2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.1　直线方程与圆的方程 【KS5U 高考】

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(2)若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则斜率k=⑥         ;(3)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率.
3.直线方程的几种形式
考向    求直线的方程
例　根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),且倾斜角的正弦值为 ;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
解析　(1)由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设直线的倾斜角为α(0≤α<π),则sin α= .从而cs α=± ,则k=tan α=± .故所求直线的方程为y=± (x+4),即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(2)由题设知截距不为0,设直线方程为 + =1,又直线过点(-3,4),从而 + =1,解得a=-4或a=9.故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0.当斜率存在时,设为k,则直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.∴ =5,解得k= .则直线方程为3x-4y+25=0.∴所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
考点二  直线与直线的位置关系
考向基础1.两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别 地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行.2.两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率存在,分别设为k1、k2,则l1⊥l2⇔①    k1·k2=-1    . 当一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0时,两条直线垂直.3.判断两条直线是否相交两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:  是否有解.
4.两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=②         .特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= .5.点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=③         .6.两条平行线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d= .
考向    两条直线的平行与垂直关系的应用
例　(1)若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于  (　　)A.0或-1或3　    B.0或3C.0或-1　    D.-1或3(2)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则a的值 为 (　　)A.-1　    B.1　    C.±1　    D.- 
解析　(1)当m=0时,两条直线方程分别化为-2x-y-1=0,3x=0,此时两条直 线不平行;当m≠0时,由于l1∥l2,则 = ,解得m=-1或3,经验证满足条件.综上,m=-1或3.故选D.(2)∵直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,∴(a-1)·(a+2-2a-3)=0,∴(a-1)(a+1)=0,∴a=1或a=-1,故选C.
答案　(1)D　(2)C
考向基础1.圆的标准方程圆心为(a,b),半径为r的圆的方程为①　(x-a)2+(y-b)2=r2    .2.圆的一般方程已知二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)(1)当②    D2+E2-4F>0    时,(*)表示圆的方程,圆心为 ,半径为  .此时,(*)叫圆的一般方程.(2)当③    D2+E2-4F=0    时,(*)表示点.(3)当④    D2+E2-4F<0    时,(*)不表示任何图形.3.圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突 出了方程形式的特点:
(1)x2和y2的系数相等且不为0;(2)没有xy这样的二次项≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的⑤　必要不充分    条件.5.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的 方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),不表示圆C2.6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y 2)=0.
考向    求圆的方程
例　经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为　        .
则 解得 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.解法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则 解得 ∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.
解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
答案　(x-2)2+(y-1)2=10(或x2+y2-4x-2y-5=0)
方法1  直线方程的求法求直线方程的一般方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中的 系数,写出直线方程.(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代 入求出直线方程.另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长, 则应选用截距式.
例1　过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得 的线段恰好被M平分,求此直线方程.解题导引     
解析　解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点 分别是 和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点.  ①  ②由①解得xA= ,由②解得xB= ,∵点M平分线段AB,∴xA+xB=2xM,即 + =0.
解得k=- ,故所求直线方程为y=- x+1,即x+4y-4=0.解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点.∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,∴设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点,由中点坐标公式得A(-t,2t-6).∵点A在直线l1:x-3y+10=0上,∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为 = ,即x+4y-4=0.
方法2  两直线平行与垂直问题的解决策略1.一般地,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则①k1≠k2⇔l1与l2相交.②k1=k2且b1≠b2⇔l1与l2平行.③k1=k2且b1=b2⇔l1与l2重合.④k1·k2=-1⇔l1与l2垂直.
注意:斜率存在是利用斜率判断两直线平行、相交、垂直的先决条件. 若两直线的斜率不存在,则两直线平行或重合;若两直线中只有一条斜 率存在,则两直线相交(特别地,若只有一条直线斜率存在且为0,则两直 线垂直).
2.一般地,若l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2、B2不全 为0),则①l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0.②l1与l2平行⇔ 或 ③l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0.④l1与l2垂直⇔A1A2+B1B2=0.
注意:当A2B2C2≠0时,一般用 ≠ 来判断相交;用 = ≠ 来判断 平行;用 = = 来判断重合.当然,这些比例关系不是判断两直线相 交、平行、重合的充要条件.
例2　经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4 y-7=0的直线方程为　　　    .解题导引     
解析　解法一:由方程组 解得 即交点为 ,∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,∴所求直线的斜率为k= .由点斜式得所求直线方程为y- =  ,即4x-3y+9=0.解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,由方程组 可解得交点为 ,
代入4x-3y+m=0得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0.解法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x +(3-3λ)y+1+4λ=0,①又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.
答案　4x-3y+9=0
方法3  关于对称问题的求解策略1.中心对称(1)点关于点的对称若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标 公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程, 或者求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式得到所求直线的方程.2.轴对称(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点 在对称轴l上,而且 P1P2所在的直线垂直于对称轴l,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).(2)直线关于直线的对称若已知直线l1与对称轴l相交,则交点必在与l1对称的直线l2上,再求出l1上 除交点外任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2 的直线就是l2;若已知直线l1与对称轴l平行,则与l1对称的直线和l1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l1的对称直
例3　若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点 (m,n)重合,则m+n=　　　    .
方法4   圆的方程的求法1.方程选择原则求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐 标列式,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系, 常选用一般方程.2.求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.
3.求圆的方程时常用到的圆的性质
例4　求圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程.解题导引     
解析　解法一(几何法):因为圆心在过点(1,1)且与切线垂直的直线上,所 以圆心在直线y-1=x-1,即x-y=0上.又因为圆心在直线y=-x+1上,故联立 解得 故圆心坐标是 .所以半径r= =  .