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2021年广东省广州市中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2021年广东省广州市中考数学一模试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省广州市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）（请把答案涂在答题卡上）
1．（3分）2021年初，新冠肺炎疫情再次袭卷全球，截止2021年4月底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为13294万人，用科学记数法表示为（ ）人．
A．1.3294×107 B．1.3294×108
C．0.13294×108 D．13.294×106
2．（3分）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
道法
历史
数量/个
26
30
30
28
22
25
21
则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）
A．26；28 B．28，28 C．26；26 D．28；26
3．（3分）下列几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）
A． B． C．5 D．2
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（ ）尺．
A． B． C． D．
8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
9．（3分）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
10．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）（请把答案涂在答题卡上）
11．（3分）分解因式：x2﹣16＝ ．
12．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 ．
13．（3分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 ．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
15．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x是方程x2﹣3x+2＝0的解．
20．（6分）2020年12月以来，各地根据疫情防控工作需要，为尽快完成检测任务，我市组织甲、乙两支医疗队开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．问甲队每小时检测多少人？
21．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共 人，a＝ ，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求E点的坐标．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O，分别交BC和AC于点E和F（保留作图痕迹，不写做法）
（2）过E作EH⊥AC，垂足为H，①求证：EH为⊙O的切线；
②连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径长．
24．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE＝ ．
（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．
25．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省广州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）（请把答案涂在答题卡上）
1．（3分）2021年初，新冠肺炎疫情再次袭卷全球，截止2021年4月底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为13294万人，用科学记数法表示为（ ）人．
A．1.3294×107 B．1.3294×108
C．0.13294×108 D．13.294×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：13294万＝132940000＝1.3294×108．
故选：B．
2．（3分）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
道法
历史
数量/个
26
30
30
28
22
25
21
则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）
A．26；28 B．28，28 C．26；26 D．28；26
【分析】根据中位数、平均数的意义进行计算即可．
【解答】解：平均数为＝26（个），
将这组数据从小到大排列为21，22，25，26，28，30，30，处在中间位置的数是26，因此中位数是26个，
故选：C．
3．（3分）下列几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，左边是一个矩形，右边是一个正方形．
故选：A．
4．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）
A． B． C．5 D．2
【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C，B，F共线，
根据题意得：BC＝5，BF＝DE＝1，
∴FC＝6，CE＝4，
∴EF＝＝＝2．
故选：D．
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC＝DB，所以∠B＝∠DCB，再根据AD＝AC，∠A＝80°，可得∠ADC＝50°，进而求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据作图过程可知：
DM是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，
∵AD＝AC，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝50°，
∴∠DCB＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+50°＝75°．
∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．
【解答】解：不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
故选：A．
7．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（ ）尺．
A． B． C． D．
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝，
即该女子第一天织布尺．
故选：C．
8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、y＝x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；
C、y＝﹣，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
D、y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
9．（3分）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝4，再根据勾股定理计算出OE＝3，分类讨论：当点E在半径OB上时，BE＝OB﹣OE；当点E在半径OA上时，BE＝OB+OE，然后把CE、OE的值代入计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝3，
当点E在半径OB上时，BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，
当点E在半径OA上时，BE＝OB+OE＝5+3＝8，
∴BE的长为2或8．
故选：C．
10．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．
【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1＝，
第二次：余下面积S2＝，
第三次：余下面积S3＝，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为S2020＝．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）（请把答案涂在答题卡上）
