12，

    所以左边≠右边.

    所以 x=2 不是方程 6x=-2(x+4) 的解.

 当 x=-1 时，因为

     左边=6×(-1)=-6，

     右边=-2×(-1+4)=-6，

     所以左边=右边.

     所以  x=-1 是方程 6x=-2(x+4) 的解.

课堂练习：

1. x=3，x=-2，各是下列哪个方程的解?

   (1) 6x-8=8x-4；       (2) 3x-2=4+x.

解：(1) 当 x=3 时，因为

       左边=6×3-8=10，

       右边=8×3-4=20，

       所以左边≠右边.

       所以 x=3 不是方程 6x-8=8x-4 的解.

       当 x=-2 时，因为

       左边=6×(-2)-8=-20，

       右边=8×(-2)-4=-20，

       所以左边=右边.

       所以x=-2是方程 6x-8=8x-4 的解.

   (2) 当 x=3 时，因为

      左边=3×3-2=7，

      右边=4+3=7，

      所以左边=右边.

      所以 x=3 是方程 3x-2=4+x 的解.

      当 x=-2 时，因为

      左边=3×(-2)-2=-8，

      右边=4+(-2)=2，

      所以左边≠右边.

      所以x=-2不是方程 3x-2=4+x 的解.

2.(1) x=-3是否是方程 的解?      

  (2) 是否是方程 8x=-2(x+4) 的解?

 解：(1) 当 x=-3 时，因为

              左边=，

              右边=，

              所以左边=右边.

              所以  x=-3 是方程 的解.

      (2) 当   时，因为

               左边=，

               右边=，

               所以左边=右边.

               所以 是方程 8x=-2(x+4) 的解.

课堂小结：

（1）一元一次方程的三个特征是什么？

（2）如何检验某个值是不是方程的解？

课后练习：

x=1000和x=2000中，哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解？

解：当x=1000时，因为

    左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=40，

    所以左边≠右边.

    所以 x=1000不是方程的解.

当x=2000时，因为

左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=80，

所以左边=右边.

所以 x=2000是方程的解.                            

布置作业：

教材第83页习题3.1的1.