2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：2.2　函数的基本性质【KS5U 高考】

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注意:(1)单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(i) >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).
考向    函数的单调性的判断与应用
例　(1)函数f(x)=l (x2-4)的单调递增区间为 (　　)A.(0,+∞)　    B.(-∞,0)C.(2,+∞)　    D.(-∞,-2)(2)已知函数f(x)=sin x+3x,x∈(-1,1),如果f(1-a)<-f(1-a2),则实数a的取值范围是 (　　)A.(1, )　    B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-∞,-2)　    D.(1,+∞)
解析　(1)由x2-4>0得x<-2或x>2.因为u=x2-4在(-∞,-2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,y=l u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).选D.(2)易知函数f(x)是奇函数,且在(-1,1)上单调递增,∵f(1-a)<-f(1-a2),∴f(1-a)答案　(1)D　(2)A
考点二  函数的奇偶性与周期性
考向基础1.函数的奇偶性
2.函数的周期性(1)函数的周期性的定义对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为③　周期函数    ,T为这个函数的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的④　最小正周期    .(2)常见的几个结论(i)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是T=|a-b|.(ii)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.(iii)若f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|.
(iii)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函数,4|a-b|是它的一个周期.
(3)对称性与周期的关系(i)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.(ii)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.
考向    函数的奇偶性的判断与应用
例　(1)下列函数中为奇函数的是     (　　)A.y=x+cs x　     B.y=x+sin xC.y= 　    D.y=e-|x|(2)(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　    .
解析　(1)对于A,y=x+cs x的定义域为R, f(-x)=-x+cs(-x)=-x+cs x≠-f(x),排除;对于B,y=x+sin x的定义域为R, f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),故该函数是奇函数;对于C,y= 的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,故该函数为非奇非偶函数,排除;对于D,y=e-|x|的定义域为R, f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),故该函数为偶函数.故选B.(2)∵f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,又f(-2)=-f(2),∴f(2)=-f(-2)=12.故填12.
答案　(1)B　(2)12
方法1  判断函数单调性的方法1.定义法:设元→作差→变形→判断符号→给出结论.其关键是对差进行变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式乘积或平方和的形式, 再结合变量的范围、假定的两个自变量值的大小关系及不等式的性质作出判断.若函数在给定区间上, f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,则该函数是增函数; f(x1)-f(x2)与x1-x2异号,则该函数是减函数.2.利用函数的运算性质:若f(x)、g(x)为增函数,则①y=f(x)+g(x)为增函数;②y= 为减函数(f(x)>0);
③y= 为增函数(f(x)≥0);④y=f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤y=-f(x)为减函数.3.利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”,即若两个基本初等函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个基本初等函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.4.图象法:画出函数图象,由图象直观判断函数的单调性.5.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
①若f(x)在某个区间内可导,当f '(x)>0时, f(x)为增函数;当f '(x)<0时, f(x) 为减函数;②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,f '(x)≥0;当f(x)在该区间上递减时,f '(x)≤0.
例1　已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是 (　　)A.奇函数,且在(0,e)上是增函数B.奇函数,且在(0,e)上是减函数C.偶函数,且在(0,e)上是增函数D.偶函数,且在(0,e)上是减函数
解析　解法一:易知f(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称.∵f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数,函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e2-x2),在(0,e)上y=e2-x2是减函数,y=ln x是增函数,由复合函数的单调性可知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)在(0,e)上是减函数,故选D.解法二:同解法一知f(x)是偶函数.在(0,e)上,f '(x)= - = <0,则函数f(x)在(0,e)上单调递减,故选D.
方法2  判断函数奇偶性的方法1.定义法2.图象法
3.性质法若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶 =偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
例2　判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=(1-x) ;(2)f(x)= (3)f(x)= ;(4)f(x)=lg2(x+ ).解题导引
解析　(1)当且仅当 ≥0时函数有意义,∴-1≤x<1,∴f(x)的定义域为[-1,1).∵f(x)的定义域关于原点不对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数.(2)由题意知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当x>0时,-x<0, f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(3)由题意知 ⇒-2≤x≤2且x≠0,∴函数f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.∴f(x)= = ,
又f(-x)= =- =-f(x),∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(4)解法一:易知f(x)的定义域为R.∵f(-x)=lg2[(-x)+ ]=lg2 =-lg2(x+ )=-f(x),∴f(x)是奇函数.解法二:易知f(x)的定义域为R.∵f(-x)+f(x)=lg2[(-x)+ ]+lg2(x+ )=lg21=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)对于分段函数,必须分段判定它的奇偶性,只有在每一段上都满足奇偶函数的定义时,才能下相应的结论;(3)当f(x)≠0时,奇偶函数定义中的判断式f(-x)=±f(x)常被它的变式 =±1所替代.