11．（3分）分解因式：x2﹣16＝ （x﹣4）（x+4） ．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
12．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 x≥3且x≠4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使代数式有意义，
则x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥3且x≠4．
故答案为：x≥3且x≠4．
13．（3分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 100（+1）米 ．
【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB＝AD+BD即可得出结论．
【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝100m，
在Rt△ACD中，
∵CD＝100m，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD•tan60°＝100×＝100m，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（+1）m．
故答案为：100（+1）米．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）．
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故答案为8﹣2π．
15．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ．
【分析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【解答】解：∵|a|＞|b|，∴＝﹣a+（a+b）＝b．
故答案为：b．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为 1 ．
【分析】作AC为直径的圆，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，也即求OB的长度即可求．
【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
若BE最短，则OB最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∵OE＝OC＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为1．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
18．（4分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】先根据等式性质证明BF＝EC，再利用SAS证明△ABF≌△DCE即可．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，
即BF＝EC，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x是方程x2﹣3x+2＝0的解．
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解方程x2﹣3x+2＝0得
x＝1或x＝2（舍去），
当x＝1时，
原式＝．
20．（6分）2020年12月以来，各地根据疫情防控工作需要，为尽快完成检测任务，我市组织甲、乙两支医疗队开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．问甲队每小时检测多少人？
【分析】设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣15）人，根据题意，可以列出相应的分式方程，并解答，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣15）人，
由题意可得，＝×（1﹣10%）．
解得x＝60．
经检验x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时检测60人．
21．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共 300 人，a＝ 10 ，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
（2）用2000乘以A类的百分比即可．
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）120÷40%＝300，
a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，
∴a＝10，
10%×300＝30，
故答案为：300，10；图形如下：
（2）2000×40%＝800（人），
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求E点的坐标．
【分析】（1）先根据锐角三角函数求出OD，求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝，
∴OD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵点B（m，﹣1）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣6，
∴m＝6，
∴B（6，﹣1），
将点A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入直线y＝kx+b中，得
，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）设E（m，0），由（1）知，A（﹣2，3），
∴OA2＝13，OE2＝m2，AE2＝（m+2）2+9，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，
∴13＝m2，
∴m＝±，
∴E（﹣，0）或（，0），
②当OA＝AE时，13＝（m+2）2+9，
∴m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，0），
③当OE＝AE时，m2＝（m+2）2+9，
∴m＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴满足条件的点E的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O，分别交BC和AC于点E和F（保留作图痕迹，不写做法）
（2）过E作EH⊥AC，垂足为H，①求证：EH为⊙O的切线；
②连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径长．
【分析】（1）作出线段AB的中垂线，可得圆心O，以O为圆心，OA为半径画⊙O即可．
（2）设OE＝r，EC＝x．利用勾股定理，相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）①证明：连接AE，OE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA，
∴OE∥AC，
∵EH⊥AC，
∴EH⊥OE，
∴EH是⊙O的切线．
②设OE＝r，EC＝x．
∵EH2＝OH2﹣OE2＝EC2﹣CH2，
∴7﹣r2＝x2﹣1，
∵△CEH∽△CAE，可得EC2＝CH•CA，
∴x2＝2r，
∴7﹣r2＝2r﹣1，
∴r2+2r﹣8＝0．
解得r＝2或﹣4（舍弃）．
∴⊙O的半径为2．
24．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE＝ 5﹣t ．
（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．
【分析】（1）首先利用勾股定理求得AB＝10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；
（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；
（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．利用相似三角形的性质求出PM，根据S＝AQ•PM根据二次函数即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．
∴由勾股定理得：AB＝10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP＝2tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE＝AP＝5﹣t；
故答案是：5﹣t；
（2）如图2中，
当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则 COS∠BAC＝＝，即 ＝，
解之 t＝，
所以当t＝时，□AQPD是菱形；
（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝AQ•PM＝2t•（5﹣t）＝﹣t2+12t（0＜t≤4），
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值，最大值为15cm2．
25．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．
（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN＝∠PMN＝90°及对顶角∠ANH＝∠PNM可得∠NAH＝∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt△ANH中求sin∠NAH的值，再代入MN＝PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．
（3）设点E（e，e2﹣e﹣2），所以可设抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2．令两抛物线解析式y＝0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG＝DE＝EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF＝DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．
【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x﹣交x轴于点A
∴﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴A（﹣1，0）
∵点B（3，n）在直线l上
∴n＝﹣×3﹣＝﹣2
∴B（3，﹣2）
∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2经过点A、B
∴ 解得：
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x﹣2
（2）如图1，延长PN交x轴于点H
∴∠AHN＝90°
设P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜3）
∵PN∥y轴
∴xN＝xH＝xP＝m
∴N（m，﹣m﹣），AH＝m+1，
∴NH＝﹣（﹣m﹣）＝m+，PN＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+
∵Rt△AHN中，tan∠NAH＝
∴sin∠NAH＝＝
∵PM⊥AB于点M
∴∠AHN＝∠PMN＝90°
∵∠ANH＝∠PNM
∴∠NAH＝∠NPM
∴Rt△PMN中，sin∠NPM＝
∴MN＝PN＝（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣1）2+
∴MN的最大值为
（3）存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形
如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣
∴抛物线C1顶点为（，﹣）
设E（e，e2﹣e﹣2）（e＞4）
∴抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2
当﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2＝x2﹣x﹣2
解得：x1＝e，x2＝
∴两抛物线另一交点D（，﹣）为抛物线C1顶点
∵EG∥x轴，DF∥x轴
∴EG＝DF＝2DQ＝2（e﹣）＝2e﹣3，EQ＝e2﹣e﹣2+＝e2﹣e+
∴四边形DFEG是平行四边形
若▱DFEG为菱形，则DG＝DF
∵由抛物线对称性可得：DG＝DE＝EF
∴DE＝EF＝DF
∴△DEF是等边三角形
∴＝tan∠EDQ＝
∴e2﹣e+＝（e﹣）
解得：e1＝（舍去），e2＝2+
∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．
2021年广东省广州市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）（请把答案涂在答题卡上）
1．（3分）2021年初，新冠肺炎疫情再次袭卷全球，截止2021年4月底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为13294万人，用科学记数法表示为（ ）人．
A．1.3294×107 B．1.3294×108
C．0.13294×108 D．13.294×106
2．（3分）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
道法
历史
数量/个
26
30
30
28
22
25
21
则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）
A．26；28 B．28，28 C．26；26 D．28；26
3．（3分）下列几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）
A． B． C．5 D．2
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（ ）尺．
A． B． C． D．
8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
9．（3分）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
10．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）（请把答案涂在答题卡上）
11．（3分）分解因式：x2﹣16＝ ．
12．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 ．
13．（3分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 ．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
15．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x是方程x2﹣3x+2＝0的解．
20．（6分）2020年12月以来，各地根据疫情防控工作需要，为尽快完成检测任务，我市组织甲、乙两支医疗队开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．问甲队每小时检测多少人？
21．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共 人，a＝ ，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求E点的坐标．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O，分别交BC和AC于点E和F（保留作图痕迹，不写做法）
（2）过E作EH⊥AC，垂足为H，①求证：EH为⊙O的切线；
②连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径长．
24．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE＝ ．
（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．
25．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省广州市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）（请把答案涂在答题卡上）
1．（3分）2021年初，新冠肺炎疫情再次袭卷全球，截止2021年4月底，据不完全统计，全球累计确诊人数约为13294万人，用科学记数法表示为（ ）人．
A．1.3294×107 B．1.3294×108
C．0.13294×108 D．13.294×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：13294万＝132940000＝1.3294×108．
故选：B．
2．（3分）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：
学科
语文
数学
英语
物理
化学
道法
历史
数量/个
26
30
30
28
22
25
21
则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）
A．26；28 B．28，28 C．26；26 D．28；26
【分析】根据中位数、平均数的意义进行计算即可．
【解答】解：平均数为＝26（个），
将这组数据从小到大排列为21，22，25，26，28，30，30，处在中间位置的数是26，因此中位数是26个，
故选：C．