规律总结　(1)对于解析式比较复杂的函数,有时需要将函数化简后再判断它的奇偶性,但一定要先考虑它的定义域;
方法3  函数周期的求法及应用1.几种常见抽象函数的周期
2.求抽象函数周期的方法递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2|a|为f(x) 的一个周期;换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t), 所以2|a|为f(x)的一个周期.
例3　已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+f(6)的值为 (　　)A.-3　    B.-2　    C.2　    D.3解题导引
解析　∵f(x-1)是奇函数,∴f(-x-1)=-f(x-1),∵f(x)是偶函数,∴f(-x-1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的函数,则f(5)=f(1),f(6)=f(2)=3,当x=-1时,由f(x+2)=-f(x),得f(1)=-f(-1)=-f(1),即f(1)=0,∴f(5)+f(6)=3,故选D.
方法4  函数性质的综合应用1.函数单调性与奇偶性的综合.注意奇、偶函数图象的对称性,以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系.2.周期性与奇偶性的综合.此类问题多为求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3.单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
例4　已知定义在R上的奇函数满足f(x+4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 (　　)A. f(-25)解析　∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4),∴f(x+8)=f(x),∴f(x)的周期为8,∴f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-25)方法5   函数值域的求法求函数值域的常用方法:(1)列举法列举法是直接根据函数的定义域与对应关系,将函数值一一求出来写成集合的形式的方法.这种方法只适用于值域中元素有限或虽然无限但是与自然数有关的集合.如:狄利克雷函数:f(x)= 值域为{0,1}.(2)分离常数法形如y= (a≠0)的函数的值域问题,经常使用“分离常数法”求解.
例如:求函数y= 的值域.解析:y= = = + ≠ ,∴函数的值域为 .(3)有界性法形如sin α=f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sin α|≤1,x2≥0,ax>0可解出y的取值范围,从而求出函数的值域.(4)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=a[f (x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法.
(5)换元法①代数换元:形如y=ax+b± (a,b,c,d为常数,ac≠0)的函数,可设 =t(t≥0),转化为二次函数求值域.②三角换元:如y=x+ ,可令x=cs θ,θ∈[0,π],则y=cs θ+sin θ= sin ,θ∈[0,π].对于换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响.(6)基本不等式法利用基本不等式:a+b≥2 (a>0,b>0).用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.(7)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若单调函数在端点处
有定义,则该函数在端点处取最值,即若y=f(x)在[a,b]上单调递增,则y最小=f(a),y最大=f(b);若y=f(x)在[a,b]上单调递减,则y最小=f(b),y最大=f(a).②形如y=ax+b+ 的函数,若ad>0,则用单调性求值域;若ad<0,则用换元法求值域.③形如y=x+ (k>0)的函数,在基本不等式的条件不具备的情况下(等号不成立),可考虑用函数的单调性求值域,当x>0时,函数y=x+ (k>0)的单调减区间为(0, ],单调增区间为[ ,+∞).一般地,把函数y=x+ (k>0,x>0)叫做对勾函数,其图象的转折点为( ,2 ),至于x<0的情况,可根据函数的奇偶性解决.
(8)导数法利用导函数求出最值,从而确定值域.(9)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法.(10)判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,知判别式Δ≥ 0,从而求得原函数的值域,形如y= (a1,a2不同时为零)的函数的值域问题,常用此法求解.用判别式法求值域的注意事项:①函数的定义域应为R;
②分式的分子、分母没有公因式.
例5　(1)已知x>1,则函数y= +x的最小值为　　　    .(2)已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间[-1,5]上的最小值为　　　    , 最大值为　　　    .(3)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)= 若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为　　　    .
解析　(1)∵x>1,∴x-1>0,∴y= +x= +(x-1)+1≥2 +1=3,当且仅当 =x-1,即x=2时“=”成立.(2)f '(x)=3x2-12x+9,令f '(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,当-10,∴f(x)在(-1,1),(3,5)上为增函数,当1

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