3．（3分）下列几何体中，主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，左边是一个矩形，右边是一个正方形．
故选：A．
4．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）
A． B． C．5 D．2
【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C，B，F共线，
根据题意得：BC＝5，BF＝DE＝1，
∴FC＝6，CE＝4，
∴EF＝＝＝2．
故选：D．
5．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC＝DB，所以∠B＝∠DCB，再根据AD＝AC，∠A＝80°，可得∠ADC＝50°，进而求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据作图过程可知：
DM是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，
∵AD＝AC，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝50°，
∴∠DCB＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+50°＝75°．
∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．
【解答】解：不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
故选：A．
7．（3分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（ ）尺．
A． B． C． D．
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：x＝，
即该女子第一天织布尺．
故选：C．
8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y＝﹣ D．y＝﹣x2
【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、y＝x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；
C、y＝﹣，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
D、y＝﹣x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
9．（3分）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，则BE的长是（ ）
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝4，再根据勾股定理计算出OE＝3，分类讨论：当点E在半径OB上时，BE＝OB﹣OE；当点E在半径OA上时，BE＝OB+OE，然后把CE、OE的值代入计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝AB＝5，
∴OE＝＝3，
当点E在半径OB上时，BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，
当点E在半径OA上时，BE＝OB+OE＝5+3＝8，
∴BE的长为2或8．
故选：C．
10．（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A．22019 B． C． D．
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．
【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S1＝，
第二次：余下面积S2＝，
第三次：余下面积S3＝，
当完成第2020次操作时，余下纸片的面积为S2020＝．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分。）（请把答案涂在答题卡上）
11．（3分）分解因式：x2﹣16＝ （x﹣4）（x+4） ．
【分析】运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）．
12．（3分）要使代数式有意义，则x应满足 x≥3且x≠4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使代数式有意义，
则x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥3且x≠4．
故答案为：x≥3且x≠4．
13．（3分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 100（+1）米 ．
【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB＝AD+BD即可得出结论．
【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝100m，
在Rt△ACD中，
∵CD＝100m，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD•tan60°＝100×＝100m，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（+1）m．
故答案为：100（+1）米．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）．
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故答案为8﹣2π．
15．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ．
【分析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【解答】解：∵|a|＞|b|，∴＝﹣a+（a+b）＝b．
故答案为：b．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为 1 ．
【分析】作AC为直径的圆，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，也即求OB的长度即可求．
【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
若BE最短，则OB最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∵OE＝OC＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为1．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3×+1﹣4
＝﹣1﹣+1﹣4
＝﹣4．
18．（4分）如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】先根据等式性质证明BF＝EC，再利用SAS证明△ABF≌△DCE即可．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，
即BF＝EC，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x是方程x2﹣3x+2＝0的解．
【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解方程x2﹣3x+2＝0得
x＝1或x＝2（舍去），
当x＝1时，
原式＝．
20．（6分）2020年12月以来，各地根据疫情防控工作需要，为尽快完成检测任务，我市组织甲、乙两支医疗队开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．问甲队每小时检测多少人？
【分析】设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣15）人，根据题意，可以列出相应的分式方程，并解答，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣15）人，
由题意可得，＝×（1﹣10%）．
解得x＝60．
经检验x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时检测60人．
21．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查学生共 300 人，a＝ 10 ，并将条形图补充完整；
（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？
（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．
【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；
（2）用2000乘以A类的百分比即可．
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）120÷40%＝300，
a%＝1﹣40%﹣30%﹣20%＝10%，
∴a＝10，
10%×300＝30，
故答案为：300，10；图形如下：
（2）2000×40%＝800（人），
答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，
所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率＝＝．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，求E点的坐标．
【分析】（1）先根据锐角三角函数求出OD，求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝，
∴OD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵点B（m，﹣1）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣6，
∴m＝6，
∴B（6，﹣1），
将点A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入直线y＝kx+b中，得
，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）设E（m，0），由（1）知，A（﹣2，3），
∴OA2＝13，OE2＝m2，AE2＝（m+2）2+9，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，
∴13＝m2，
∴m＝±，
∴E（﹣，0）或（，0），
②当OA＝AE时，13＝（m+2）2+9，
∴m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，0），
③当OE＝AE时，m2＝（m+2）2+9，
∴m＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴满足条件的点E的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC
（1）尺规作图：以AB为直径作⊙O，分别交BC和AC于点E和F（保留作图痕迹，不写做法）
（2）过E作EH⊥AC，垂足为H，①求证：EH为⊙O的切线；
②连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径长．
【分析】（1）作出线段AB的中垂线，可得圆心O，以O为圆心，OA为半径画⊙O即可．
（2）设OE＝r，EC＝x．利用勾股定理，相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）①证明：连接AE，OE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA，
∴OE∥AC，
∵EH⊥AC，
∴EH⊥OE，
∴EH是⊙O的切线．
②设OE＝r，EC＝x．
∵EH2＝OH2﹣OE2＝EC2﹣CH2，
∴7﹣r2＝x2﹣1，
∵△CEH∽△CAE，可得EC2＝CH•CA，
∴x2＝2r，
∴7﹣r2＝2r﹣1，
∴r2+2r﹣8＝0．
解得r＝2或﹣4（舍弃）．
∴⊙O的半径为2．
24．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE＝ 5﹣t ．
（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．
（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．
【分析】（1）首先利用勾股定理求得AB＝10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；
（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；
（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．利用相似三角形的性质求出PM，根据S＝AQ•PM根据二次函数即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．
∴由勾股定理得：AB＝10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP＝2tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE＝AP＝5﹣t；
故答案是：5﹣t；
（2）如图2中，
当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，
则 COS∠BAC＝＝，即 ＝，
解之 t＝，
所以当t＝时，□AQPD是菱形；
（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝AQ•PM＝2t•（5﹣t）＝﹣t2+12t（0＜t≤4），
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值，最大值为15cm2．
25．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．
（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN＝∠PMN＝90°及对顶角∠ANH＝∠PNM可得∠NAH＝∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt△ANH中求sin∠NAH的值，再代入MN＝PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．
（3）设点E（e，e2﹣e﹣2），所以可设抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2．令两抛物线解析式y＝0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG＝DE＝EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF＝DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．
【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x﹣交x轴于点A
∴﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴A（﹣1，0）
∵点B（3，n）在直线l上
∴n＝﹣×3﹣＝﹣2
∴B（3，﹣2）
∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2经过点A、B
∴ 解得：
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x﹣2
（2）如图1，延长PN交x轴于点H
∴∠AHN＝90°
设P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜3）
∵PN∥y轴
∴xN＝xH＝xP＝m
∴N（m，﹣m﹣），AH＝m+1，
∴NH＝﹣（﹣m﹣）＝m+，PN＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+
∵Rt△AHN中，tan∠NAH＝
∴sin∠NAH＝＝
∵PM⊥AB于点M
∴∠AHN＝∠PMN＝90°
∵∠ANH＝∠PNM
∴∠NAH＝∠NPM
∴Rt△PMN中，sin∠NPM＝
∴MN＝PN＝（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣1）2+
∴MN的最大值为
（3）存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形
如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣
∴抛物线C1顶点为（，﹣）
设E（e，e2﹣e﹣2）（e＞4）
∴抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2
当﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2＝x2﹣x﹣2
解得：x1＝e，x2＝
∴两抛物线另一交点D（，﹣）为抛物线C1顶点
∵EG∥x轴，DF∥x轴
∴EG＝DF＝2DQ＝2（e﹣）＝2e﹣3，EQ＝e2﹣e﹣2+＝e2﹣e+
∴四边形DFEG是平行四边形
若▱DFEG为菱形，则DG＝DF
∵由抛物线对称性可得：DG＝DE＝EF
∴DE＝EF＝DF
∴△DEF是等边三角形
∴＝tan∠EDQ＝
∴e2﹣e+＝（e﹣）
解得：e1＝（舍去），e2＝2+
∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．
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